人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用学案设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用学案设计，共11页。

6．4　平面向量的应用
6．4.1　平面几何中的向量方法
6．4.2　向量在物理中的应用举例

考点
学习目标
核心素养
向量在平面几何中的应用
会用向量方法解决平面几何中的平行、
垂直、长度、夹角等问题
数学建模、逻辑推理
向量在物理中的应用
会用向量方法解决物理中的速度、力学问题
数学建模、数学运算

问题导学
预习教材P38－P41的内容，思考以下问题：
1．利用向量可以解决哪些常见的几何问题？
2．如何用向量方法解决物理问题？

1．用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”

2．向量在物理学中的应用
(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解决．
(2)物理学中的功是一个标量，即为力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角)．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)求力F1和F2的合力可按照向量加法的平行四边形法则．　(　　)
(2)若△ABC为直角三角形，则有·＝0.(　　)
(3)若向量∥，则AB∥CD.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×
若向量＝(2，2)，＝(－2，3)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为(　　)
A．(0，5)　　　　　　　　 B．(4，－1)
C．2 D．5
解析：选D.F1＋F2＝(2，2)＋(－2，3)＝(0，5)，所以|F1＋F2|＝5.
力F＝(－1，－2)作用于质点P，使P产生的位移为s＝(3，4)，则力F对质点P做的功是________．
解析：因为W＝F·s＝(－1，－2)·(3，4)＝－11，则力F对质点P做的功是－11.
答案：－11
若＝3e，＝5e，且||＝||，则四边形ABCD的形状为________．
解析：由＝3e，＝5e，得∥，≠，又因为ABCD为四边形，所以AB∥DC，AB≠DC.
又||＝||，得AD＝BC，
所以四边形ABCD为等腰梯形．
答案：等腰梯形


向量在几何中的应用
角度一　平面几何中的垂直问题
　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
证明：法一：设＝a，＝b，
则|a|＝|b|，a·b＝0，
又＝＋＝－a＋b，＝＋＝b＋a，
所以·＝·＝－a2－a·b＋b2＝－|a|2＋|b|2＝0.
故⊥，即AF⊥DE.
法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，＝(2，1)，＝(1，－2)．
因为·＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，
所以⊥，即AF⊥DE.
角度二　平面几何中的平行(或共线)问题
　如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且＝＝.求证：点E，O，F在同一直线上．
证明：设＝m，＝n，
由＝＝，知E，F分别是CD，AB的三等分点，
所以＝＋＝＋
＝－m＋(m＋n)＝m＋n，
＝＋＝＋
＝(m＋n)－m＝m＋n.
所以＝.
又O为和的公共点，故点E，O，F在同一直线上．
角度三　平面几何中的长度问题
　如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
解：设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b，
而||＝|a－b|＝＝＝＝2，
所以5－2a·b＝4，所以a·b＝，又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，所以||＝，即AC＝.

用向量方法解决平面几何问题的步骤
　
　已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形为(　　)
A．梯形　　　　　　　　 B．菱形
C．矩形 D．正方形
解析：选A.＝(3，3)，＝(－2，－2)，所以＝－，与共线，但||≠||，故此四边形为梯形．

向量在物理中的应用
　(1)在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？
(2)已知两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点B(7，0)，求F1，F2分别对质点所做的功．
【解】　(1)如图，设表示水流的速度，表示渡船的速度，表示渡船实际垂直过江的速度．
因为＋＝，所以四边形ABCD为平行四边形．
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，||＝||＝12.5.
||＝25，所以∠CAD＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°.
(2)设物体在力F作用下的位移为s，则所做的功为W＝F·s.
因为＝(7，0)－(20，15)＝(－13，－15)．
所以W1＝F1·＝(3，4)·(－13，－15)
＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(焦)，
W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)
＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(焦)．

用向量方法解决物理问题的“三步曲”
　
　已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为(　　)
A．5 N　　　　　　　 B．5 N
C．10 N D．5 N
解析：选B.画出图形，如图，由题意|F1＋F2|＝10 N，所以|F1|＝|F1＋F2|cos 60°＝5 N，故选B.


1．河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为(　　)
A．10 m/s　　　　　　　 B．2 m/s
C．4 m/s D．12 m/s
解析：选B.由题意知|v水|＝2 m/s，|v船|＝10 m/s，作出示意图如图．
所以小船在静水中的速度大小
|v|＝＝2(m/s)．
2．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3，2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝(　　)
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1，2) D．(1，2)
解析：选D.由物理知识知f1＋f2＋f3＋f4＝0，故f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1，2)．
3．设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点，AB∥DC，试用向量证明：PQ∥AB.
证明：设＝λ(λ＞0且λ≠1)，因为＝－＝＋－＝＋(－)
＝＋[(－)－(＋)]
＝＋(－)
＝(＋)＝(－λ＋1)，
所以∥，又P，Q，A，B四点不共线，所以PQ∥AB.
[A　基础达标]
1．已知平面内四边形ABCD和点O，若＝a，＝b，＝c，＝d，且a＋c＝b＋d，则四边形ABCD为(　　)
A．菱形　　　　　　　　　 B．梯形
C．矩形 D．平行四边形
解析：选D.由题意知a－b＝d－c，所以＝，所以四边形ABCD为平行四边形．故选D.
2．如果一架飞机先向东飞行200 km，再向南飞行300 km，设飞机飞行的路程为s km，位移为a，则(　　)
A．s>|a|
B．s<|a|
C．s＝|a|
D．s与|a|不能比较大小
解析：选A.物理量中的路程是数量，位移是向量，从而s＝500，由位移的合成易得|a|<500，故s>|a|.
3．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3的作用而处于平衡状态．已知F1与F2的夹角为60°，且F1，F2的大小分别为2 N和4 N，则F3的大小为(　　)
A．6 N B．2 N
C．2 N D．2 N
解析：选D.由向量的平行四边形法则及力的平衡，得|F3|2＝|－F1－F2|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1|·|F2|·cos 60°＝22＋42＋2×2×4×＝28，所以|F3|＝2 N.
4．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝，·＝5，则AC的长为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.因为＝－＝－，
所以2＝＝2－·＋2，
即2＝1，所以||＝2，即AC＝2.
5．在△ABC中，有下列四个命题：
①－＝；
②＋＋＝0；
③若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形；
④若·>0，则△ABC为锐角三角形．
其中正确的命题有(　　)
A．①② B．①④
C．②③ D．②③④
解析：选C.因为－＝＝－≠，所以①错误.＋＋＝＋＝－＝0，所以②正确．由(＋)·(－)＝2－2＝0，得||＝||，所以△ABC为等腰三角形，③正确.·>0⇒cos A>0，所以A为锐角，但不能确定B，C的大小，所以不能判定△ABC是否为锐角三角形，所以④错误．故选C.
6．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N，则每根绳子的拉力大小为______N.

解析：如图，由题意，得∠AOC＝∠COB＝60°，||＝10，
则||＝||＝10，即每根绳子的拉力大小为10 N.
答案：10
7．点P在平面上做匀速直线运动，速度v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P0的坐标为(－10，10)，则5秒后点P的坐标为________．　
解析：由题意知，＝5v＝(20，－15)，
设点P的坐标为(x，y)，则
解得点P的坐标为(10，－5)．
答案：(10，－5)
8．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1.边DC上的动点P(包含点D，C)与CB延长线上的动点Q(包含点B)满足||＝||，则·的最小值为________．
解析：以点A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设P(x，1)，Q(2，y)，由题意知0≤x≤2，－2≤y≤0.
因为||＝||，所以|x|＝|y|，所以x＝－y.
因为＝(－x，－1)，＝(2－x，y－1)，
所以·＝－x(2－x)－(y－1)
＝x2－2x－y＋1
＝x2－x＋1
＝＋，
所以当x＝时，·取得最小值，为.
答案：
9．已知△ABC是直角三角形，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE.
证明：以C为原点，方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系．
设AC＝a，则A(a，0)，B(0，a)，
D，C(0，0)，E.
因为＝，＝.
所以·＝－a·a＋·a＝0，所以⊥，即AD⊥CE.
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝DC.求：
(1)AD的长；
(2)∠DAC的大小．
【解】　(1)设＝a，＝b，
则＝＋＝＋＝＋(－)
＝＋＝a＋b.
所以||2＝2＝＝a2＋2·a·b＋b2＝×9＋2××3×3×cos 120°＋×9＝3.
故AD＝.
(2)设∠DAC＝θ，则θ为向量与的夹角．
因为cos θ＝＝＝＝＝0，
所以θ＝90°，即∠DAC＝90°.
[B　能力提升]
11．在▱ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，若·＝1，则AB的长为(　　)
A．1 B.
C. D.
解析：选B.设AB的长为a(a>0)，
因为＝＋，＝＋＝－，
所以·＝(＋)·(－)＝·－2＋2＝－a2＋a＋1.
由已知，得－a2＋a＋1＝1.
又因为a>0，所以a＝，即AB的长为.
12．已知P为△ABC所在平面内一点，且满足＝＋，则△APB的面积与△APC的面积之比为________．
解析：由题意得，5＝＋2，
2－2＝－－2，
－2(＋)＝，如图所示，以PA，PB为邻边作▱PAEB，
则C，P，E三点共线，连接PE交AB于点O，则＝2＝4，
所以＝＝＝.
答案：1∶2
13．如图，已知在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，点M在OB上，且OM＝1，点N在OA上，且ON＝1，P为AM与BN的交点，则∠MPN＝______．

解析：设＝a，＝b，与的夹角为θ，
则＝b，＝a，
又因为＝－＝b－a，
＝－＝a－b.
所以·＝·＝－5，
又||＝，||＝，所以cos θ＝＝－.
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝，
又因为∠MPN为向量，的夹角，所以∠MPN＝.
答案：
14．已知正方形ABCD，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证：
(1)BE⊥CF；
(2)AP＝AB.
证明：(1)以A为坐标原点，以的方向为x轴的正方向，以的方向为y轴的正方向，建立平面直角坐标系(图略)，不妨设AB＝2，
则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，E(1，2)，F(0，1)．
因为＝(－1，2)，＝(－2，－1)，
所以·＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，
所以⊥，即BE⊥CF.
(2)设P(x，y)，则＝(x，y－1)，＝(－2，－1)，
因为∥，所以－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2.①
同理，由∥，得y＝－2x＋4.②
由①②得x＝，y＝，即P.
所以||2＝＋＝4＝||2，
所以||＝||，即AP＝AB.
[C　拓展探究]
15．一条宽为 km的河，水流速度为2 km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝ km，船在水中最大航速为4 km/h，问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B码头？用时多少？
解：如图所示，设为水流速度，为航行速度，以AC和AD为邻边作▱ACED且当AE与AB重合时能最快到达彼岸，
根据题意AC⊥AE，在Rt△ADE和▱ACED中，||＝||＝2，||＝4，∠AED＝90°，
所以||＝＝2.
又AB＝，所以用时0.5 h.
因为sin∠EAD＝，∠EAD∈(0°，90°)，
所以∠EAD＝30°.
综上所述，船实际航行速度大小为2 km/h，与水流成120°角时能最快到达B码头，用时0.5 h.