高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质导学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质导学案及答案，共10页。
  第2课时　正弦函数、余弦函数的单调性与最值知识点　正、余弦函数的图象与性质  正弦函数余弦函数图象值域[－1,1][－1,1]单调性在(k∈Z)上递增，在(k∈Z)上递减在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上递增，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上递减最值x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1；x＝2kπ－(k∈Z)时，ymin＝－1x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1　(1)正、余弦函数的单调性：①求解或判断正弦函数、余弦函数的单调区间(或单调性)是求与之相关的复合函数值域(最值)关键的一步；②单调区间要在定义域内求解；③确定含有正弦函数或余弦函数的复合函数的单调性时，要注意用复合函数法来判断．(2)正、余弦函数的最值①明确正、余弦函数的有界性，即|sin x|≤1, |cos x|≤1；②对有些函数，其最值不一定就是1或－1，要依赖函数的定义域来决定；③形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数求最值时，通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Asin z的形式求最值．[教材解难]教材P207思考能．y＝sin＝－sin，要求y＝－sin的单调递增区间，即求y＝sin的单调递减区间．令z＝x－，则函数y＝sin z的单调递减区间为(k∈Z)．由＋2kπ≤x－≤π＋2kπ，k∈Z.得π＋4kπ≤x≤π＋4kπ，k∈Z.又x∈[－2π，2π]∴－2π≤x≤－，π≤x≤2π故函数y＝sin在[－2π，2π]上的单调增区间是，.[基础自测]1．函数y＝sin，x∈R在(　　)A.上是增函数　　B．[0，π]上是减函数C．[－π，0]上是减函数  D．[－π，π]上是减函数解析：y＝sin＝cos x，所以在区间[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数．答案：B2．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是(　　)A．y＝cos|x|      B．y＝cos|－x|C．y＝sin  D．y＝－sin解析：y＝cos|x|在上是减函数，排除A；y＝cos|－x|＝cos|x|，排除B；y＝sin＝－sin＝－cos x是偶函数，且在(0，π)上单调递增，符合题意；y＝－sin在(0，π)上是单调递减的．答案：C3．函数y＝1－2cosx的最小值，最大值分别是(　　)A．－1,3  B．－1,1C．0,3    D．0,1解析：∵－1≤cosx≤1，∴－1≤y≤3.答案：A4．比较大小：sin________cos.解析：sin＝sin＝cos.∵0＜＜＜π，y＝cos x在[0，π]上递减，∴cos＞cos，即sin＞cos.答案：＞   题型一　正、余弦函数的单调性[经典例题]例1　(1)函数f(x)＝sin的一个递减区间是(　　)A.B．[－π，0]C.D.(2)函数y＝cos的单调递增区间是________．【解析】　(1)由≤x≤π，可得≤x＋≤π.所以是函数的一个减区间．(2)因为－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，k∈Z.所以kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.【答案】　(1)D　　(2)(k∈Z)(1)由A，B，C，D中x的范围，求出x＋的范围，验证是否为减区间．(2)将2x－代入到[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z中，解出x的范围，即可得增区间． 方法归纳求与正、余弦函数有关的单调区间的策略及注意点(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．(2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asinz的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间同上．(3)①ω<0时，一般用诱导公式转化为－ω>0后求解；②若A<0，则单调性相反． 跟踪训练1　(1)下列函数，在上是增函数的是(　　)A.y＝sin xB．y＝cos xC．y＝sin 2xD．y＝cos 2x(2)求函数y＝2sin的单调递增区间．解析：(1)因为y＝sin x与y＝cos x在上都是减函数，所以排除A，B.因为≤x≤π，所以π≤2x≤2π.因为y＝sin 2x在2x∈[π，2π]内不具有单调性，所以排除C.(2)由y＝2sin，得y＝－2sin.∴要求函数y＝2sin的单调递增区间，只需求出函数y＝2sin的单调递减区间．令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解之得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.∴函数的单调递增区间为(k∈Z)．答案：(1)D　(2)(k∈Z)(1)逐个验证选项把不符合题意的排除．(2)首先利用诱导公式化简函数为y＝－2sin，再利用性质求增区间．题型二　比较三角函数值的大小[教材P206例4]例2　不通过求值，比较下列各组数的大小：(1)sin与sin；(2)cos与cos.解析：(1)因为－<－<－<0，正弦函数y＝sin x在区间上单调递增，所以sin>sin.(2)cos＝cos＝cos，cos＝cos＝cos.因为0<<<π，且函数y＝cos x在区间[0，π]上单调递减，所以cos>cos，即cos>cos.可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小．为此，先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小． 教材反思比较三角函数值大小的方法(1)利用诱导公式转化为求锐角三角函数值．(2)不同名的函数化为同名函数．(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间．跟踪训练2　比较下列各组数的大小．(1)sin与sinπ；(2)cos 870°与sin 980°.解析：(1)sin＝sin＝sin，sinπ＝sin＝sin，因为y＝sin x在上是增函数，所以sin<sin，即sin<sinπ.(2)cos 870°＝cos(720°＋150°)＝cos 150°，sin 980°＝sin(720°＋260°)＝sin 260°＝sin(90°＋170°)＝cos 170°，因为0°<150°<170°<180°，所以cos 150°>cos 170°，即cos 870°>sin 980°.首先利用诱导公式化成同名的三角函数，把角转化为同一单调区间，最后利用函数的单调性比较大小． 题型三　正、余弦函数的最值问题[经典例题]例3　函数y＝2cos－1的最小值是____________，此时x＝________.【解析】　当2x＋＝π＋2kπ，k∈Z，x＝＋kπ，k∈Z时，ymin＝－2－1＝－3.【答案】　－3　＋kπ，k∈Z观察函数解析式特点，由y＝cos的最小值，求函数y＝2cos－1的最小值，并求x的取值． 方法归纳求正、余弦函数最值问题的关注点(1)形如y＝asin x(或y＝acos x)的函数的最值要注意对a的讨论．(2)将函数式转化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式．(3)换元后配方利用二次函数求最值． 跟踪训练3　求下列函数的值域：(1)y＝cos，x∈；(2)y＝2sin2x＋2sin x－，x∈.解析　(1)由y＝cos，x∈0，可得x＋∈，函数y＝cos x在区间上单调递减，所以函数的值域为.(2)令t＝sin x，∴y＝2t2＋2t－＝22－1.∵x∈，∴≤sin x≤1，即≤t≤1，∴1≤y≤，∴函数f(x)的值域为. (1)先由x的范围求出x＋的范围，再求值域．(2)先换元令t＝sin x，再利用二次函数求值域．   一、选择题1．已知函数y＝sin x和y＝cos x在区间M上都是增函数，那么区间M可以是(　　)A.   B.C.  D.解析：y＝sin x在和上是增函数，y＝cos x在(π，2π)上是增函数，所以区间M可以是.答案：D2．函数y＝2－sin x的最大值及取最大值时x的值为(　　)A．ymax＝3，x＝－B．ymax＝1，x＝＋2kπ(k∈Z)C．ymax＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z)D．ymax＝3，x＝＋2kπ(k∈Z)解析：当x＝－＋2kπ(k∈Z)时，y＝sin x有最小值－1，函数y＝2－sin x有最大值3.答案：C3．符合以下三个条件：①上递减；②以2π为周期；③为奇函数．这样的函数是(　　)A．y＝sin x  B．y＝－sin xC．y＝cos x  D．y＝－cos x解析：在上递减，可以排除A，是奇函数可以排除C，D.答案：B4．下列不等式中成立的是(　　)A．sin>sinB．sin 3>sin 2C．sinπ>sinD．sin 2>cos 1解析：因为sin 2＝cos＝cos，且0<2－<1<π，所以cos>cos 1，即sin 2>cos 1.答案：D二、填空题5．函数y＝cos的单调递减区间为________．解析：y＝cos＝cos，由2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．所以函数的单调减区间为(k∈Z)．答案：(k∈Z)6．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为________．解析：当0≤x≤时，－≤2x－≤，因为函数y＝sin x在上的函数值恒为正数，在上的函数值恒为负数，且在上为增函数，所以函数f(x)的最小值为f(0)＝－.答案：－7．sin________sin(填“>”或“<”)．解析：sin＝sin＝sin，因为0<<<，y＝sin x在上单调递增，所以sin<sin，即sin<sin.答案：>三、解答题8．求下列函数的单调区间：(1)y＝cos 2x；(2)y＝2sin.解析：(1)函数y＝cos 2x的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定：2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z,2kπ≤2x≤2kπ＋π，k∈Z.∴kπ－≤x≤kπ，k∈Z，kπ≤x≤kπ＋，k∈Z.∴函数y＝cos 2x的单调递增区间为，k∈Z，单调递减区间为，k∈Z.(2)y＝2sin＝－2sin，函数y＝－2sinx－的单调递增、递减区间分别是函数y＝2sin的单调递减、递增区间．令2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z.即2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，即函数y＝2sin的单调递增区间为，k∈Z.令2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z.即2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.即函数y＝2sin的单调递减区间为，k∈Z.9．比较下列各组数的大小：(1)cos与cos；(2)sin 194°与cos 160°.解析：(1)cos＝cos，cos＝cos＝cos，∵0<<<π，函数y＝cosx在(0，π)上是减函数，∴cos>cos，即cos>cos.(2)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°.∵0°<14°<70°<90°，∴sin 14°<sin 70°.从而－sin 14°>－sin 70°，即sin 194°>cos 160°.[尖子生题库]10求下列函数的最大值和最小值：(1)y＝3＋2cos；(2)y＝2sin.解析：(1)∵－1≤cos≤1∴当cos＝1时，ymax＝5；当cos＝－1时，ymin＝1.(2)∵－≤x≤，∴0≤2x＋≤，∴0≤sin≤1.∴当sin＝1时，ymax＝2；当sin＝0时，ymin＝0.