专题05 和数列有关的规律类运算探究


专题05 和数列有关的规律类运算探究

类型一 和拆项有关
1．请先阅读下列一组内容，然后解答问题：
∵；；；…．，
∴+++…+
=…
=…．
计算：
（1）+++…+；
（2）已知|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，求：．
（3）+++…+．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】
【分析】
（1）观察阅读材料中的运算过程，得到拆项规律，将所求式子变形，计算即可得到结果；
（2）根据互为相反数的两个数和为0，求出a和b的值，利用（1）的结论可进行化简，然后进行加减运算即可；
（3）先把每个分数提将原式变形，然后与（1）的计算方法一样．
【详解】
（1）+++…+
=…

=；
（2）∵|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，
∴|a﹣1|+|b﹣2|=0，
∴a=1，b=2，
∴原式=+++…+
=…

=；
（3）+++…+
=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）
=（1﹣）
=．
【点睛】
本题考查了规律型－数字的变化类，有理数的混合运算，相反数的定义，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．
2．先观察下列等式，再完成题后问题：=，，
（1）请你猜想：= ．
（2）若a、b为有理数，且│a－1│+(ab－2)2 =0，求:
          的值．
（3） ．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据题意得出=即可；
（2）利用非负数的性质得到a和b的值，代入原式后，根据以上规律裂项求解可得；
（3）原式利用得出的规律变形，注意先提公因数，从而计算即可得到结果．
【详解】
解：（1）由题意可得：
=，
故答案为：；
（2）∵|a-1|+（ab-2）2=0，
∴a-1=0，ab-2=0，
∴a=1，b=2，
∴
=
=
=
=；
（3）
=
=
=
=．
【点睛】
本题主要考查了有理数的混合运算，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．本题的关键规律为=．
3．观察下列各式：，，…，……
解答下列各题：
（1）尝试并计算：；
（2）尝试并计算：；
（3）已知与互为相反数，试求代数式的值
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）仿照例题原式可化为，即可得到答案；
（2）原式可化为，即可求解；
（3）根据相反数的定义得到，求出x与y的值，再仿照例题的方法计算得到答案.
【详解】
（1）



；
（2）



；
（3）∵与互为相反数，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴



.
【点睛】
此题考查有理数的混合运算，数字类计算的规律探究，正确理解例题，总结并运用数字计算的规律是解题的关键.
类型二 和等比数列有关
4．【阅读】求值…．
解：设S= …①
将等式①的两边同时乘以2得：2S= …②
由②﹣①得：
即：S= …
【运用】仿照此法计算：
…；
【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为S1，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形S2，依次操作2019次，依次得到小正方形S1、S2、S3、…、S2019．
完成下列问题：
（1）小正方形的面积S2019等于　 　；
（2）求正方形S1、S2、S3、…、S2019的面积和．

【答案】[运用] ；（1）；（2）
【解析】
【分析】
[运用]仿照题目中的算法可以解答本题；
（1）由、、，可得；
（2）仿照题目中的算法可以解答本题．
【详解】
解：[运用]设①，
①，得：②，
②①，得：，
则，即；
（1）、、，
∴，
故答案为：；
（2）设①，
①，得：②，
①-②，得：，
所以，即．
【点睛】
本题考查数字的变化类，解题的关键是明确题意，发现数字的变化规律．
5．阅读探究：，，，…
(1)根据上述规律，小亮发现，求出___________．
(2)小聪继续又发现：

，求出___________．
(3)若，请运用小聪的方法求和的值
【答案】(1)6
(2)7
(3)，
【解析】
【分析】
（1）根据阅读材料，发现规律即可求解；
（2）根据阅读材料，发现规律即可；
（3）把A变形为，根据阅读材料所得规律即可计算．
(1)
解：∵，，，
∴，
∴
故答案为：6
(2)
解：∵，
，
∴，
∴.
故答案为：7
(3)
解：∵，
∴


∵，
∴，.
【点睛】
本题考查了规律型−数字的变化类、有理数的混合运算，解决本题的关键是理解阅读材料．
6．《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题．

【规律探索】
（1）如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则S阴影1＝1－＝
如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则S阴影2＝1－－()2 ＝____；
同种操作，如图3，S阴影3＝1－－()2－()3 ＝__________；
如图4，S阴影4＝1－－()2－()3－()4 ＝___________；
……若同种地操作n次，则S阴影n＝1－－()2－()3－…－()n ＝_________．
于是归纳得到：+()2+()3+…+()n =_________．
【理论推导】
（2）阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22015+22016的值．
解：设S=1+2+22+23+24+…+22015+22016，①
将①×2得：2S=2+22+23+24+…+22016+22017，②
由②-①得：2S—S=22017—1，即=22017-1．
即1+2+22+23+24+…+22015+22016＝22017-1
根据上述材料，试求出+()2+()3+…+()n 的表达式，写出推导过程．
【规律应用】
（3）比较＋＋＋…… __________1（填“”、“”或“=”）
【答案】（1）；；；()n；1 - ()n ；（2）+()2+()3+…+()n   = 1-()n，推导过程见解析；（3）=
【解析】
【分析】
（1）根据有理数的混合运算计算前几项结果，并观察得出规律即可得解
（2）根据材料中的计算求和的方法即可求解；
（3）根据（2）的化简结果，结合极限思想即可比较大小．
【详解】
解：（1）S阴影2＝1－－()2=1-==，
S阴影3＝1－－()2－()3=1-==，
S阴影4＝1－－()2－()3－()4==，
⋯
S阴影n＝1－－()2－()3－…－()n=()n，
于是归纳得到：+()2+()3+…+()n =1 - ()n
故答案为：；；；()n；1 - ()n
（2）解：设S = +()2+()3+…+()n， ①
将①×得：S = ()2+()3 +)4 …+()n + ()n+1 ，②
①－②得：S = - ()n+1 ，③
将③×2得：S = 1-()n
即得+()2+()3+…+()n   = 1-()n
（3）=，理由如下：
∵＋＋＋……=1-()n ，当n越来越大时，()n越来越小，越来越接近零，由极限的思想可知：当n趋于无穷时，()n就等于0，故1-()n就等于1，
故答案为：=
【点睛】
本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算，解决的本题的关键是寻找规律并利用规律．
7．（1）计算：①2-1＝ ；②22-2-1＝ ；③23-22-2-1＝ ；④24-23-22-2-1＝ ；⑤25-24-23-22-2-1＝ ；⑥22019-22018-22017-……-22-2-1＝
（2）根据上面的计算结果猜想：2n-2n-1-2n-2-……-22-2-1的值为多少？
（3）根据上面猜想的结论求212-211-210-29-28-27-26的值．
【答案】（1）1；1；1；1；1；1；（2）1；（3）64
【解析】
【分析】
（1）①②③④⑤直接计算即可，⑥类比计算即可；
（2）由2n=2×2n-1，可得结果；
（3）根据2n=2×2n-1，将212-211-210-29-28-27-26递推化简即可．
【详解】
解：（1）①2-1＝1，
②22-2-1＝1，
③23-22-2-1＝1，
④24-23-22-2-1＝1，
⑤25-24-23-22-2-1＝1，
⑥22019-22018-22017-……-22-2-1＝1，
故答案为：1；1；1；1；1；1；
（2）2n-2n-1-2n-2-……-22-2-1
=2n-1-2n-2-…-22-2-1
=2n-2-…-22-2-1
=22-2-1
=1；
（3）212-211-210-29-28-27-26
=211-210-29-28-27-26
=210-29-28-27-26
=29-28-27-26
=28-27-26
=27-26
=26
=64．
【点睛】
本题考查了数字的变化规律，由简单到复杂，逐步递推，是解题的关键．本题只要把数字的变化规律看清，难度不大．
8．观察一下等式：
第一个等式：，
第二个等式：，
第三个等式：，
…………………
按照以上规律，解决下列问题：
（1） ；
（2）写出第五个式子： ；
（3）用含的式子表示一般规律： ；
（4）计算（要求写出过程）：
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】
【分析】
（1）根据题目中的几个等式，可以发现数字的变化特点，从而可以写出第四个等式；
（2）根据题目中的几个等式，可以发现数字的变化特点，从而可以写出第五个等式；
（3）根据题目中的几个等式，可以总结规律，得到一般形式；
（4）根据（3）中规律进行计算．
【详解】
解：（1）由题意可得：
，
故答案为：；
（2）第五个式子为：；
（3）由题意可得：
；
（4）
=
=
=
【点睛】
本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出相应的式子．
类型三 和规律探究有关
9．观察并验证下列等式：
13+23＝（1+2）2＝9，
13+23+33＝（1+2+3）2＝36，
13+23+33+43＝（1+2+3+4）2＝100，
（1）续写等式：13+23+33+43+53＝_____；（写出最后结果）
（2）我们已经知道1+2+3+…+n＝n（n+1），根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：13+23+33+…+（n﹣1）3+n3＝_____；（结果用因式乘积表示）
（3）利用（2）中得到的结论计算：
13+33+53+…+（2n﹣1）3
【答案】（1）225；（2）n2（n+1）2；（3）2n4-n2
【解析】
【分析】
（1）观察所给的各式即可得到答案；
（2）根据题干中已知等式知从1开始的连续n个整数的立方和等于这n个数的和的平方，据此可得；
（3）将原式变形为[13+23+33+…+（2n）3]-[23+43+63+…+（2n）3]，再利用题中规律计算．
【详解】
解：（1）由题意可得：
13+23+33+43+53=（1+2+3+4+5）2=225；
（2）由题意可得：
原式=[n（n+1）]2=n2（n+1）2；
（3）原式=[13+23+33+…+（2n）3]-[23+43+63+…+（2n）3]
=（2n）2（2n+1）2-8（13+23+33…+n3）
=×4n2（2n+1）2-8××n2×（n+1）2
=n2（2n+1）2-2n2（n+1）2
=n2（2n2-1）
=2n4-n2．
【点睛】
本题考查因式分解以及数字规律，涉及整式混合运算，有理数运算等知识，综合程度较高．
10．观察下列各式：
；；；；……
（1）根据你发现的规律，计算下面算式的值： ；
（2）请用一个含的算式表示这个规律： ；
（3）根据发现的规律，请计算算式的值（写出必要的解题过程）．
【答案】（1）55；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据所给的4个算式的规律，12+22+32+42+52等于；
（2）根据所给的4个算式的规律，12+22+32+…+n2等于；
（3）用12+22+…+992+1002的值减去12+22+…+492+502的值，求出算式512+522+…+992+1002的值是多少即可．
【详解】
（1）；
（2）；
（3）原式





【点睛】
此题主要考查了有理数的混合运算，以及数字的变化规律，熟练掌握有理数混合运算顺序是解题的关键 .
11．下面是按规律排列的一列式子：
第1个式子：；
第2个式子：；
第3个式子：；
……
（1）分别计算出这三个式子的结果；
（2）请按规律写出第2019个式子的形式（中间部分用省略号，两端部分必须写详细）；
（3）计算第2019个式子的结果．
【答案】（1），，；（2）见解析，；（3）
【解析】
【分析】
（1）按照有理数的混合运算顺序计算即可；
（2）第个式子为：，再将代入即可；
（3）由前三个式子可得出第个式子结果为：，再将代入即可．
【详解】
解：（1）第1个式子：
第2个式子：

第3个式子：

（2）∵由题意可得：第个式子为：
∴当时，第2019个式子为：
（3）∵第1个式子的结果：；第2个式子的结果：；第3个式子的结果：
∴第个式子结果为：
∴当时第2019个式子的结果为：
【点睛】
本题考查数字的变化规律，解题关键是根据特殊情况找出数据间的一般运算规律．
12．阅读下列材料：
，，，
由以上三个等式相加，可得

.
读完以上材料，请你计算下列各题：
（1）（写出过程）；
（2）__________________________（直接写出答案）；
（3）_____________________（直接写出答案）.
【答案】（1）440；   （2）； （3）1260.
【解析】
【分析】
通过观察，根据给定等式的变化找出变化规律
（1）根据变化规律将算式展开后即可得出原式，此题得解；
（2）根据变化规律将算式展开后即可得出原式，此题得解；
（3）通过类比找出变化规律，依此规律将算式展开后即可得出结论．
【详解】
解：观察，发现规律：，，，…，
∴，
（1）原式

；
（2）原式
；
故答案为：；
（3）观察，发现规律：…，
∴，
∴原式=

故答案为：1260.
【点睛】
本题考查了规律型中数字的变化类以及有理数的混合运算，根据等式的变化找出变化规律是解题的关键．
13．阅读理解：德国著名数学家高斯（C．F．Gauss，1777年4月30日-1855年2月23日，物理学家、天文学家、大地测量学家．）被认为是历史上最重要的数学家之一，并有"数学王子"的美誉．高斯从小就善于观察和思考．在他读小学时候就能在课堂上快速的计算出 ，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：
令 ①
②
（右边相加 共 组）①+②：有   ，解得： 请类比以上做法，回答，                            
题目：如下图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，算第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依此类推．

（1） 填写下表：
















（2） 写出第层所对应的点数；
（3） 如果某一层共个点，你知道它是第几层吗?
（4） 写出层的六边形点阵的总点数；
（5） 如果六边形点阵图的总点数是个，你知道它共有几层吗?
【答案】（1）；（2）     ；（3）      层；（4）     ；（5）      层．
【解析】
【分析】
题干：根据倒序相加法计算即可；
（1）用该层对应的点数18，加上前一格中所有层的总点数19即可得到答案；
（2）列出每一层上的点数得到规律即可得到答案；
（3）根据（2）得到的公式列方程解答；
（4）将前面各层上的点数相加得到，根据（1）的计算方法求出答案；
（5）根据（4）得到的公式列方程解答即可.
【详解】
题干：设①，②，
①+②得，
∴
∴答案：
（1） 第四列应填：18+19=37；
















（2）第1层上的点数为1，
第2层上的点数为6=，
第3层上的点数为6+6=，
第4层上的点数为6+6+6=，
，
第n层上的点数为，；
（3）=96，
解答n=17，
∴第 层共 个点；
（4）

=
=；
（5）由（4）得=631，
解得n=15，或n=-14（舍去），     
∴六边形点阵图的第层的总点数是个.
【点睛】
此题考查图形类规律的探究，一元二次方程的实际应用，有理数的混合运算，正六边形的性质，观察并运算得到点阵图的计算规律，并运算高斯速算法进行计算是解题的关键.