高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式教案设计

2.3.2　两点间的距离公式

2.3.3　点到直线的距离公式

2.3.4　两条平行直线间的距离

基础达标练

1.已知点A(-2,-1),B(a,3),且|AB|=5,则a的值为 (　　)

A.1 B.-5 

C.1或-5 D.-1或5

解析由|AB|==5,得(a+2)2=9,解得a=1或-5.

答案C

2.已知两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为(　　)

A.4 B.

C. D.

解析∵直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行,

∴,解得m=2.

∴两条直线方程分别为3x+y-3=0与6x+2y+1=0,即6x+2y-6=0与6x+2y+1=0.

∴两条直线之间的距离为d=.

答案D

3.(多选题)已知点A(1+t,1+3t)到直线l:y=2x-1的距离为,则点A的坐标可以是(　　)

A.(0,-2) B.(2,4)

C.(0,2) D.(1,1)

解析直线l:y=2x-1可化为2x-y-1=0,依题意得,整理得|t|=1,所以t=1或t=-1.当t=1时,点A的坐标为(2,4);当t=-1时,点A的坐标为(0,-2).综上,点A的坐标为(0,-2)或(2,4),故选AB.

答案AB

4.到点A(1,3),B(-5,1)的距离相等的动点P满足的方程是(　　)

A.3x-y-8=0 B.3x+y+4=0

C.3x-y+6=0 D.3x+y+2=0

解析设P(x,y),则,即3x+y+4=0.

答案B

5.直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线方程是 (　　)

A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0

C.3x-2y-12=0 D.2x+3y+8=0

解析(方法1)设所求直线的方程为2x+3y+C=0,由题意可知,

解得C=-6(舍去)或C=8.

故所求直线的方程为2x+3y+8=0.

(方法2)令(x0,y0)为所求直线上任意一点,则点(x0,y0)关于(1,-1)的对称点为(2-x0,-2-y0),此点在直线2x+3y-6=0上,代入可得所求直线方程为2x+3y+8=0.

答案D

6.光线从点A(-3,5)射到x轴上,经x轴反射后经过点B(2,10),则光线从A到B的距离为(　　)

A.5 B.2 

C.5 D.10

解析点B(2,10)关于x轴的对称点为B'(2,-10),由对称性可得光线从A到B的距离为|AB'|==5.选C.

答案C

7.过点(1,3)且与原点的距离为1的直线共有　　　　条. 

解析显然x=1过点(1,3)且与原点的距离为1;再设直线方程为y-3=k(x-1),由=1得,k=,所以直线方程为4x-3y+2=0,因此满足条件的直线有两条.

答案2

8.两平行直线l1:ax+4y=0,l2:3x+4y+m=0,若两直线之间的距离为1,则m=　　　　　　. 

解析根据两平行直线之间的距离公式,得到=1,解得m=±5.

答案±5

9.已知直线l1:x-y=0,l2:2x+y-3=0,l3:ax-2y+4=0.

(1)若点P在直线l1上,且到直线l2的距离为3,求点P的坐标;

(2)若l2∥l3,求l2与l3的距离.

解(1)依题意可设P(t,t),由=3,得|t-1|=5,

解得t=-4或t=6,所以点P的坐标为(-4,-4)或(6,6).

(2)由l2∥l3得a=-4,

∴l2:2x+y-3=0,l3:-4x-2y+4=0,即2x+y-2=0.

∴l2与l3的距离d=.

10.已知△ABC三边所在直线方程:lAB:3x-2y+6=0,lAC:2x+3y-22=0,lBC:3x+4y-m=0(m∈R,m≠30).

(1)判断△ABC的形状;

(2)当BC边上的高为1时,求m的值.

解(1)因为直线AB的斜率为kAB=,直线AC的斜率为kAC=-,

所以kAB·kAC=-1,所以直线AB与AC互相垂直,因此△ABC为直角三角形.

(2)解方程组即A(2,6).

由点到直线的距离公式得d=.

当d=1时,=1,|30-m|=5,解得m=25或m=35.

所以m的值为25或35.

能力提升练

1.(多选题)若点P(x,y)在直线4x+3y=0上,且x,y满足-14≤x-y≤7,则点P到坐标原点距离的取值可以是(　　)

A.6 B.8.5 C.10 D.12

解析∵点P(x,y)在直线4x+3y=0上,且x,y满足-14≤x-y≤7,

∴-6≤x≤3.

∵线段4x+3y=0(-6≤x≤3)过原点,

∴点P到坐标原点的最近距离为0.

又点(-6,8)在线段上,

∴点P到坐标原点的最远距离为=10.

∴点P到坐标原点距离的取值范围是[0,10].

对照选择项知ABC均可.

答案ABC

2.已知直线l在x轴上的截距为1,又有两点A(-2,-1),B(4,5)到l的距离相等,则l的方程为　. 

解析显然l⊥x轴时符合要求,此时l的方程为x=1;

当l的斜率存在时,设l的斜率为k,则l的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0.

∵点A,B到l的距离相等,

∴,

∴|1-3k|=|3k-5|,

解得k=1,∴l的方程为x-y-1=0.

综上,l的方程为x=1或x-y-1=0.

答案x=1或x-y-1=0

3.已知M(1,0),N(-1,0),点P在直线2x-y-1=0上移动,则|PM|2+|PN|2的最小值为　　　　　. 

解析∵点P在直线2x-y-1=0上,可设P的坐标为(a,2a-1),

∴|PM|2+|PN|2=(a-1)2+(2a-1)2+(a+1)2+(2a-1)2=10a2-8a+4=10a-2+.

∴|PM|2+|PN|2的最小值为.

答案

4.两直线3ax-y-2=0和(2a-1)x+5ay-1=0分别过定点A,B,则|AB|的值为　　　　　　　. 

解析直线3ax-y-2=0过定点A(0,-2),直线(2a-1)x+5ay-1=0过定点B-1,,由两点间的距离公式,得|AB|=.

答案

5.已知直线l1:2x-y+a=0,l2:4x-2y-1=0,若直线l1,l2的距离等于,且直线l1不经过第四象限,则a=　　　　　. 

解析由直线l1,l2的方程可知,直线l1∥l2.在直线l1上选取一点P(0,a),依题意得,l1与l2之间的距离为,整理得,解得a=3或a=-4.因为直线l1不经过第四象限,所以a≥0,所以a=3.

答案3

6.已知Rt△ABC,角B为直角,AB=a,BC=b,建立适当的坐标系,写出顶点A,B,C的坐标,并求证斜边AC的中点M到三个顶点的距离相等.

解取边BA所在的直线为x轴,边BC所在的直线为y轴,建立直角坐标系,如图所示,则三个顶点的坐标分别为A(a,0),B(0,0),C(0,b).由中点坐标公式,得斜边AC的中点M的坐标为.

∴|MA|=,

|MB|=,

|MC|=,

∴|MA|=|MB|=|MC|.

7.在△ABC中,A(1,1),B(m,),C(4,2)(1<m<4),求m为何值时,△ABC的面积S最大.

解∵A(1,1),C(4,2),

∴|AC|=,直线AC的方程为x-3y+2=0.

根据点到直线的距离公式,可得点B(m,)到直线AC的距离d=,

∴S=|AC|·d=|m-3+2|

=.

∵1<m<4,∴1<<2⇒-,

∴0≤2<,

∴当m=时,△ABC的面积S最大.

素养培优练

1.已知点P(a,b)在线段AB上运动,其中A(1,0),B(0,1).则(a+2)2+(b+2)2的取值范围是　　　　　　　. 

解析由(a+2)2+(b+2)2联想两点间的距离公式,设点Q的坐标为(-2,-2),又点P的坐标为(a,b),

则|PQ|=,

于是问题转化为求|PQ|2的最大值、最小值.

如图所示,当P与A或B重合时,|PQ|取得最大值,即

,

当PQ⊥AB时,|PQ|取得最小值,此时|PQ|为Q点到直线AB的距离,由A,B两点坐标可得直线AB的方程为x+y-1=0.

则Q点到直线AB的距离d=,所以≤(a+2)2+(b+2)2≤13.

答案,13

2.在x轴上求一点P,使得

(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大,并求出最大值;

(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小,并求出最小值.

解(1)如图,设直线BA与x轴交于点P,此时P为所求点,

且|PB|-|PA|=|AB|==5.∵直线BA的斜率kBA==-,

∴直线BA的方程为y=-x+4.

令y=0,得x=,即P,0.故距离之差最大值为5,此时P点的坐标为,0.

(2)作A关于x轴的对称点A',则A'(4,-1),连接CA',则|CA'|为所求最小值,直线CA'与x轴交点为所求点.

又|CA'|=,

直线CA'的斜率kCA'==-5,

则直线CA'的方程为y-4=-5(x-3).

令y=0,得x=,即P,0.

故距离之和最小值为,此时P点的坐标为,0.