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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.2 函数的基本性质学案
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3.2.1 单调性与最大(小)值最新课程标准:借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值,理解它们的作用和实际意义.第1课时 函数的单调性 知识点一 定义域为I的函数f(x)的单调性 定义中的x1,x2有以下3个特征(1)任意性,即“任意取x1,x2”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般;(2)有大小,通常规定x1<x2;(3)属于同一个单调区间.知识点二 单调性与单调区间如果函数y=f(x)在区间D上是单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间. 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接,而应该用“和”连接. 如函数y=在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,却不能表述为:函数y=在(-∞,0)∪(0,+∞)上单调递减.[教材解难]1.教材P77思考f(x)=|x|在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增;f(x)=-x2在(-∞,0]上单调递增,在[0,+∞)上单调递减.2.教材P77思考(1)不能 例如反比例函数f(x)=-,在(-∞,0),(0,+∞)上是单调递增的,在整个定义域上不是单调递增的.(2)函数f(x)=x在(-∞,+∞)上是单调递增的.f(x)=x2在(-∞,0]上是单调递减,在[0,+∞)上是单调递增的.[基础自测]1.下列说法中正确的有( )①若x1,x2∈I,当x1<x2时,f(x1)<f(x2),则y=f(x)在I上是增函数;②函数y=x2在R上是增函数;③函数y=-在定义域上是增函数;④y=的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).A.0个 B.1个C.2个 D.3个解析:由于①中的x1,x2不是任意的,因此①不正确;②③④显然不正确.答案:A2.函数y=(2m-1)x+b在R上是减函数,则( )A.m> B.m<C.m>- D.m<-解析:使y=(2m-1)x+b在R上是减函数,则2m-1<0,即m<.答案:B3.函数y=-2x2+3x的单调减区间是( )A.[0,+∞) B.(-∞,0)C. D.解析:借助图象得y=-2x2+3x的单调减区间是,故选D.答案:D4.若f(x)在R上是增函数,且f(x1)>f(x2),则x1,x2的大小关系为________.解析:∵f(x)在R上是增函数,且f(x1)>f(x2),∴x1>x2.答案:x1>x2 题型一 利用函数图象求单调区间[经典例题]例1 已知函数y=f(x)的图象如图所示,则该函数的减区间为( ) A.(-3,1)∪(1,4) B.(-5,-3)∪(-1,1)C.(-3,-1),(1,4) D.(-5,-3),(-1,1)【解析】 在某个区间上,若函数y=f(x)的图象是上升的,则该区间为增区间,若是下降的,则该区间为减区间,故该函数的减区间为(-3,-1),(1,4).【答案】 C观察图象,若图象呈上升(下降)趋势时为增(减)函数,对应的区间是增(减)区间. 跟踪训练1 函数f(x)的图象如图所示,则( ) A.函数f(x)在[-1,2]上是增函数B.函数f(x)在[-1,2]上是减函数C.函数f(x)在[-1,4]上是减函数D.函数f(x)在[2,4]上是增函数解析:函数单调性反映在函数图象上就是图象上升对应增函数,图象下降对应减函数,故选A.答案:A根据图象上升或下降趋势判断.题型二 函数的单调性判断与证明[教材P79例3]例2 根据定义证明函数y=x+在区间(1,+∞)上单调递增.【证明】 ∀x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,有y1-y2=-=(x1-x2)+=(x1-x2)+=(x1x2-1).由x1,x2∈(1,+∞),得x1>1,x2>1.所以x1x2>1,x1x2-1>0.又由x1<x2,得x1-x2<0.于是(x1x2-1)<0,即y1<y2.所以,函数y=x+在区间(1,+∞)上单调递增.先根据单调性的定义任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,再判断f(x1)-f(x2)的符号. 教材反思利用定义证明函数单调性的步骤注:作差变形是解题关键. 跟踪训练2 利用单调性的定义,证明函数y=在(-1,+∞)上是减函数.证明:设x1,x2是区间(-1,+∞)上任意两个实数且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-=,∵-1<x1<x2,∴x2-x1>0,x1+1>0,x2+1>0.∴>0.即f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2).∴y=在(-1,+∞)上是减函数.利用四步证明函数的单调性. 题型三 由函数的单调性求参数的取值范围[经典例题]例3 已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,求实数a的取值范围.【解析】 ∵f(x)=x2-2(1-a)x+2=[x-(1-a)]2+2-(1-a)2,∴f(x)的减区间是(-∞,1-a].∵f(x)在(-∞,4]上是减函数, ∴对称轴x=1-a必须在直线x=4的右侧或与其重合.∴1-a≥4,解得a≤-3.故a的取值范围为(-∞,-3]. 首先求出f(x)的单调减区间,求出f(x)的对称轴为x=1-a,利用对称轴应在直线x=4的右侧或与其重合求解. 方法归纳“函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的区别单调区间是一个整体概念,说函数的单调递减区间是I,指的是函数递减的最大范围为区间I,而函数在某一区间上单调,则指此区间是相应单调区间的子区间.所以我们在解决函数的单调性问题时,一定要仔细读题,明确条件含义.跟踪训练3 例3中,若将“函数在区间(-∞,4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(-∞,4]”,则a为何值?解析:由例3知函数f(x)的单调递减区间为(-∞,1-a],∴1-a=4,a=-3.求出函数的减区间,用端点值相等求出a. 一、选择题1.定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a,b,总有>0,则必有( )A.函数f(x)先增后减B.f(x)是R上的增函数C.函数f(x)先减后增D.函数f(x)是R上的减函数解析:由>0知,当a>b时,f(a)>f(b);当a<b时,f(a)<f(b),所以函数f(x)是R上的增函数.答案:B2.下列函数中,在(0,2)上为增函数的是( )A.y=-3x+2 B.y=C.y=x2-4x+5 D.y=3x2+8x-10解析:显然A、B两项在(0,2)上为减函数,排除;对C项,函数在(-∞,2)上为减函数,也不符合题意;对D项,函数在上为增函数,所以在(0,2)上也为增函数,故选D.答案:D3.函数f(x)=x|x-2|的增区间是( )A.(-∞,1] B.[2,+∞)C.(-∞,1],[2,+∞) D.(-∞,+∞)解析:f(x)=x|x-2|=作出f(x)简图如下:由图象可知f(x)的增区间是(-∞,1],[2,+∞).答案:C4.函数y=f(x)在R上为增函数,且f(2m)>f(-m+9),则实数m的取值范围是( )A.(-∞,-3) B.(0,+∞)C.(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(3,+∞)解析:因为函数y=f(x)在R上为增函数,且f(2m)>f(-m+9),所以2m>-m+9,即m>3.答案:C二、填空题5.如图所示为函数y=f(x),x∈[-4,7]的图象,则函数f(x)的单调递增区间是____________.解析:由图象知单调递增区间为[-1.5,3]和[5,6].答案:[-1.5,3]和[5,6]6.若f(x)在R上是单调递减的,且f(x-2)<f(3),则x的取值范围是________.解析:函数的定义域为R.由条件可知,x-2>3,解得x>5.答案:(5,+∞)7.函数y=|x2-4x|的单调减区间为________.解析:画出函数y=|x2-4x|的图象,由图象得单调减区间为:(-∞,0],[2,4].答案:(-∞,0],[2,4]三、解答题8.判断并证明函数f(x)=-+1在(0,+∞)上的单调性.解析:函数f(x)=-+1在(0,+∞)上是增函数.证明如下:设x1,x2是(0,+∞)上的任意两个实数,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-=,由x1,x2∈(0,+∞),得x1x2>0,又由x1<x2,得x1-x2<0,于是f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴f(x)=-+1在(0,+∞)上是增函数.9.作出函数f(x)=的图象,并指出函数的单调区间.解析:f(x)=的图象如图所示. 由图象可知:函数的单调减区间为(-∞,1]和(1,2];单调递增区间为(2,+∞).[尖子生题库]10.已知f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,且f(x-2)<f(1-x),求x的取值范围.解析:∵f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,且f(x-2)<f(1-x),∴解得1≤x<,所以x的取值范围为1≤x<.
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