专题04 有理数范围内的定义新运算


专题04 有理数范围内的定义新运算

类型一 和绝对值有关
1．在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算“☆”法则： ．
如：．
（1）计算：　　．
（2）计算：　　．
（3）在，，，…，，，，，…，，这个数中：
①任取三个数作为a，b，c的值，进行“”运算，求所有计算结果中的最小值；
②若将这个数任意分成五组，每组三个数，进行“”运算，得到五个不同的结果，由于分组不同，所有五个运算的结果也不同，请直接写出五个结果之和的最大值．
【答案】（1）4；（2）3；（3）①当，，时，可取最小值为；②．
【解析】
【分析】
（1）根据新运算法则列式计算即可；
（2）根据新运算法则列式计算即可；
（3）①分类讨论，，化简求得原式的最小值；
②将，，，分别赋予和，同时赋予四个负数，最后一组，同时，为两个负数，分别进行计算，从而求解．
【详解】
解：（1）根据题意：




；
故答案为：4；
（2）根据题意得：





；
故答案为：3；
（3）①当时，
，
当时，
，
当，，时，
可取最小值为，即的最小值为；
②当，，时，此时，
；
当，，时，此时，
；
当，，时，此时，
；
当，，时，此时，
；
当，，时，此时，
；
即五个结果的最大值为．
【点睛】
本题考查有理数的混合运算，整式的加减运算，理解新定义运算法则及绝对值的意义，发现当时，，当时，是解题关键．
2．东东在研究数学问题时遇到一个定义：将三个已经排好顺序数：x1，x2，x3，称为数列x1，x2，x3．计算|x1|，，，将这三个数的最小值称为数列x1，x2，x3的最佳值．例如，对于数列2，-1，3，因为|2|=2，=，=，所以数列2，-1，3的最佳值为．
东东进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的最佳值．如数列-1，2，3的最佳值为；数列3，-1，2的最佳值为1；…．经过研究，东东发现，对于“2，-1，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，最佳值的最小值为．根据以上材料，回答下列问题：
（1）数列-4，-3，1的最佳值为
（2）将“-4，-3，2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的最佳值的最小值为 ，取得最佳值最小值的数列为 （写出一个即可）；
（3）将2，-9，a（a＞1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的最佳值为1，求a的值．
【答案】（1）3；（2）；-3，2，-4或2，-3，-4．（3）a=11或4或10．
【解析】
【分析】
（1）根据上述材料给出的方法计算其相应的最佳值为即可；
（2）按照三个数不同的顺序排列算出最佳值，由计算可以看出，要求得这些数列的最佳值的最小值；只有当前两个数的和的绝对值最小，最小只能为|−3＋2|＝1，由此得出答案即可；
（3）分情况算出对应的数值，建立方程求得a的数值即可．
【详解】
（1）因为|−4|＝4，＝3.5，＝3，
所以数列−4，−3，1的最佳值为3．
故答案为3；
（2）对于数列−4，−3，2，因为|−4|＝4，＝，＝，
所以数列−4，−3，2的最佳值为；
对于数列−4，2，−3，因为|−4|＝4，＝1，＝，
所以数列−4，2，−3的最佳值为1；
对于数列2，−4，−3，因为|2|＝2，＝1，＝，
所以数列2，−4，−3的最佳值为1；
对于数列2，−3，−4，因为|2|＝2，＝，＝，
所以数列2，−3，−4的最佳值为
∴数列的最佳值的最小值为＝，
数列可以为：−3，2，−4或2，−3，−4．
故答案为，−3，2，−4或2，−3，−4．
（3）当＝1，则a＝0或−4，不合题意；
当＝1，则a＝11或7；
当a＝7时，数列为−9，7，2，因为|−9|＝9，＝1，＝0，
所以数列2，−3，−4的最佳值为0，不符合题意；
当＝1，则a＝4或10．
∴a＝11或4或10．
【点睛】
此题考查数字的变化规律，理解新定义运算的方法是解决问题的关键．
3．阅读下列两则材料：
材料1：君君同学在研究数学问题时遇到一个定义：对于按固定顺序排列的k个数：x1，x2，x3，……，xk，称为数列Ak：x1，x2，x3，……，xk，其中k为整数且k≥3．定义：V（Ak）＝|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+……+|xk﹣1﹣xk|．例如数列A5：1，2，3，4，5，则V（A5）＝|1﹣2|+|2﹣3|+|3﹣4|+|4﹣5|＝4．
材料2：有理数a，b在数轴上对应的两点A，B之间的距离是|a﹣b|；反之，|a﹣b|表示有理数a，b在数轴上对应点A，B之间的距离，我们称之为绝对值的几何意义．君君同学在解方程|x﹣1|+|x+2|＝5时，利用绝对值的几何意义分析得到，该方程的左式表示在数轴上x对应点到1和-2对应点的距离之和，而当-2≤x≤1时，取到它的最小值3，即为1和-2对应点之间的距离．由方程右式的值为5可知，满足方程的x对应点在1的右边或一2的左边，若x的对应点在1的右边，利用数轴分析可以得到x=2；同理，若x的对应点在-2的左边，可得x＝﹣3；故原方程的解是x＝2或x＝﹣3．
根据以上材料，回答下列问题：
(1)已知数列A4：x1，x2，x3，x4，其中x1，x2，x3，x4为4个整数，且x1＝3，x4＝5，V（A4）＝4，请直接写出一种可能的数列A4．
(2)已知数列A4：3，a，3，a+1，若V（A4）＝3，则a的值为 　 　．
(3)已知数列A5：x1，x2，x3，x4，x5，5个数均为非负整数，且x1+x2+x3+x4+x5＝a（a≥1），求V（A5）的最小值．
【答案】(1)， （答案不唯一）
(2)
(3)0
【解析】
【分析】
（1）根据材料1列出算式，再根据绝对值的意义可求解，答案不唯一．
（2）根据材料1列出算式，再分类讨论，再根据绝对值的意义可求解．
（3）因为x1，x2，x3，x4，x5，5个数均为非负整数，所以>| |，>||，>||，>||，>0，然后列出不等式可求解．
(1)
解：V（A4）=| |+||+||=4，
∴| |+||+||=4，
当， ，V（A4）=| |+||+||=4
(2)
解：| |+||+||=3，
即| |+||+||=3
①2≤a3时，| |+||+||=3
所以，，
解得以 ，符合题意．
综上所述，或．
(3)
解：∵x1，x2，x3，x4，x5，5个数均为非负整数
∴>| |，>||，>||，>||，>0，
∴0≤| |+||+||+||≤
∴0≤V（A5）≤a
∴V（A5）的最小值为0．
【点睛】
本题是一道综合题，正确理解题意、熟练掌握去绝对值的方法是解决本题的关键．
类型二 和乘方有关
4．概念学习
现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作，读作“的圈次方”．
初步探究
（1）直接写出计算结果：________，________；
（2）下列关于除方说法中，错误的有________；（在横线上填写序号即可）
A．任何非零数的圈2次方都等于1
B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数
C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
D．圈次方等于它本身的数是1或
深入思考
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？

（3）归纳：请把有理数的圈次方写成幂的形式为：________；
（4）比较：________；填“>”“