高中人教A版 (2019)第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）教案

4.5.3　函数模型的应用

1．常用函数模型

2.建立函数模型解决问题的基本过程

思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？

提示：利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：

(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．

这些步骤用框图表示如图：

1．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是(　　)

A.一次函数模型　　 B．二次函数模型

C．指数函数模型   D．对数函数模型

A　[自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．故选A.]

2．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到(　　)

A．300只　　　　 B．400只

C．600只   D．700只

A　[将x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得，100＝alog2(1＋1)，解得a＝100.所以x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.]

3．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是(　　)

A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2 000)

B．y＝0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)

C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2 000)

D．y＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)

D　[由题意知，变速车存车数为(2 000－x)辆次，则总收入y＝0.5x＋(2 000－x)×0.8＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)．]

4．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润y与营运年数x(x∈N)为二次函数关系(如图)，则客车有营运利润的时间不超过________年．

7　[设二次函数y＝a(x－6)2＋11，又过点(4,7)，

所以a＝－1，即y＝－(x－6)2＋11.

解y≥0，得6－≤x≤6＋，所以有营运利润的时间为2.又6<2<7，所以有营运利润的时间不超过7年．]

利用已知函数模型解决实际问题

【例1】　物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)×，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？

[解]　先设定半衰期h，由题意知

40－24＝(88－24)×，

即＝，

解之，得h＝10，故原式可化简为

T－24＝(88－24)×，

当T＝32时，代入上式，得

32－24＝(88－24)×，

即＝＝＝3，∴t＝30.

因此，需要30 min，可降温到32 ℃.

已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值.

1．某种商品在近30天内每件的销售价格P(元)和时间t(天)的函数关系为：

P＝(t∈N*)

设该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q＝40－t(0<t≤30，t∈N*)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？

[解]　设日销售金额为y(元)，则y＝PQ，

所以y＝(t∈N*)

①当0<t<25且t∈N*时，y＝－(t－10)2＋900，

所以当t＝10时，ymax＝900(元)．

②当25≤t≤30且t∈N*时，y＝(t－70)2－900，

所以当t＝25时，ymax＝1 125(元)．

结合①②得ymax＝1 125(元)．

因此，这种商品日销售额的最大值为1 125元，且在第25天时日销售金额达到最大．

自建确定性函数模型解决实际问题

【例2】　牧场中羊群的最大畜养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．

(1)写出y关于x的函数解析式，并指出这个函数的定义域；

(2)求羊群年增长量的最大值．

[思路点拨]　―→―→

[解]　(1)根据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜养率为，故空闲率为1－，由此可得y＝kx(0<x<m)．

(2)对原二次函数配方，得y＝－(x2－mx)

＝－2＋，即当x＝时，y取得最大值.

自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”.

求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务.

设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量.

列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等.

限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等.

拟合数据构建函数模型解决实际问题

[探究问题]

1．实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系吗？

提示：不一定．

2．对于收集的一组样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，…，(xn，yn)我们常对其如何操作，以发现其所隐含的规律？

提示：常先画上述数据的散点图，再借助其变化趋势，结合我们已学习的函数模型，对数据作出合理的分析，从中找出所隐含的规律．

【例3】　某企业常年生产一种出口产品，自2015年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2015年为第1年，前4年年产量f(x)(万件)如下表所示：

(1)画出2015～2018年该企业年产量的散点图；

(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；

(3)2019年(即x＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2019年的年产量为多少？

[思路点拨]　→

[解]　(1)画出散点图，如图所示．

(2)由散点图知，可选用一次函数模型．

设f(x)＝ax＋b(a≠0)．由已知得解得

∴f(x)＝1.5x＋2.5.

检验：f(2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1，

f(4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1.

∴一次函数模型f(x)＝1.5x＋2.5能基本反映年产量的变化．

(3)根据所建的函数模型，预计2019年的年产量为f(5)＝1.5×5＋2.5＝10万件，又年产量减少30%，即10×70%＝7万件，即2019年的年产量为7万件．

函数拟合与预测的一般步骤：

1根据原始数据、表格，绘出散点图.

2通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线.

3求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.

4利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据.

2．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：

(1)根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式；

(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？

[解]　(1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图．

根据点的分布特征，可考虑以y＝a·bx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型．

取其中的两组数据(70,7.90)，(160,47.25)，代入y＝a·bx得：

用计算器算得a≈2，b≈1.02.

这样，我们就得到一个函数模型：y＝2×1.02x.

将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系．

(2)将x＝175代入y＝2×1.02x得y＝2×1.02175，由计算器算得y≈63.98.由于78÷63.98≈1.22>1.2，所以，这个男生偏胖．

1．函数的应用，实质上是函数思想方法的应用，其处理问题的一般方法是根据题意，先构建函数，把所给问题转化为对函数的图象和性质的研究，从而间接求出所需要的结论．

2．解函数应用问题的步骤(四步八字)

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；

(4)还原：将数学问题还原为实际问题．

1．思考辨析

(1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述．(　　)

(2)在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型．(　　)

(3)当不同的范围下，对应关系不同时，可以选择分段函数模型．(　　)

[答案]　(1)√　(2)√　(3)√

2．根据日常生活A、B、C、D四个实际问题，现各收集到的五组数据在平面直角坐标系中画出的散点图(如图所示)，能够构建对数函数模型解决实际问题且拟合度较高的是(　　)

A　    　B　    　C　       　D

[答案]　B

3．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是(　　)

A．y＝0.957 6

B．y＝(0.957 6)100x

C．y＝x

D．y＝1－0.042 4

A　[由题意可知y＝(95.76%)，即y＝0.957 6.]

4．已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50 km/h的速度返回A地．

(1)把汽车离开A地的距离s表示为时间t的函数(从A地出发时开始)，并画出函数的图象；

(2)把车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图象．

[解]　(1)①汽车由A地到B地行驶t h所走的距离s＝60t(0≤t≤2.5)．

②汽车在B地停留1小时，则汽车到A地的距离s＝150(2.5＜t≤3.5)．

③由B地返回A地，则汽车到A地的距离s＝150－50(t－3.5)＝325－50t(3.5＜t≤6.5)．

综上，s＝

它的图象如图(1)所示．

(1)　　　　　　　(2)

(2)速度v(km/h)与时间t(h)的函数关系式是v＝它的图象如图(2)所示．