专题11 数字类规律探索

专题11 数字类规律探索

1．阅读探究：，，，…

(1)根据上述规律，小亮发现，求出___________．

(2)小聪继续又发现：

，求出___________．

(3)若，请运用小聪的方法求和的值

2．先阅读下列材料，然后解答问题：

材料：从4张不同的卡片中选取2张，有6种不同的选法，抽象成数学问题就是从4个不同元素中选取2个元素的组合，组合数记为＝＝6．一般地，从n个不同元素中选取m个元素的组合数记作，＝（m≤n）．

例如：从6个不同元素中选3个元素的组合，组合数记作＝＝20

（1）为迎接国家建设工作检查，学校将举办小型书画展览．王老师在班级8幅优秀书画中选取3幅，共有多少种选法？

（2）探索发现：

计算：＝　 　，＝　 　，＝　 　，＝　 　，＝　 　，＝　 　．

由上述计算，试猜想，，之间有什么关系．（只写结论，不需说明理由）

（3）请你直接利用（2）中猜想的结论计算：++++…+．

3．找规律：观察算式

13＝1

13+23＝9

13+23+33＝36

13+23+33+43＝100

…

（1）按规律填空）

13+23+33+43+…+103＝　           ；

13+23+33+43+…+n3＝　           ．

（2）由上面的规律计算：113+123+133+143+…+503（要求：写出计算过程）

（3）思维拓展：计算：23+43+63+…+983+1003（要求：写出计算过程）

4．观察下面三行单项式：

x，，，，，，；①

，，，，，，；②

，，，，，，；③

根据你发现的规律，解答下列问题：

（1）第①行的第8个单项式为_______；

（2）第②行的第9个单项式为_______；第③行的第10个单项式为_______；

（3）取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为当时，求的值．

5．从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表：

（1）按这个规律，当m＝6时，和S为　   　；

（2）从2开始，m个连续偶数相加，它们的和S与m之间的关系，用公式表示出来为：S＝　   　．

（3）应用上述公式计算：

①2+4+6+…+100

②1002+1004+1006+…+1100

③1+3+5+7+…+99

6．如图，将连续的奇数1，3，5，7，…按图1中的方式排成一个数表，用一个十字框框柱5个数，这样框出的任意5个数（如图2）分别用，，，，表示．

（1）若，则______．

（2）直接写出，，，，的和与之间的一个等量关系：______．

（3）设，判断的值能否等于2035？若能，请求出框内5个数，若不能，请说明理由．

7．观察下列等式

，，

将以上三个等式两边分别相加得

（1）猜想并写出：__________．

（2）利用你的结论计算：；

（3）直接写出下列式子的结果：___________．

8．1+3=22

1+3+5=32

1+3+5+7=42

1+3+5+7+9=52

……

（1）按照此规律，写出第5个等式；

（2）按照此规律，写出第（为正整数）个等式；

（3）利用（2）中写出的等式，求101+103+105+……+295+297+299的值．

9．观察下列等式

（1）

（2）

（3）

（4）

…

根据上述等式的规律，解答下列问题：

（1）写出第5个等式：        ；

（2）写出第个等式（用含有的代数式表示）；

（3）设是正整数且，应用你发现的规律，化简：．

10．如图1，在的九个格子中填入个数字， 当每行、每列及每条对角线的个数字之和都相等时，我们把这张图称之为九宫归位图:

（1）若，这个数也能构成九宫归位图， 则此时每行、每列及每条对角线的个数字之和都为         ；

（2）如图2.在这张九宫归位图中，只填入了个数，请将剩余的个数直接填入表2中；(用含的代数式分别表示这个数)

（3）如图3，在这张九宫归位图中，只填入了个数，请你求出右上角“”所表示的数值.

11．将正整数1至2019按照一定规律排成下表：

记aij表示第i行第j个数，如a14＝4表示第1行第4个数是4．

（1）直接写出a35＝        ，a54＝        ；

（2）①若aij＝2019，那么i＝        ，j＝        ，②用i，j表示aij＝        ；

（3）将表格中的5个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的5个数之和能否等于2026．若能， 求出这5个数中的最小数，若不能请说明理由．

12．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如:2的差倒数是，现已知a1=，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…

(1)求a2，a3，a4的值；

(2)根据(1)的计算结果，请猜想并写出a2016•a2017•a2018的值；

(3)计算：a33+a66+a99+…+a9999的值．

13．任何一个整数 ，可以用一个多项式来表示：

．

例如：．已知 是一个三位数．

（1）为    ．

（2）小明猜想：“ 与 的差一定是 的倍数”, 请你帮助小明说明理由．

（3）在一次游戏中，小明算出 ，，， 与 这 个数和是 ，请你求出 这个三位数．

14．高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过的最大整数. 例如：， .试探索：

（1）_____,_____；

（2） _____；       

（3）_____.

15．从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表：

(1)按这个规律，当m=10时，和为__；

(2)从2开始，m个连续偶数相加，它们的和S与m之间的关系，用公式表示出来为：________________________________________．

(3)应用上述公式计算：

①2+4+6+…+100

②108+210+212+…+300

16．（1）观察下列各式：

根据你发现的规律回答下列问题：

①的个位数字是___________；的个位数字是___________；

②的个位数字是___________；的个位数字是___________；

（2）自主探究回答问题：

①的个位数字是___________，的个位数字是___________；

②的个位数字是___________，的个位数字是___________．

（3）若n是自然数，则的个位上的数字（       ）

A．恒为0                 B．有时为0，有时非0            C．与n的末位数字相同          D．无法确定

17．学校餐厅中，一张桌子可坐6人，现有以下两种摆放方式：

(1)当有5张桌子时，第一种方式能坐____________人，第二种方式能坐___________人．

(2)当有n张桌子时，第一种方式能坐____________人，第二种方式能坐____________人．

(3)新学期有200人在学校就餐，但餐厅只有60张这样的餐桌，现在请你当一回小老师，你打算选择以下哪种方式来摆放餐桌？为什么？

18．将奇数1至2021按照顺序排成下表：

记Pmn表示第m行第n个数，如P23表示第2行第3个数是17．

（1）P43＝      ；

（2）若Pmn＝2021，推理m＝      ；n＝      ；

（3）将表格中的4个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的4个数之和能否等于100．若能，求出4个数中的最大数；若不能，请说明理由．

（4）用m、n的代数式表示Pmn＝      ．