数学选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置课后测评

2.5.1直线与圆的位置关系 -A基础练

一、选择题

1．（2020·全国高二课时练习）直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为（ ）

A．相切                                 B．相交但直线不过圆心

C．直线过圆心                           D．相离

【答案】B

【解析】由圆的方程得到圆心坐标（0，0），半径r=1，则圆心（0，0）到直线y=x+1的距离d==＜r=1，把（0，0）代入直线方程左右两边不相等，得到直线不过圆心．所以直线与圆的位置关系是相交但直线不过圆心．故选B

2．（2020山东泰安实验中学高二期中）直线与圆相切，则实数等于（ ）

A．或 B．或 C．或 D．或

【答案】C

【解析】圆的方程即为（ ，圆心 到直线的距离等于半径 或者 ，故选C．

3.直线y=kx+3被圆x2+y2-6y=0所截得的弦长是 (　　)

A.6 B.3 C.2 D.8

【答案】A

【解析】∵圆的方程为x2+y2-6y=0即x2+(y-3)2=9,∴圆心为(0,3),半径为3,而直线y=kx+3过定点(0,3),过圆心,故直线y=kx+3被圆x2+y2-6y=0所截得的弦长即为直径6.

4．（2020福建莆田一中高二期中）已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数（  ）

A．-2 B．-4 C．-6 D．-8

【答案】B

【解析】圆心，，设圆心到直线的距离为，

∴，，∴，

∴．

5．（多选题）（2020辽宁盘锦二中高二期中）在同一直角坐标系中,直线y=ax+a2与圆(x+a)2+y2=a2的位置不可能为(　　)

【答案】ABD

【解析】由题意,可得a2>0,直线y=ax+a2显然过点(0,a2),故ABD均不可能.

6．（多选题）（2020山东泰安一中高二期中）若过点A(3,0)的直线l与圆(x-1)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率可能是(　　)

A.-1 B.- C. D.

【答案】BC

【解析】由题意知直线l的斜率必存在,设为k,则l的方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0,圆心C(1,0).半径r=1.直线与圆有公共点,需≤1,所以|2k|≤,得k2≤,所以-≤k≤,对照选项知B,C适合.

二、填空题

7．（2020福建三明二中高二期中）过原点且倾斜角为60°的直线被圆所截得的弦长为______.

【解析】直线方程为，圆方程为，圆心到直线的距离，弦长．

8.过点P(3,5)引圆(x-1)2+(y-1)2=4的切线,则切线长为　　　　. 

【答案】4

【解析】由圆的标准方程(x-1)2+(y-1)2=4,得到圆心A坐标(1,1),半径r=|AB|=2,又点P(3,5)与A(1,1)的距离|AP|==2,由直线PB为圆A的切线,得到△ABP为直角三角形,根据勾股定理得|PB|==4.则切线长为4.

9．（2020·浙江下城杭州高级中学高二期中）圆的半径为______．若直线与圆交于两点,则的取值范围是______．

【答案】2；    

【解析】,所以圆心坐标为：,圆的半径为2.因为

直线与圆交于两点,

所以有.

10.（2020山西师大附中高二期中）如下图所示,一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱顶离水面2 m,水面宽12 m,当水面下降1 m后,水面宽为　　　　　 m. 

【答案】   2

【解析】以圆拱拱顶为坐标原点,以水平与圆拱相切的直线为横轴,以过拱顶的竖线为纵轴,建立直角坐标系,如下图所示:

由题意可知:设圆的方程为:x2+(y+r)2=r2(其中r为圆的半径),因为拱顶离水面2 m,水面宽12 m,所以设A(6,-2),代入圆的方程中,得r=10,所以圆的方程为:x2+(y+10)2=100,当水面下降1 m后,设A'(x0,-3)(x0>3)代入圆的方程中,得x0=,所以此时水面宽2 m.

三、解答题

11．（2020·江西赣州三中高二期中）已知圆，直线．

（1）判断直线与圆C的位置关系；

（2）设直线与圆C交于A，B两点，若直线的倾斜角为120°，求弦AB的长．

【解析】 (1)直线l可变形为y－1＝m(x－1)，

因此直线l过定点D(1，1)，又＝1<，

所以点D在圆C内，则直线l与圆C必相交．

(2)由题意知m≠0，所以直线l的斜率k＝m，又k＝tan 120°＝－，即m＝－．

此时，圆心C(0，1)到直线l： x＋y－－1＝0的距离d＝＝，

又圆C的半径r＝，所以|AB|＝2＝2＝．

12.已知两点O(0,0),A(6,0),圆C以线段OA为直径,

(1)求圆C的方程;

(2)若直线l1的方程为x-2y+4=0,直线l2平行于l1,且被圆C截得的弦MN的长是4,求直线l2的方程.

【解析】 (1)依题意知:圆C的半径r==3,

圆心坐标为(3,0),故圆C的方程为(x-3)2+y2=9.

(2)∵直线l2平行于l1,直线l1的方程为x-2y+4=0,

∴设直线l2的方程为x-2y+C=0,

又∵ 弦长MN=4,圆的半径为3,故圆心C到直线l2的距离d=,

∴|3+C|=5,得C=2或C=-8,

∴直线l2的方程为x-2y+2=0或x-2y-8=0.