2023年高考数学二轮专项复习《圆锥曲线》(2份打包，教师版+原卷版)

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2023年高考数学二轮专项复习《圆锥曲线》一              、选择题1.设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于(　　)A.5         B.4        C.3         D. 1【答案解析】答案为：B解析：由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由22＋42＝(2)2可知，△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×4×2＝4，故选B.2. “2＜m＜6”是“方程＋＝1表示椭圆”的(　　)A.充分不必要条件      B.必要不充分条件C.充要条件            D.既不充分也不必要条件【答案解析】答案为：B解析：若＋＝1表示椭圆，则有∴2＜m＜6且m≠4.故“2＜m＜6”是“＋＝1表示椭圆”的必要不充分条件.3.已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线＋y2＝1的离心率为(　 　)A.          B.        C.或          D.或【答案解析】答案为：C.解析：由题意知m2＝36，解得m＝±6.当m＝6时，该圆锥曲线表示椭圆，此时a＝，b＝1，c＝，则e＝；当m＝﹣6时，该圆锥曲线表示双曲线，此时a＝1，b＝，c＝，则e＝.故选C.4.若双曲线C1：－＝1与C2：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b＝(　　)A.2        B.4         C.6        D.8【答案解析】答案为：B解析：由题意得＝2⇒b＝2a，C2的焦距2c＝4⇒c＝＝2　⇒b＝4.故选B.5.设椭圆＋＝1(m＞0，n＞0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为(　　)A.＋＝1                   B.＋＝1      C.＋＝1                   D.＋＝1【答案解析】答案为：B解析：因为抛物线的焦点为 (2，0)，故椭圆的焦点在x轴上，且c＝2.又e＝＝，所以m＝4，n2＝m2﹣c2＝12.所以此椭圆的方程为＋＝1.故选B.6.已知点P是椭圆＋＝1(x≠0，y≠0)上的动点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的平分线上一点，且·＝0，则||的取值范围是(　　)A.[0,3)　　      　B.(0,2)     C.[2，3)         D.(0,4]【答案解析】答案为：B；如图，延长F1M交PF2的延长线于点G.∵·＝0，∴⊥.又MP为∠F1PF2的平分线，∴|PF1|＝|PG|，且M为F1G的中点.∵O为F1F2的中点，∴OM綊F2G.∵|F2G|＝||PF2|﹣|PG||＝||PF1|﹣|PF2||，∴||＝|2a﹣2|PF2||＝|4﹣|PF2||.∵4﹣2＜|PF2|＜4或4＜|PF2|＜4＋2，∴||∈(0,2).7.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)与双曲线﹣＝1(m＞0，n＞0)有相同的焦点(﹣c,0)和(c,0)，若c是a，m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率为(　　)A.         B.       C.         D.【答案解析】答案为：C解析：因为椭圆＋＝1(a＞b＞0)与双曲线﹣＝1(m＞0，n＞0)有相同的焦点(﹣c,0)和(c,0)，所以c2＝a2﹣b2＝m2＋n2.因为c是a，m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，所以c2＝am,2n2＝2m2＋c2，所以m2＝，n2＝＋，所以＋＝c2，化为＝，所以e＝＝.故选C.8.已知点P是抛物线y2＝﹣4x上的动点，设点P到此抛物线的准线的距离为d1，到直线x＋y﹣4＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值为(　　)A.2          B.          C.          D.【答案解析】答案为：D解析：点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线x＋y﹣4＝0的垂线，此时d1＋d2最小，∵F(﹣1,0)，则d1＋d2＝＝.故选D.9.已知双曲线﹣＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(　　)A．﹣＝1         B．﹣＝1        C．﹣＝1          D．﹣＝1【答案解析】解析：∵双曲线﹣＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，∴e2＝1＋＝4，∴＝3，即b2＝3a2，∴c2＝a2＋b2＝4a2，由题意可设A(2a，3a)，B(2a，﹣3a)，∵＝3，∴渐近线方程为y＝±x，则点A与点B到直线x﹣y＝0的距离分别为d1＝＝a，d2＝＝a，又∵d1＋d2＝6，∴a＋a＝6，解得a＝，∴b2＝9．∴双曲线的方程为﹣＝1，故选C．10.已知双曲线﹣＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(﹣c，0)，F2(c,0)，P为双曲线上任一点，且·最小值的取值范围是[﹣c2,﹣c2]，则该双曲线的离心率的取值范围为(　　)A.(1，]      B.[，2]       C.(0，]       D.[2，＋∞)【答案解析】答案为：B.解析：设P(x0，y0)，则·＝(﹣c﹣x0，﹣y0)·(c﹣x0，﹣y0)＝x﹣c2＋y，上式当y0＝0时取得最小值a2﹣c2，根据已知﹣c2≤a2﹣c2≤﹣c2，所以c2≤a2≤c2，即2≤≤4，即≤≤2，所以所求双曲线的离心率的取值范围是[，2].11.已知双曲线的标准方程为﹣＝1，F1，F2为其左、右焦点，若P是双曲线右支上的一点，且tan∠PF1F2＝，tan∠PF2F1＝2，则此双曲线的离心率为(　   　)A.          B.           C.               D.【答案解析】答案为：A；解析：由tan∠PF1F2＝，tan∠PF2F1＝2知，PF1⊥PF2，作PQ⊥x轴于点Q，则由△PF1Q∽△F2PQ，得|F1Q|＝4|F2Q|＝c，故P，代入双曲线的方程，有b22﹣a2·2＝a2b2，又a2＋b2＝c2，则(9c2﹣5a2)(c2﹣5a2)＝0，解得＝或＝(舍)，即离心率e＝，故选A.12.已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(　　)A.2          B.3         C.          D.【答案解析】答案为：B解析：设直线AB的方程为x＝ny＋m(如图)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵·＝2，∴x1x2＋y1y2＝2.又y＝x1，y＝x2，∴y1y2＝﹣2.联立得y2﹣ny﹣m＝0，∴y1y2＝﹣m＝﹣2，∴m＝2，即点M(2,0).又S△ABO＝S△AMO＋S△BMO＝|OM||y1|＋|OM||y2|＝y1﹣y2，S△AFO＝|OF|·|y1|＝y1，∴S△ABO＋S△AFO＝y1﹣y2＋y1＝y1＋≥2＝3，当且仅当y1＝时，等号成立.二              、填空题13.已知F1(﹣c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是__________.【答案解析】答案为：[,].解析：设P(x，y)，则·＝(﹣c﹣x，﹣y)·(c﹣x，﹣y)＝x2﹣c2＋y2＝c2，①将y2＝b2﹣x2代入①式，解得x2＝＝，又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2.∴e＝∈[,].14.已知F为双曲线﹣＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，过原点的直线l与双曲线交于M，N两点，且·＝0，△MNF的面积为ab，则该双曲线的离心率为________.【答案解析】答案为：；解析：因为·＝0，所以⊥.设双曲线的左焦点为F′，则由双曲线的对称性知四边形F′MFN为矩形，则有|MF|＝|NF′|，|MN|＝2c.不妨设点N在双曲线右支上，由双曲线的定义知，|NF′|﹣|NF|＝2a，所以|MF|﹣|NF|＝2a.因为S△MNF＝|MF|·|NF|＝ab，所以|MF|·|NF|＝2ab.在Rt△MNF中，|MF|2＋|NF|2＝|MN|2，即(|MF|﹣|NF|)2＋2|MF||NF|＝|MN|2，所以(2a)2＋2·2ab＝(2c)2，把c2＝a2＋b2代入，并整理，得＝1，所以e＝＝ ＝.15.已知以F为焦点的抛物线y2＝4x上的两点A，B满足＝3，则弦AB的中点到准线的距离为________.【答案解析】答案为：;解析：依题意，设直线AB的方程是x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由消去x得y2＝4(my＋1)，即y2﹣4my﹣4＝0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝﹣4.又＝3，＝(1﹣x1，﹣y1)，＝(x2﹣1，y2)，于是有﹣y1＝3y2，y＝，(y1＋y2)2＝4y＝，弦AB的中点到准线的距离为＋1＝＋1＝＋1＝.16.如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a＜b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p＞0)经过C，F两点，则＝        .【答案解析】答案为：1＋；解析：|OD|＝，|DE|＝b，|DC|＝a，|EF|＝b，故C(,-a)，F(＋b,b)，又抛物线y2＝2px(p＞0)经过C、F两点，从而有即∴b2＝a2＋2ab，∴()2﹣2·﹣1＝0，又＞1，∴＝1＋. 三              、解答题17.已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2 的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值.【答案解析】解：(1)直线AB的方程是y＝2（x﹣），与y2＝2px联立，消去y得：4x2﹣5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.由抛物线的定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.(2)由于p＝4，所以4x2﹣5px＋p2＝0即为x2﹣5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，于是y1＝﹣2，y2＝4，从而A(1，﹣2)，B(4，4).设C(x3，y3)，则＝(x3，y3)＝(1，﹣2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1，4λ﹣2)，又y＝8x3，所以[2(2λ﹣1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ﹣1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.18.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，实轴长为2.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围；(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0，m)，求m的取值范围.【答案解析】解：(1)设双曲线C的方程为﹣＝1(a＞0，b＞0).由已知得a＝，c＝2，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，所以双曲线C的方程为﹣y2＝1.(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将y＝kx＋代入﹣y2＝1，得(1﹣3k2)x2﹣6kx﹣9＝0.由题意知解得＜k＜1.所以当l与双曲线左支有两个交点时，k的取值范围为.(3)由(2)得xA＋xB＝，所以yA＋yB＝(kxA＋)＋(kxB＋)＝k(xA＋xB)＋2＝.所以AB的中点P的坐标为.设直线l0的方程为y＝﹣x＋m，将P点坐标代入直线l0的方程，得m＝.因为＜k＜1，所以﹣2＜1﹣3k2＜0.所以m＜﹣2.所以m的取值范围为(﹣∞，﹣2).19.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0).(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·＞2，其中O为原点，求k的取值范围.【答案解析】解：(1)设双曲线方程为﹣＝1(a＞0，b＞0)，由已知得a＝，c＝2.又因为a2＋b2＝c2，所以b2＝1，故双曲线C的方程为﹣y2＝1.(2)将y＝kx＋代入﹣y2＝1得(1﹣3k2)x2﹣6kx﹣9＝0，由直线l与双曲线交于不同的两点得即k2≠且k2＜1.①设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xA＋xB＝，xAxB＝，由·＞2得xAxB＋yAyB＞2，而xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2＝(k2＋1)×＋k×＋2＝，于是＞2，即＞0，解此不等式得＜k2＜3.②由①、②得＜k2＜1.故k的取值范围为(﹣1，﹣)∪(，1).20.P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：﹣＝1(a＞0，b＞0)上一点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足＝λ＋，求λ的值.【答案解析】解：(1)由点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线﹣＝1上，有﹣＝1.由题意有·＝，可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，e＝＝.(2)联立得4x2﹣10cx＋35b2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①设＝(x3，y3)，＝λ＋，即又C为双曲线上一点，即x﹣5y＝5b2，有(λx1＋x2)2﹣5(λy1＋y2)2＝5b2.化简得λ2(x﹣5y)＋(x﹣5y)＋2λ(x1x2﹣5y1y2)＝5b2.②又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以x﹣5y＝5b2，x﹣5y＝5b2.由①式又有x1x2﹣5y1y2＝x1x2﹣5(x1﹣c)(x2﹣c)＝﹣4x1x2＋5c(x1＋x2)﹣5c2＝10b2，②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝﹣4.21.已知点A(0，﹣2)，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.【答案解析】解：(1)设F(c,0)，由条件知，＝，得c＝.又＝，所以a＝2，b2＝a2﹣c2＝1.故E的方程为＋y2＝1.(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx﹣2，P(x1，y1)，Q(x2，y2).将y＝kx﹣2代入＋y2＝1得(1＋4k2)x2﹣16kx＋12＝0.当Δ＝16(4k2﹣3)＞0，即k2＞时，x1,2＝.从而|PQ|＝|x1﹣x2|＝.又点O到直线PQ的距离d＝，所以△OPQ的面积S△OPQ＝d·|PQ|＝.设＝t，则t＞0，S△OPQ＝＝.因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ＞0，所以，当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝x﹣2或y＝﹣x﹣2.22.已知斜率为k的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点.线段AB的中点为M(1，m)(m＞0).(1)证明：k＜﹣；(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且F＋F＋F＝0.证明：||，||，||成等差数列，并求该数列的公差.【答案解析】解：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1.两式相减，并由＝k得＋·k＝0.由题设知＝1，＝m，于是k＝﹣.①由题设得m＜＝，且m＞0，即0＜m＜，故k＜﹣.(2)由题意得F(1，0).设P(x3，y3)，则由(1)及题设得(x3﹣1，y3)＋(x1﹣1，y1)＋(x2﹣1，y2)＝(0，0)，x3＝3﹣(x1＋x2)＝1，y3＝﹣(y1＋y2)＝﹣2m＜0.又点P在C上，所以m＝，从而P1，﹣，|F|＝.于是|F|＝＝＝2﹣.同理|F|＝2﹣.所以|F|＋|F|＝4﹣(x1＋x2)＝3.故2|F|＝|F|＋|F|，即||，||，||成等差数列.设该数列的公差为d，则2|d|＝|||﹣|||＝|x1﹣x2|＝.　②将m＝代入①得k＝﹣1.所以l的方程为y＝﹣x＋，代入C的方程，并整理得7x2﹣14x＋＝0.故x1＋x2＝2，x1x2＝，代入②解得|d|＝.所以该数列的公差为或﹣.23.设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，|AB|＝.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l：y＝kx(k＜0)与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限.若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值.【答案解析】解：(1)设椭圆的焦距为2c，由已知得＝，又由a2＝b2＋c2，可得2a＝3b.由|AB|＝＝，从而a＝3，b＝2.所以，椭圆的方程为＋＝1.(2)设点P的坐标为(x1，y1)，点M的坐标为(x2，y2)，由题意，x2＞x1＞0，点Q的坐标为(﹣x1，﹣y1).由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，可得|PM|＝2|PQ|，从而x2﹣x1＝2[x1﹣(﹣x1)]，即x2＝5x1.易知直线AB的方程为2x＋3y＝6，由方程组消去y，可得x2＝.由方程组消去y，可得x1＝.由x2＝5x1，可得＝5(3k＋2)，两边平方，整理得18k2＋25k＋8＝0，解得k＝﹣，或k＝﹣.当k＝﹣时，x2＝﹣9＜0，不符合题意，舍去；当k＝﹣时，x2＝12，x1＝，符合题意.所以，k的值为﹣.