数学必修 第一册5.1 任意角和弧度制教学设计

5.1.2　弧度制

1．度量角的两种单位制

(1)角度制：

①定义：用度作为单位来度量角的单位制．

②1度的角：周角的.

(2)弧度制：

①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．

②1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．

2．弧度数的计算

思考：比值与所取的圆的半径大小是否有关？

提示：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．

3．角度制与弧度制的换算

4．一些特殊角与弧度数的对应关系

5.扇形的弧长和面积公式

设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则

(1)弧长公式：l＝αR.

(2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2.

1．下列转化结果错误的是(　　)

A．60°化成弧度是 rad

B．－π rad化成度是－600°

C．－150°化成弧度是－π rad

D. rad化成度是15°

C　[对于A,60°＝60× rad＝ rad；对于B，－π rad＝－×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150× rad＝－π rad；对于D， rad＝×180°＝15°.故选C.]

2.是(　　)

A．第一象限角　　 B．第二象限角

C．第三象限角   D．第四象限角

B　[＝4π＋.∵π是第二象限角，∴是第二象限角．]

3．(1) rad化为角度是________．

(2)105°的弧度数是________．

(1)252°　(2)　[(1) rad＝°＝252°；

(2)105°＝105× rad＝ rad.]

4．半径为2，圆心角为的扇形的面积是________．

　[由已知得S扇＝××22＝.]

角度与弧度的互化与应用

【例1】　(1)①将112°30′化为弧度为________．

②将－rad化为角度为________．

(2)已知α＝15°，β＝ rad，γ＝1 rad，θ＝105°，φ＝ rad，试比较α，β，γ，θ，φ的大小．

(1)①rad　②－75°　　[(1)①因为1°＝rad，

所以112°30′＝×112.5 rad＝rad.

②因为1 rad＝°，

所以－rad＝－°＝－75°.]

(2)法一(化为弧度)：

α＝15°＝15× rad＝ rad，θ＝105°＝105× rad＝ rad.

显然＜＜1＜.故α＜β＜γ＜θ＝φ.

法二(化为角度)：

β＝ rad＝×°＝18°，γ＝1 rad≈57.30°，

φ＝×°＝105°.

显然，15°＜18°＜57.30°＜105°.

故α＜β＜γ＜θ＝φ.

角度制与弧度制互化的关键与方法

1关键：抓住互化公式π rad＝180°是关键；

2方法：度数×＝弧度数；弧度数×＝度数；

3角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.

1．(1)将－157°30′化成弧度为________．

(2)将－ rad化为度是________．

(1)－π rad　(2)－396°　[(1)－157°30′＝－157.5°＝－× rad＝－π rad.

(2)－ rad＝－×°＝－396°.]

2．在[0,4π]中，与72°角终边相同的角有________．(用弧度表示)

π，π　[因为终边与72°角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)．

当k＝0时，θ＝72°＝π rad；

当k＝1时，θ＝432°＝π rad，

所以在[0,4π]中与72°终边相同的角有π，π.]

用弧度数表示角

【例2】　(1)终边经过点(a，a)(a≠0)的角α的集合是(　　)

A.

B.

C.

D.

(2)用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合．

[思路点拨]　(1)→

(2)

→

(1)D　[因为角α的终边经过点(a，a)(a≠0)，

所以角α的终边落在直线y＝x上，

所以角α的集合是.]

(2)[解]　因为30°＝ rad,210°＝ rad，

这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB上的角为α＝kπ＋，k∈Z，而终边在y轴上的角为β＝kπ＋，k∈Z，从而终边落在阴影部分内的角的集合为.

1．弧度制下与角α终边相同的角的表示：

在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．

2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤：

(1)仔细观察图形．

(2)写出区域边界作为终边时角的表示．

(3)用不等式表示区域范围内的角．

提醒：角度制与弧度制不能混用.

3．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是(　　)

A．2kπ＋45°(k∈Z)

B．k·360°＋(k∈Z)

C．k·360°－315°(k∈Z)

D．kπ＋(k∈Z)

C　[A，B中弧度与角度混用，不正确．

π＝2π＋，所以π与终边相同．－315°＝－360°＋45°，所以－315°也与45°终边相同．故选C.]

4．用弧度写出终边落在如图阴影部分(不包括边界)内的角的集合．

[解]　30°＝ rad,150°＝ rad.

终边落在题干图中阴影区域内角的集合(不包括边界)是.

弧长公式与扇形面积公式的应用

[探究问题]

1．用公式|α|＝求圆心角时，应注意什么问题？

提示：应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负．

2．在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什么问题？

提示：若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果易出错．

【例3】　(1)如图所示，以正方形ABCD中的点A为圆心，边长AB为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD的弧度数大小为________．

(2)已知扇形OAB的周长是60 cm，面积是20 cm2，求扇形OAB的圆心角的弧度数．

[思路点拨]　(1)先根据两块阴影部分的面积相等列方程再解方程求∠EAD的弧度数．

(2)先根据题意，列关于弧长和半径的方程组，再解方程组求弧长和半径，最后用弧度数公式求圆心角的弧度数．

(1)2－　[设AB＝1，∠EAD＝α，∵S扇形ADE＝S阴影BCD，

由题意可得×12×α＝12－，

∴解得α＝2－.]

(2)设扇形的弧长为l，半径为r，

则

∴或

∴扇形的圆心角的弧度数为

＝43－3或43＋3.

弧度制下解决扇形相关问题的步骤：

(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝αr2和S＝lr.(这里α必须是弧度制下的角)

(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式．

(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．

提醒：看清角的度量制，恰当选用公式．

1．在表示角的时候，由于弧度制的优点，常常使用弧度表示角，但也要注意，用弧度制表示角时，不能与角度制混用．

2．弧度制下弧长和扇形面积公式的应用，要注意使用的前提条件是弧度制下．同时也应注意与其他知识如函数内容的结合．

1．思考辨析(　　)

(1)1弧度的角是周角的.

(2)1弧度的角大于1度的角．

[提示]　(1)错误，1弧度的角是周角的.(2)正确．

[答案]　(1)×　(2)√

2．圆的半径为r，该圆上长为r的弧所对的圆心角是(　　)

A. rad　　 B. rad

C. rad   D. rad

B　[由弧度数公式α＝，得α＝＝，因此圆弧所对的圆心角是 rad.]

3．若把－570°写成2kπ＋α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式，则α＝________.

　[－570°＝－＝－4π＋.]

4．求半径为π cm，圆心角为120°的扇形的弧长及面积．

[解]　因为r＝π，α＝120×＝，

所以l＝αr＝ cm，S＝lr＝ cm2.