专题09 数轴上动点形成的线段系数不为1和差为定值问题


专题09 数轴上动点形成的线段系数不为1和差为定值问题

类型一 线段系数为1和差为定值问题
1．已知：b是最小的正整数，且a、b满足，请回答问题：
（1）请直接写出a、b、c的值：a= ，b= ，c= ．
（2）在（1）的条件下数a，b，c分别在数轴上对应的点A，C有两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时出发相向而行，甲的速度为2个单位/秒，乙的速度为4个单位/秒，当两只电子蚂蚁在数轴上点M处相遇时，求点M表示的数．
（3）在（1）的条件下，点a，b，c分别对应点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动．同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．

【答案】（1）﹣1；1；5；（2）1；（3）不变，2
【解析】
【分析】
（1）先根据b是最小的正整数，求出b，再根据，即可求出a、c；
（2）设经过秒，甲，乙在数轴上点M处相遇，根据题意表示出甲，乙分别走的路程，根据路程之和等于列出方程，解方程即可．
（3）先求出BC=3t+4，AB=3t+2，从而得出BC﹣AB=2．
【详解】
解：（1）∵b是最小的正整数，∴b=1．
∵（c﹣5）2+|a+b|=0，∴a=﹣1，c=5；
故答案为﹣1；1；5；
（2）设经过秒，甲，乙在数轴上点M处相遇，
则
解得
则甲蚂蚁经过1秒到达点，
点表示的数为:
（3）BC﹣AB的值不随着时间t的变化而改变，其值是2，
理由如下：
∵点A都以每秒1个单位的速度向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，
∴BC=3t+4，AB=3t+2，
∴BC﹣AB=（3t+4）﹣（3t+2）=2．

【点睛】
本题考查了数轴与整式的加减，数形结合是解题的关键．
2．已知：b是最小的正整数，且a、b满足（c-6）2+|a+b|=0，请回答问题
（1）请直接写出a、b、c的值．a=___，b=___，c=___．
（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在A、B之间运动时，请化简式子：|x+1|-|x-1|-2|x+5|（请写出化简过程）

（3）在（1）的条件下，数轴上的A，B，M表示的数为a，b，y，是否存在点M，使得点M到点A，点B的距离之和为5？若存在，请求出y的值；若不存在，请说明理由．
（4）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒n（n>0）个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2n个单位长度和5n个单位长度的速度向右运动，假设经过t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【答案】（1）-1、1、6；（2）-10 ；（3）存在，y=2.5或y=-2.5；（4）值不变，BC-AB=3．
【解析】
【分析】
（1）据最小正整数的意义和非负数的性质作答；
（2）先去绝对值号，再去括号，最后合并即可；
（3）据绝对值的性质用y表示出点M到点A，点B的距离之和，再令其等于5，列方程求解；
（4）结合题意，用t和n表示出BC-AB再化简即可判断．
【详解】
解：（1）由b是最小正整数得b=1；
由（c-6）2+|a+b|=0得c-6=0和a+b=0，解之得c=6，a=-1．
故a=-1，b=1，c=6．
（2）∵点P在A、B之间运动
∴-1＜x＜1
∴x+1＞0、x-1＜0、x+5＞0
∴|x+1|-|x-1|-2|x+5|=(x+1)-(1-x)-2(x+5)
=x+1-1+x-2x-10
=-10．
（3）由题意知AB=2，所以M不可能在AB之间，下面讨论M在AB之外的情况
第一种情况，当M在A点左侧时
由MA+MB=MA+MA+AB=5，得MA=1.5
∴|y-(-1)|=1.5且y＜-1
∴y=-2.5；
第二种情况，当M在B点右侧时
由MA+MB=MA+MA-AB=5，得MA=3.5
∴|y-(-1)|=3.5且y＞-1
∴y=2.5；
故存在这样的点M，对应的y=2.5或y=-2.5．
(4)如下图

用A1、B1、C1分别表示A、B、C的初始位置
由题意得，当t秒时，A1A=nt，B1B=2nt，C1C=5nt
∴AB=A1A+A1B1+B1B=nt+2+2nt=3nt+2，BC=B1C-B1B=B1C1+C1C-B1B=5+5nt-2nt=3nt+5
∴BC-AB=(3nt+5)-( 3nt+2)=3
故BC-AB的值不变，且BC-AB的值为3．
【点睛】
此题综合考查了绝对值的意义和数轴上两点之间的距离．弄清数轴上点及点的运动与所表示的数之间的关系是解决本题的关键．
类型二 线段系数不为1和差为定值问题
3．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、c满足|a+2|+（c﹣6）2=0．
若点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC．

（1）a=　 　，b=　 　，c=　 　；
（2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．
①当t=1时，则AC=　 　，AB=　 　；
②当t=2时，则AC=　 　，AB=　 　；
③请问在运动过程中，3AC﹣4AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【答案】（1）-2；1；6；（2）①12，6；②16，9；③不变，值为12．
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值以及偶次方的非负性即可得出a、c的值，再由b是最小的正整数即可得出b的值；
（2）找出当运动时间为t秒时，A、B、C点表示的数．
①代入t＝1，找出A、B、C点表示的数，再根据两点间的距离公式即可得出结论；
②代入t＝2，找出A、B、C点表示的数，再根据两点间的距离公式即可得出结论；
③根据两点间的距离公式用含t的代数式表示出AC、AB的长，将其代入3AC−4AB中即可得出结论．
【详解】
（1）∵|a+2|+（c﹣6）2=0，b是最小的正整数，
∴a＝−2，b＝1，c＝6．
故答案为：−2；1；6．
（2）当运动时间为t秒时，A点表示的数为−t−2，B点表示的数为2t＋1，C点表示的数为3t＋6．
①当t＝1时，A点表示的数为−3，B点表示的数为3，C点表示的数为9，
∴AC＝9−（−3）＝12，AB＝3−（−3）＝6．
故答案为：12；6．
②当t＝2时，A点表示的数为−4，B点表示的数为5，C点表示的数为12，
∴AC＝12−（−4）＝16，AB＝5−（−4）＝9．
故答案为：16；9．
③∵AC＝3t＋6−（−t−2）＝4t＋8，AB＝2t＋1−（−t−2）＝3t＋3，
∴3AC−4AB＝3（4t＋8）−4（3t＋3）＝12．
∴在运动过程中，3AC−4AB的值为定值12．
【点睛】
本题考查了数轴、两点间的距离、列代数式、绝对值以及偶次方的非负性，解题的关键是：（1）根据对值以及偶次方的非负性求出a、c值；（2）用含t的代数式表示出A、B、C点表示的数．
4．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数1，点C表示数c，且a、c满足．
（1）_________，_________；
（2）记点A与点B之间的距离为，点B与点C之间的距离为．若点A以每秒1个单位的速度沿数轴向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位和4个单位的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t秒．
①求和的长度（用含t的代数式表示）．
②请探究的值是否随运动时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的值．

【答案】（1）-2；7；（2）①AB=3＋3t，BC=2t＋6；②不变，12
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值的非负性和平方的非负性即可求出a和c的值；
（2）①先分别求出t秒后点A、B、C所表示的数，然后根据数轴上两点之间的距离公式即可求出结论；
②将①中结论代入并化简即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵，
∴
解得：
故答案为：-2；7；
（2）①∵原来点A表示的数-2，点B表示的数为1，点C表示的数为7, 点A以每秒1个单位的速度沿数轴向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位和4个单位的速度沿数轴向右运动
∴t秒后，点A表示的数为-2－t，点B表示的数为1＋2t，点C表示的数为7＋4t，点C表示的数＞点B表示的数＞点A表示的数
∴AB=（1＋2t）－（-2－t）=3＋3t，BC=（7＋4t）－（1＋2t）=2t＋6；
②不变，

=
=
=12
【点睛】
此题考查的是数轴与动点问题和整式的加减，掌握数轴上两点之间的距离公式是解题关键．
5．数轴上两点A、B，A在B左边，原点O是线段AB上的一点，已知AB=4，且OB=3OA．A、B对应的数分别是a、b，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x．

(1)a= ，b= ，并在数轴上面标出A、B两点；
(2)若PA=2PB，求x的值；
(3)若点P以每秒2个单位长度的速度从原点O向右运动，同时点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．请问在运动过程中，3PB-PA的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由若不变，请求其值．
【答案】(1)，作图见解析
(2)或
(3)不变，8，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据AB=4，且OB=3OA，即可确定a、b的值．
（2）分别用含x的解析式表示出PA和PB的长度，再根据PA=2PB建立等式，就可以求出x的值．
（3）分别表示出t秒后A、B、P的值，再代入3PB-PA，并化简就可以确定这是一个定值．
(1)
解： AB=4，且OB=3OA，A、B对应的数分别是a、b，

故答案为：


(2)
解：①当P点在A点左侧时，PA ②当P点位于A、B两点之间


解得
③当P点在B点右侧时


解得
故x的值为解得或．
(3)
解：t秒后，A点的值为，P点的值为2t，B点的值为




所以3PB-PA的值为定值，不随着时间t的变化而改变．
【点睛】
此题考查了数轴两点之间距离、动点的坐标值的表示以及代数式定值问题的证明，解题的关键是动点坐标值的表示以及分类讨论思想的运用．
类型三 线段系数不为1且含参数和差为定值问题
6．已知a、b满足，，且有理数a、b、c在数轴上对应的点分别为A、B、C．
（1）则______，______，______．
（2）点D是数轴上A点右侧一动点，点E、点F分别为CD、AD中点，当点D运动时，线段EF的长度是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变，请求出其值；
（3）若点A、B、C在数轴上运动，其中点C以每秒1个单位的速度向左运动，同时点A和点B分别以每秒3个单位和每秒2个单位的速度向右运动请问：是否存在一个常数m使得不随运动时间t的改变而改变若存在，请求出m和这个不变化的值；若不存在，请说明理由．
       
【答案】（1）2；-3；-5（2）线段EF的长度不发生变化，其值为；（3）存在常数m，，这个不变化的值为26
【解析】
【分析】
根据非负数的性质求得a、b、c的值即可；
根据中点的定义得到，，再根据即可求解；
求出BC和AB的值，然后求出的值即可．
【详解】
、b满足，
且．
解得，．
．
如图，

当点D运动时，线段EF的长度不发生变化，理由如下：
点E、点F分别为CD、AD中点，
，，
，
当点D运动时，线段EF的长度不发生变化，其值为；
假设存在常数m使得不随运动时间t的改变而改变．
则依题意得：，．
所以与t的值无关，即，
解得，
所以存在常数m，，这个不变化的值为26．
【点睛】
此题考查一元一次方程的应用，数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离．
7．如图，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足|a+10|+（b﹣5）2＝0．
（1）a＝　 　，b＝　 　；
（2）点C在数轴上对应的数为10，在数轴上存在点P，使得PA+PB＝PC，请求出点P对应的数；
（3）点A、B分别以2个单位/秒和3个单位/秒的速度同时向右运动，点M从原点O以5个单位/秒的速度同时向右运动，是否存在常数m，使得3AM+2OB﹣mOM为定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）−10，5；（2）−15或−5；（3）3，40
【解析】
【分析】
（1）根据两个非负数的和为零则它们均为零的性质即可求得a与b的值；
（2）设点P对应的数为x，分点P在点A的左侧和点P在线段AB之间两种情况考虑，利用数轴上两点间的距离即可列方程解决；
（3）求出三个点运动t秒后在数轴上的位置，由数轴上两点间的距离可得3AM+2OB﹣mOM关于t的式子，根据此式即可求得m的值及定值．
【详解】
（1）∵|a+10|≥0，（b﹣5）2≥0，且|a+10|+（b﹣5）2＝0
∴a+10=0，b－5=0
即a=−10，b=5
故答案为：−10，5
（2）设点P对应的数为x
当点P在点A的左侧时，则，，
由题意得：
解得：
当点P在线段AB之间时，       则，，
由题意得：
解得：
综上所述，点P对应的数为−15或−5
（3）存在，理由如下：
当点A、B、M运动t秒时的距离分别为2t、3t、5t，此时点A、B、M在数轴上的位置分别为−10+2t、5+3t、5t
则，，
所以
由题意，当，即m=3时，3AM+2OB﹣mOM为定值40．
【点睛】
本题考查了绝对值与平方的非负性质，数轴上两点间的距离，一元一次方程的解法，多项式的定值问题等知识，关键与难点是数轴上表示两个数的两个点间的距离．注意方程思想的运用．
8．如图，点为原点，、为数轴上两点，，且．

（1）、对应的数分别为______、______；
（2）点、分别以4个单位/秒和3个单位/秒的速度同时向右运动，点从原点以7个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数，使得为定值，若存在请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）−10；5；（2）存在，当m=3时，4AP+3OB−mOP为定值55
【解析】
【分析】
（1）根据题意求出OA、OB的长，根据数轴的性质解答；
（2）设t秒后4AP+3OB−mOP为定值，根据题意列出关系式，根据定值的确定方法求出m即可．
【详解】
解：（1）设OA=2x，则OB=x，
由题意得，2x+x=15，
解得，x=5，
则OA=10，OB=5，
∴A、B对应的数分别为−10、5，
故答案为：−10；5；
（2）存在，
设t秒后4AP+3OB−mOP为定值，
由题意得，4AP+3OB−mOP
=4×[7t−(4t−10)]+3(5+3t)−7mt
=(21−7m)t+55，
∴21−7m=0
解得：m=3
即当m=3时，4AP+3OB−mOP为定值55．
【点睛】
本题考查的是一元一次方程的应用、数轴的应用，根据题意正确列出一元一次方程和掌握数轴上两点之间的距离公式是解题的关键．
9．如图，点O为原点，A，B为数轴上两点，AB=15，且OA：OB=2
（1）A，B对应的数分别为　 　，　 　．
（2）点A，B分别以2个单位/秒和5个单位/秒的速度相向而行，则几秒后A，B相距1个单位长度？
（3）点AB以（2）中的速度同时向右运动，点P从原点O以4个单位秒的速度向右运动，是否存在常数m，使得3AP+2PB﹣mOP为定值？若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由．

【答案】     ﹣10     5
【解析】
【分析】
（1）根据题意求出OA、OB的长，根据数轴的性质解答；
（2）分点A在点B的左侧、点A在点B的右侧两种情况，列方程解答；
（3）根据题意列出关系式，根据定值的确定方法求出m即可．
【详解】
（1）∵AB=15，OA：OB=2
∴AO=10，BO=5
∴A点对应数为﹣10，B点对应数为5
（2）设经过x秒后A，B相距1个单位长度
∵|15﹣（2+5）t|=1
∴t1=2，t2=
当经过2秒或后A，B相距1个单位长度．
（3）设经过t秒，则AP=4t﹣（﹣10+2t）=2t+10，PB=5+5t﹣4t=5+t，OP=4t
∴3AP+2BP﹣mOP=6t+30+2t+10﹣m×4t=8t﹣4mt+40
∴当m=2时，3AP+2BP﹣mOP为定值，定值为40．
【点睛】
本题考查的是一元一次方程的应用、数轴的应用，根据题意正确列出一元一次方程、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
10．已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，其中b是最小的正整数，a，c满足．
（1）填空：______，______，______；
（2）点A，B，C分别以每秒4个单位长度，1个单位长度，1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒．
①当AC长为6时，求t的值；
②当点A在点C左侧时（不考虑点A与B，C重合的情况），是否存在一个常数m使得的值在某段运动过程中不随t的改变而改变？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）①或；②存在，的值为或2．
【解析】
【分析】
（1）根据正整数的定义、绝对值的非负性、偶次方的非负性分别可求出的值；
（2）①先求出运动秒后，点所表示的数，再分点在点左侧和点在点右侧两种情况，然后根据数轴的定义建立方程，解方程即可得；
②先求出运动秒后，点所表示的数，从而可得的长，再分点在点左侧和点在点右侧两种情况，分别求出的值，代入化简，然后根据整式的无关型问题求解即可得．
【详解】
解：（1）是最小的正整数，
，
，
，
解得，
故答案为：；
（2）①由题意，运动后，点所表示的数是，点所表示的数是，
当点在点左侧时，，解得，
当点在点右侧时，，解得，
综上，的值为或；
②由题意，运动后，点所表示的数是，点所表示的数是，点所表示的数是，
当时，，
当时，，
因为点在点左侧，
所以，
当点在点左侧，即时，，
则，
由得：，
即在运动时间内，当时，的值不随的改变而改变；
当点在点右侧，即时，，
则，
由得：，
即在运动时间内，当时，的值不随的改变而改变；
综上，存在一个常数使得的值在某段运动过程中不随的改变而改变，的值为或2．
【点睛】
本题考查了数轴、一元一次方程的应用、绝对值和偶次方的非负性、整式等知识点，较难的是题（2）②，正确分两种情况讨论是解题关键．
11．已知点A、B、C在数轴上所对应的数分别为a、b、c，b是最大的负整数，且a、b、c满足|4b-a|+（c-5）2=0．
（1）a= ，b= ，c= ；
（2）若在数轴上存在一点P，且PB=2PC，则P点表示的数为 ；
（3）若点A和点C同时分别以每秒4个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，同时，点P从原点O以6个单位长度的速度向右运动，设运动的时间为t秒．是否存在常数m，使得4AP+3OC-mOP为定值？若存在，请求出m的值以及这个定值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）3或11；（3）存在，，定值为31
【解析】
【分析】
（1）由是最大的负整数，求解 再利用可得：且 解方程可得答案；
（2）画出图形，设对应的数为 则 再利用 列方程，解方程可得答案；
（3）由题意得，运动秒后，点表示的数分别为 点P始终在点A的右边，可得 再求解结合为定值，可得 解方程可得答案．
【详解】
解：（1）是最大的负整数，



且

故答案为：
（2）如图，

设对应的数为 则


或
或
故答案为3或11；
（3）存在，理由如下：
如图，由题意得，运动秒后，点表示的数分别为

点P始终在点A的右边，

∴
当时，不论t取何值，的值为定值31，
此时
【点睛】
本题考查的是非负数的性质，数轴上两点之间的距离，绝对值方程，数轴上的动点问题，代数式的值与字母的取值无关，整式的加减运算，一元一次方程的应用，掌握以上知识是解题的关键．
12．数形结合是数学解题中的一种重要思想，利用数轴可以将数与形完美结合．一般地，数轴上越往右边的点表示的数越大，例如：若数轴上点M表示数m，则点M向右移动n个单位到达的点N表示的数为m+n，若点M向左移动n个单位到达的点表示的数为m-n．如图1，已知数轴上点A表示的数为10，点B与点A距离18个单位，且在点A的左边，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数为　 　，点P表示的数为　 　．（用含t的式子表示）；
（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．
①求点P运动多少秒追上点Q？
②求点P运动多少秒时与点Q相距6个单位？并求出此时点P表示的数；
（3）如图2，若点P，Q以（2）中的速度同时分别从点A，B向右运动，同时点R从原点O以每秒4个单位的速度向右运动，是否存在常数m，使得QR-OP+mOR为定值，若存在，请求出m的值以及这个定值；若不存在，请说明理由．（其中QR表示数轴上点Q与点R之间的距离，OP表示数轴上点O与点P的距离，OR表示数轴上点O与点R的距离．）


【答案】（1），；（2）①9秒；②点P运动6秒或12秒时与点Q相距6个单位，此时点P表示的数分别为，；（3）当时，为定值，定值为：
【解析】
【分析】
（1）结合题意，根据数轴、代数式的性质分析，即可得到答案；
（2）①根据题意，列方程并求解，即可得到答案；
②分相遇前相距6个单位长度和相遇后相距6个单位长度两种情况分析，结合题意，通过列方程并求解，即可得到；再结合数轴和代数式的性质计算，即可得到答案；
（3）根据题意得：运动时间为t秒时，Q，R，P表示的数分别为：，，；且＜＜；结合数轴的性质列代数式，得当时，为定值，从而完成求解．
【详解】
（1）∵已知数轴上点A表示的数为10，点B与点A距离18个单位，且在点A的左边
∴B表示的数为：；
∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒
∴点P表示的数为：
故答案为：，；
（2）①根据题意，得：
∴，即点P运动9秒时追上点Q；
②分相遇前相距6个单位长度和相遇后相距6个单位长度两种情况分析；
相遇前相距6个单位长度，依题意得：
∴
∴此时点P表示的数为：；
相遇后相距6个单位长度，依题意得：
∴
∴此时点P表示的数为：；
∴点P运动6秒或12秒时与点Q相距6个单位，此时点P表示的数分别为，；
（3）运动时间为t秒时，Q，R，P表示的数分别为：，，；
根据题意得：＜＜
∴，，
∴
当，即时，为定值，定值为：．
【点睛】
本题考查了数轴、代数式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握数轴、代数式、一元一次方程的性质，从而完成求解．