高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.2 函数的基本性质学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.2 函数的基本性质学案，共8页。
  3.2.1　单调性与最大(小)值最新课程标准：借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．第1课时　函数的单调性 知识点一　定义域为I的函数f(x)的单调性　定义中的x1，x2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x1<x2；(3)属于同一个单调区间．知识点二　单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．　一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接. 如函数y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．[教材解难]1．教材P77思考f(x)＝|x|在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增；f(x)＝－x2在(－∞，0]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减．2．教材P77思考(1)不能　例如反比例函数f(x)＝－，在(－∞，0)，(0，＋∞)上是单调递增的，在整个定义域上不是单调递增的．(2)函数f(x)＝x在(－∞，＋∞)上是单调递增的．f(x)＝x2在(－∞，0]上是单调递减，在[0，＋∞)上是单调递增的．[基础自测]1．下列说法中正确的有(　　)①若x1，x2∈I，当x1<x2时，f(x1)<f(x2)，则y＝f(x)在I上是增函数；②函数y＝x2在R上是增函数；③函数y＝－在定义域上是增函数；④y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A．0个　　　　　　　　　B．1个C．2个  D．3个解析：由于①中的x1，x2不是任意的，因此①不正确；②③④显然不正确．答案：A2．函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则(　　)A．m>  B．m<C．m>－  D．m<－解析：使y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则2m－1<0，即m<.答案：B3．函数y＝－2x2＋3x的单调减区间是(　　)A．[0，＋∞)  B．(－∞，0)C.  D.解析：借助图象得y＝－2x2＋3x的单调减区间是，故选D.答案：D4．若f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，则x1，x2的大小关系为________．解析：∵f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，∴x1>x2.答案：x1>x2 题型一　利用函数图象求单调区间[经典例题]例1　已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为(　　)　　A．(－3,1)∪(1,4)  B．(－5，－3)∪(－1,1)C．(－3，－1)，(1,4)  D．(－5，－3)，(－1,1)【解析】　在某个区间上，若函数y＝f(x)的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1,4)．【答案】　C观察图象，若图象呈上升(下降)趋势时为增(减)函数，对应的区间是增(减)区间． 跟踪训练1　函数f(x)的图象如图所示，则(　　)　　　　　　A．函数f(x)在[－1,2]上是增函数B．函数f(x)在[－1,2]上是减函数C．函数f(x)在[－1,4]上是减函数D．函数f(x)在[2,4]上是增函数解析：函数单调性反映在函数图象上就是图象上升对应增函数，图象下降对应减函数，故选A.答案：A根据图象上升或下降趋势判断．题型二　函数的单调性判断与证明[教材P79例3]例2　根据定义证明函数y＝x＋在区间(1，＋∞)上单调递增．【证明】　∀x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，有y1－y2＝－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋＝(x1x2－1)．由x1，x2∈(1，＋∞)，得x1>1，x2>1.所以x1x2>1，x1x2－1>0.又由x1<x2，得x1－x2<0.于是(x1x2－1)<0，即y1<y2.所以，函数y＝x＋在区间(1，＋∞)上单调递增.先根据单调性的定义任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，再判断f(x1)－f(x2)的符号． 教材反思利用定义证明函数单调性的步骤注：作差变形是解题关键． 跟踪训练2　利用单调性的定义，证明函数y＝在(－1，＋∞)上是减函数．证明：设x1，x2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝，∵－1<x1<x2，∴x2－x1>0，x1＋1>0，x2＋1>0.∴>0.即f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)．∴y＝在(－1，＋∞)上是减函数．利用四步证明函数的单调性． 题型三　由函数的单调性求参数的取值范围[经典例题]例3　已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围．【解析】　∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，∴f(x)的减区间是(－∞，1－a]．∵f(x)在(－∞，4]上是减函数， ∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合．∴1－a≥4，解得a≤－3.故a的取值范围为(－∞，－3]．　首先求出f(x)的单调减区间，求出f(x)的对称轴为x＝1－a，利用对称轴应在直线x＝4的右侧或与其重合求解. 方法归纳“函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的区别单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．跟踪训练3　例3中，若将“函数在区间(－∞，4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(－∞，4]”，则a为何值？解析：由例3知函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1－a]，∴1－a＝4，a＝－3.求出函数的减区间，用端点值相等求出a.    一、选择题1．定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0，则必有(　　)A．函数f(x)先增后减B．f(x)是R上的增函数C．函数f(x)先减后增D．函数f(x)是R上的减函数解析：由>0知，当a>b时，f(a)>f(b)；当a<b时，f(a)<f(b)，所以函数f(x)是R上的增函数．答案：B2．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是(　　)A．y＝－3x＋2　　B．y＝C．y＝x2－4x＋5   D．y＝3x2＋8x－10解析：显然A、B两项在(0,2)上为减函数，排除；对C项，函数在(－∞，2)上为减函数，也不符合题意；对D项，函数在上为增函数，所以在(0,2)上也为增函数，故选D.答案：D3．函数f(x)＝x|x－2|的增区间是(　　)A．(－∞，1]            B．[2，＋∞)C．(－∞，1]，[2，＋∞)  D．(－∞，＋∞)解析：f(x)＝x|x－2|＝作出f(x)简图如下：由图象可知f(x)的增区间是(－∞，1]，[2，＋∞)．答案：C4．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是(　　)A．(－∞，－3)  B．(0，＋∞)C．(3，＋∞)     D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析：因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，即m>3.答案：C二、填空题5．如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，则函数f(x)的单调递增区间是____________．解析：由图象知单调递增区间为[－1.5,3]和[5,6]．答案：[－1.5,3]和[5,6]6．若f(x)在R上是单调递减的，且f(x－2)<f(3)，则x的取值范围是________．解析：函数的定义域为R.由条件可知，x－2>3，解得x>5.答案：(5，＋∞)7．函数y＝|x2－4x|的单调减区间为________．解析：画出函数y＝|x2－4x|的图象，由图象得单调减区间为：(－∞，0]，[2,4]．答案：(－∞，0]，[2,4]三、解答题8．判断并证明函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上的单调性．解析：函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下：设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝，由x1，x2∈(0，＋∞)，得x1x2>0，又由x1<x2，得x1－x2<0，于是f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上是增函数．9．作出函数f(x)＝的图象，并指出函数的单调区间．解析：f(x)＝的图象如图所示． 由图象可知：函数的单调减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为(2，＋∞)．[尖子生题库]10．已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，求x的取值范围．解析：∵f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，∴解得1≤x<，所以x的取值范围为1≤x<.