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_浙江省宁波市北仑区十校联考2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)
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这是一份_浙江省宁波市北仑区十校联考2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省宁波市北仑区十校联考九年级第一学期期中数学试卷
一、单选题（本大题共10小题，共40分）
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝﹣ B．y＝2x2﹣x+2 C．y＝ D．y＝2x+2
2．抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（ 1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
3．如图：点A，B，C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，若∠AOB＝72°，则∠ACB的度数是（ ）
A．18° B．30° C．36° D．72°
4．如图，为了美化校园，学校在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角∠AOB＝120°，半径OA为3m，那么花圃的面积为（ ）
A．6πm2 B．3πm2 C．2πm2 D．πm2
5．如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于C，AB＝8，OC＝3，则⊙O的半径长为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
6．已知抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2018的值（ ）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
7．下列各组条件中一定能推得△ABC与△DEF相似的是（ ）
A． B．，且∠A＝∠E
C．，且∠A＝∠D D．，且∠A＝∠D
8．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4cm，则⊙O的周长为（ ）
A．5πcm B．6πcm C．9πcm D．8πcm
9．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列结论正确的是（ ）
A．BD＝AD B．BC2＝AB•CD C．AD2＝BD•AB D．CD2＝AD•BD
10．当﹣2≤x≤1时，关于x的二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）
A．2 B．2或 C．2或或 D．2或或
二、填空题（本大题共6小题，共30分）
11．二次函数y＝x2﹣2x﹣3的开口方向是向 ．
12．如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，那么AB＝ ．
13．已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值为 ．
14．若y＝（m﹣1）x|m|+1﹣2x是二次函数，则m＝ ．
15．如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝ ．
16．如图所示，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝4，点F位于的处且靠近点A的位置．点C、D分别在线段OA、OB上，CD＝4，E为CD的中点，连接EF、BE．在CD滑动过程中（CD长度始终保持不变），当EF取最小值时，阴影部分的周长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，第17-19题各8分，第20-22题各10分，第23题12分，第24题14分，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交点坐标是（0，3）．
（1）求出m的值并画出这条抛物线；
（2）求抛物线与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；
（3）当x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？
18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC、BC，若∠BAC＝30°，CD＝6cm．
（1）求∠BCD的度数；
（2）求⊙O的直径．
19．已知如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD＝3，AB＝8，AE＝4，AC＝6．求证：△ADE∽△ACB．
20．某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径．如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．
21．已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）如果AB＝3，EC＝，求DC的长．
22．某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的60%．在销售过程中发现，这种儿童玩具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足函数关系y＝﹣10x+700．
（1）求该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润w（元）与x之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少？
23．如图，C、D两点在以AB为直径的半圆上，AD平分∠BAC，连接OD交BC于点E．
（1）求证：OD∥AC．
（2）若AB＝10，BC＝8，连结BD，求BD的长．
24．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+（k﹣1）x﹣k与直线y＝kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．
（1）如图1，当k＝1时，直接写出A，B两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，抛物线y＝x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y＝kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、单选题（本大题共10小题，共40分）
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝﹣ B．y＝2x2﹣x+2 C．y＝ D．y＝2x+2
【分析】根据二次函数的定义：形如y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0），逐一判断即可解答．
解：A、y＝﹣不是二次函数，故此选项不符合题意；
B、y＝2x2﹣x+2是二次函数，故此选项符合题意；
C、y＝是反比例函数，故此选项不符合题意；
D、y＝2x+2是一次函数，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
2．抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（ 1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
【分析】直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标．
解：∵顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），
∴抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2）．
故选：A．
【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．
3．如图：点A，B，C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，若∠AOB＝72°，则∠ACB的度数是（ ）
A．18° B．30° C．36° D．72°
【分析】利用圆周角定理直接求解即可．
解：根据圆周角定理，得∠ACB＝∠AOB＝36°．故选C．
【点评】本题主要考查了圆周角定理的应用．
4．如图，为了美化校园，学校在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角∠AOB＝120°，半径OA为3m，那么花圃的面积为（ ）
A．6πm2 B．3πm2 C．2πm2 D．πm2
【分析】利用扇形的面积公式计算即可．
解：∵扇形花圃的圆心角∠AOB＝120°，半径OA为3cm，
∴花圃的面积为＝3π，
故选：B．
【点评】本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积公式．
5．如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于C，AB＝8，OC＝3，则⊙O的半径长为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
【分析】已知AB和OC的长，根据垂径定理可得，AC＝CB＝4，在Rt△AOC中，根据勾股定理可以求出OA．
解：∵OC⊥AB于C，
∴AC＝CB，
∵AB＝8，
∴AC＝CB＝4，
在Rt△AOC中，OC＝3，
根据勾股定理，
OA＝＝5．
故选：D．
【点评】此题主要考查了垂径定理和勾股定理；解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2＝d2+（）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
6．已知抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2018的值（ ）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
【分析】先求出m2﹣m的值，再代入代数式进行计算即可．
解：∵抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴的一个交点为（m，0），
∴m2﹣m﹣2＝0，
∴m2﹣m＝2，
∴m2﹣m+2018＝2+2018＝2020．
故选：D．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知x轴上点的坐标特点是解答此题的关键．
7．下列各组条件中一定能推得△ABC与△DEF相似的是（ ）
A． B．，且∠A＝∠E
C．，且∠A＝∠D D．，且∠A＝∠D
【分析】根据三角形相似的判定方法（①两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可以判断出A、B的正误；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似）进行判断．
解：A、△ABC与△DEF的三组边不是对应成比例，所以不能判定△ABC与△DEF相似．故本选项错误；
B、∠A与∠E不是△ABC与△DEF的对应成比例的两边的夹角，所以不能判定△ABC与△DEF相似．故本选项错误；
C、△ABC与△DEF的两组对应边的比相等且夹角对应相等，所以能判定△ABC与△DEF相似．故本选项正确；
D、，不是△ABC与△DEF的对应边成比例，所以不能判定△ABC与△DEF相似．故本选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
8．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4cm，则⊙O的周长为（ ）
A．5πcm B．6πcm C．9πcm D．8πcm
【分析】如图，连接OD、OC．根据圆心角、弧、弦的关系证得△AOD是等边三角形，则⊙O的半径长为BC＝4cm；然后由圆的周长公式进行计算．
解：如图，连接OD、OC．
∵AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4cm，
∴＝＝，
∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°．
又OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴OA＝AD＝4cm，
∴⊙O的周长＝2×4π＝8π（cm）．
故选：D．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定．该题利用“有一内角是60度的等腰三角形为等边三角形”证得△AOD是等边三角形．
9．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列结论正确的是（ ）
A．BD＝AD B．BC2＝AB•CD C．AD2＝BD•AB D．CD2＝AD•BD
【分析】根据直角三角形结合垂线的定义，可得出△ACB∽△ADC、△ACB∽△CDB，进而可得出△ADC∽△CDB，再根据相似三角形的性质即可得出结论．
解：∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴△ACB∽△ADC．
同理：△ACB∽△CDB，
∴△ADC∽△CDB，
∴＝，
∴CD2＝AD•BD．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定定理找出△ACB∽△ADC、△ACB∽△CDB、△ADC∽△CDB是解题的关键．
10．当﹣2≤x≤1时，关于x的二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）
A．2 B．2或 C．2或或 D．2或或
【分析】分类讨论：m＜﹣2，﹣2≤m≤1，m＞1，根据函数的增减性，可得答案．
解：当m＜﹣2，x＝﹣2时，y最大＝﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝﹣（舍），
当﹣2≤m≤1，x＝m时，y最大＝m2+1＝4，解得m＝﹣；
当m＞1，x＝1时，y最大＝﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝2，
综上所述：m的值为﹣或2，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的最值，函数的顶点坐标是最大值，利用函数的增减性得出函数的最值，分类讨论是解题关键．
二、填空题（本大题共6小题，共30分）
11．二次函数y＝x2﹣2x﹣3的开口方向是向 上 ．
【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的性质由a＝1＞0即可得到抛物线的开口向上．
解：∵a＝1＞0，
∴抛物线的开口向上．
故答案为上．
【点评】本题考查了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的性质：二次函数的图象为抛物线，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．
12．如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，那么AB＝ 4 ．
【分析】根据相似三角形的判定可得到△ABC∽△CDE，再利用相似三角形的对应边成比例即可求得AB的长．
解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠B＝∠D＝90°，
∴∠A+∠ACB＝90°，
∵AC⊥CE，
∴∠ACE＝90°，
∴∠ECD+∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠ECD，
∴△ABC∽△CDE，
∴，
∵C是线段BD的中点，ED＝1，BD＝4，
∴BC＝CD＝2，
∴，
∴AB＝4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
13．已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值为 12 ．
【分析】直接利用已知比例式假设出a，b，c的值，进而利用a+b﹣2c＝6，得出答案．
解：∵＝＝，
∴设a＝6x，b＝5x，c＝4x，
∵a+b﹣2c＝6，
∴6x+5x﹣8x＝6，
解得：x＝2，
故a＝12．
故答案为：12．
【点评】此题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键．
14．若y＝（m﹣1）x|m|+1﹣2x是二次函数，则m＝ ﹣1 ．
【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可．
解：由y＝（m﹣1）x|m|+1﹣2x是二次函数，得
，
解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
15．如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝ 1 ．
【分析】利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠B＝∠ACD＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求AD的长．
解：∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝∠ACD＝30°，
∴AD＝AB＝×2＝1．
故答案为1．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
16．如图所示，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝4，点F位于的处且靠近点A的位置．点C、D分别在线段OA、OB上，CD＝4，E为CD的中点，连接EF、BE．在CD滑动过程中（CD长度始终保持不变），当EF取最小值时，阴影部分的周长为 ．
【分析】如图，连接OF，OE，BF，取OF的中点T，连接BT．证明△OBF是等边三角形，利用直角三角形斜边中线的性质求出OE，EF≥OF﹣OE＝2，推出当O，E，F共线时，EF的值最小，此时点E与点T重合，求出BT，FT，的长即可．
解：如图，连接OF，OE，BF，取OF的中点T，连接BT．
∵∠AOB＝90°，＝，
∴∠BOF＝60°，
∴的长＝＝π，
∵CE＝DE，
∴OE＝CD＝2，
∵OF＝4，
∴EF≥OF﹣OE＝2，
∴当O，E，F共线时，EF的值最小，此时点E与点T重合，
∴此时EF＝2，
∵OF＝OB，∠BOF＝60°，
∴△BOF是等边三角形，
∵OT＝TF，
∴BT⊥OF，
∴BE＝BT＝＝＝2，
∴此时阴影部分的周长为2+2+π．
故答案为：2+2+π．
【点评】本题考查了弧长的计算，等边三角形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，注意：已知圆的半径为r，那么n'°的圆心角所对的弧的长度为．
三、解答题（本大题共8小题，第17-19题各8分，第20-22题各10分，第23题12分，第24题14分，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交点坐标是（0，3）．
（1）求出m的值并画出这条抛物线；
（2）求抛物线与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；
（3）当x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？
【分析】（1）先把点（0，3）代入抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m求出m的值即可得出抛物线的解析式，利用描点法画出函数图象即可；
（2）、（3）根据函数图象可直接得出结论；
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交点坐标是（0，3），
∴m＝3，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
列表如下：
，
函数图象如图；
（2）由函数图象可知，抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0），顶点坐标为（1，4）；
（3）由函数图象可知，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，能根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解答此题的关键．
18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC、BC，若∠BAC＝30°，CD＝6cm．
（1）求∠BCD的度数；
（2）求⊙O的直径．
【分析】（1）由垂径定理知，，∴∠DCB＝∠CAB＝30°；
（2）由垂径定理知，点E是CD的中点，有CE＝CD＝3，AB是直径，∴∠ACB＝90°，再求出AC的长，利用∠A的余弦即可求解．
解：（1）∵直径AB⊥CD，
∴，
∴∠DCB＝∠CAB＝30度；
（2）∵直径AB⊥CD，CD＝6cm，
∴CE＝3cm，
在Rt△ACE中，∠A＝30°，
∴AC＝6cm，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ACB中，AB＝＝＝4（cm）．
【点评】本题利用了垂径定理和圆周角定理及锐角三角函数的概念求解．
19．已知如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD＝3，AB＝8，AE＝4，AC＝6．求证：△ADE∽△ACB．
【分析】首先根据已知得出AD：AC＝AE：AB，又因为∠DAE＝∠CAB，进而得出△ADE∽△ACB．
【解答】证明：∵AD＝3，AB＝8，AE＝4，AC＝6，
∴，
又∵∠DAE＝∠CAB，
∴△ADE∽△ACB．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
20．某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径．如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．
【分析】先过点O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OB，得出BD＝AB，再设半径为xcm，则OD＝（x﹣4）cm，根据OD2+BD2＝OB2，得出（x﹣4）2+82＝x2，再求出x的值即可．
解：过点O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OB，
∵OC⊥AB
∴BD＝AB＝×16＝8cm
由题意可知，CD＝4cm
∴设半径为xcm，则OD＝（x﹣4）cm
在Rt△BOD中，
由勾股定理得：OD2+BD2＝OB2
（x﹣4）2+82＝x2
解得：x＝10．
答：这个圆形截面的半径为10cm．
【点评】此题考查了垂径定理的应用，关键是作出辅助线，构造直角三角形，用到的知识点是垂径定理、勾股定理，要能把实际问题转化成数学问题．
21．已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）如果AB＝3，EC＝，求DC的长．
【分析】（1）△ABC是等边三角形，得到∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，推出∠BAD＝∠CDE，得到△ABD∽△DCE；
（2）由△ABD∽△DCE，得到＝，然后代入数值求得结果．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，
∵∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝60°，
∴∠BAD＝∠CDE
∴△ABD∽△DCE；
（2）解：由（1）证得△ABD∽△DCE，
∴＝，
设CD＝x，则BD＝3﹣x，
∴＝，
∴x＝1或x＝2，
∴DC＝1或DC＝2．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，注意数形结合和方程思想的应用．
22．某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的60%．在销售过程中发现，这种儿童玩具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足函数关系y＝﹣10x+700．
（1）求该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润w（元）与x之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意得到函数解析式w＝（﹣10x+700）（x﹣30）＝﹣10x2+1000x﹣21000；
（2）列不等式得到x≤48，将（1）中函数关系式化成顶点式w＝﹣10（x﹣50）2+4000，根据二次函数的性质即可得到结论．
解：（1）根据题意得，w＝（﹣10x+700）（x﹣30）
＝﹣10x2+1000x﹣21000；
（2）∵x≤30×（1+60%）＝48，
∴x≤48，
∴w＝﹣10x2+1000x﹣21000
＝﹣10（x﹣50）2+4000，
∵a＝﹣10＜0，对称轴x＝50，
∴当x＝48时，w最大＝﹣10×（48﹣50）2+4000＝3960，
答：当销售单价为48时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是3960元．
【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
23．如图，C、D两点在以AB为直径的半圆上，AD平分∠BAC，连接OD交BC于点E．
（1）求证：OD∥AC．
（2）若AB＝10，BC＝8，连结BD，求BD的长．
【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠CAD＝∠DAB，根据等腰三角形的性质得出∠DAB＝∠ADO，求出∠CAD＝∠ADO，再根据平行线的判定得出即可；
（2）根据圆周角定理得出∠C＝∠ADB＝90°，根据平行线的性质得出∠DEM＝∠C＝90°，根据勾股定理求出AC＝6，根据三角形的中位线求出OE，求出DE，根据相似求出EM，再根据勾股定理求出DM，再根据勾股定理求出BD即可．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠DAB＝∠ADO，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴OD∥AC；
（2）解：设AD交BC于M，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝∠ADB＝90°，
∵OD∥AC，
∴∠DEM＝90°，
由勾股定理得：AC＝＝＝6，
∵AO＝BO，OD∥AC，
∴CE＝BE＝＝4，
∵AC＝6，
∴OE＝AC＝3，
∵OD＝AB＝10＝5，
∴DE＝5﹣3＝2，
∵OD∥AC，
∴△DEM∽△ACM，
∴＝，
∴＝，
解得：EM＝1，则BM＝4+1＝5，
在Rt△DEM中，由勾股定理得：DM＝＝＝，
在Rt△MDB中，由勾股定理得：BD＝＝＝2．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，能求出DE长和∠CAD＝∠ADO是解此题的关键，综合性比较强．
24．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+（k﹣1）x﹣k与直线y＝kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．
（1）如图1，当k＝1时，直接写出A，B两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，抛物线y＝x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y＝kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．
【分析】方法一：
（1）当k＝1时，联立抛物线与直线的解析式，解方程求得点A、B的坐标；
（2）如答图2，作辅助线，求出△ABP面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最大值及点P的坐标；
（3）“存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°”的含义是，以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，由圆周角定理可知，此时∠OQC＝90°且点Q为唯一．以此为基础，构造相似三角形，利用比例式列出方程，求得k的值．需要另外注意一点是考虑直线AB是否与抛物线交于C点，此时亦存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°．
方法二：
（1）联立直线与抛物线方程求出点A，B坐标．
（2）利用面积公式求出P点坐标．
（3）列出定点O坐标，用参数表示C，Q点坐标，利用两直线垂直的性质构建方程求出k的值．
【解答】方法一：
解：（1）当k＝1时，抛物线解析式为y＝x2﹣1，直线解析式为y＝x+1．
联立两个解析式，得：x2﹣1＝x+1，
解得：x＝﹣1或x＝2，
当x＝﹣1时，y＝x+1＝0；当x＝2时，y＝x+1＝3，
∴A（﹣1，0），B（2，3）．
（2）设P（x，x2﹣1）．
如答图2所示，过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1）．
∴PF＝yF﹣yP＝（x+1）﹣（x2﹣1）＝﹣x2+x+2．
S△ABP＝S△PFA+S△PFB＝PF（xF﹣xA）+PF（xB﹣xF）＝PF（xB﹣xA）＝PF
∴S△ABP＝（﹣x2+x+2）＝﹣（x﹣）2+
当x＝时，yP＝x2﹣1＝﹣．
∴△ABP面积最大值为，此时点P坐标为（，﹣）．
（3）设直线AB：y＝kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，
则E（﹣，0），F（0，1），OE＝，OF＝1．
在Rt△EOF中，由勾股定理得：EF＝＝．
令y＝x2+（k﹣1）x﹣k＝0，即（x+k）（x﹣1）＝0，解得：x＝﹣k或x＝1．
∴C（﹣k，0），OC＝k．
Ⅰ、假设存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°，如答图3所示，
则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，根据圆周角定理，此时∠OQC＝90°．
设点N为OC中点，连接NQ，则NQ⊥EF，NQ＝CN＝ON＝．
∴EN＝OE﹣ON＝﹣．
∵∠NEQ＝∠FEO，∠EQN＝∠EOF＝90°，
∴△EQN∽△EOF，
∴，即：，
解得：k＝±，
∵k＞0，
∴k＝．
∴存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°，此时k＝．
Ⅱ、若直线AB过点C时，此时直线与圆的交点只有另一点Q点，故亦存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°，
将C（﹣k，0）代入y＝kx+1中，
可得k＝1，k＝﹣1（舍去），
故存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°，此时k＝1．
综上所述，k＝或1时，存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°．
方法二：
（1）略．
（2）过点P作x轴垂线，叫直线AB于F，
设P（t，t2﹣1），则F（t，t+1）
∴S△ABP＝（FY﹣PY）（BX﹣AX），
∴S△ABP＝（t+1﹣t2+1）（2+1），
∴S△ABP＝﹣t2+t+3，
当t＝时，S△ABP有最大值，
∴S△ABP＝．
（3）∵y＝x2+（k﹣1）x﹣k，
∴y＝（x+k）（x﹣1），
当y＝0时，x1＝﹣k，x2＝1，
∴C（﹣k，0），D（1，0），
当点A和点C重合时，将C（﹣k，0）代入y＝kx+1中，
可得k＝1，k＝﹣1（舍去），
故存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°，此时k＝1．
当点A和点C不重合时，
∵点Q在y＝kx+1上，设Q（t，kt+1），O（0，0），
∵∠OQC＝90°，
∴CQ⊥OQ，
∴KCQ×KOQ＝﹣1，
∴
∴（k2+1）t2+3kt+1＝0有唯一解，
∴△＝（3k）2﹣4（k2+1）＝0，
∴k1＝，k2＝﹣（k＞0故舍去），
∴k＝．
综上所述，k＝或1时，存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°．
【点评】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数及一次函数的图象与性质、解方程、勾股定理、直线与圆的位置关系、相似等重要知识点，有一定的难度．第（2）问中，注意图形面积的计算方法；第（3）问中，解题关键是理解“存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°”的含义．
2022-2023学年浙江省宁波市北仑区十校联考九年级第一学期期中数学试卷
一、单选题（本大题共10小题，共40分）
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝﹣ B．y＝2x2﹣x+2 C．y＝ D．y＝2x+2
2．抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（ 1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
3．如图：点A，B，C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，若∠AOB＝72°，则∠ACB的度数是（ ）
A．18° B．30° C．36° D．72°
4．如图，为了美化校园，学校在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角∠AOB＝120°，半径OA为3m，那么花圃的面积为（ ）
A．6πm2 B．3πm2 C．2πm2 D．πm2
5．如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于C，AB＝8，OC＝3，则⊙O的半径长为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
6．已知抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2018的值（ ）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
7．下列各组条件中一定能推得△ABC与△DEF相似的是（ ）
A． B．，且∠A＝∠E
C．，且∠A＝∠D D．，且∠A＝∠D
8．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4cm，则⊙O的周长为（ ）
A．5πcm B．6πcm C．9πcm D．8πcm
9．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列结论正确的是（ ）
A．BD＝AD B．BC2＝AB•CD C．AD2＝BD•AB D．CD2＝AD•BD
10．当﹣2≤x≤1时，关于x的二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）
A．2 B．2或 C．2或或 D．2或或
二、填空题（本大题共6小题，共30分）
11．二次函数y＝x2﹣2x﹣3的开口方向是向 ．
12．如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，那么AB＝ ．
13．已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值为 ．
14．若y＝（m﹣1）x|m|+1﹣2x是二次函数，则m＝ ．
15．如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝ ．
16．如图所示，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝4，点F位于的处且靠近点A的位置．点C、D分别在线段OA、OB上，CD＝4，E为CD的中点，连接EF、BE．在CD滑动过程中（CD长度始终保持不变），当EF取最小值时，阴影部分的周长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，第17-19题各8分，第20-22题各10分，第23题12分，第24题14分，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交点坐标是（0，3）．
（1）求出m的值并画出这条抛物线；
（2）求抛物线与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；
（3）当x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？
18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC、BC，若∠BAC＝30°，CD＝6cm．
（1）求∠BCD的度数；
（2）求⊙O的直径．
19．已知如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD＝3，AB＝8，AE＝4，AC＝6．求证：△ADE∽△ACB．
20．某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径．如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．
21．已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）如果AB＝3，EC＝，求DC的长．
22．某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的60%．在销售过程中发现，这种儿童玩具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足函数关系y＝﹣10x+700．
（1）求该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润w（元）与x之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少？
23．如图，C、D两点在以AB为直径的半圆上，AD平分∠BAC，连接OD交BC于点E．
（1）求证：OD∥AC．
（2）若AB＝10，BC＝8，连结BD，求BD的长．
24．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+（k﹣1）x﹣k与直线y＝kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．
（1）如图1，当k＝1时，直接写出A，B两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，抛物线y＝x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y＝kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、单选题（本大题共10小题，共40分）
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝﹣ B．y＝2x2﹣x+2 C．y＝ D．y＝2x+2
【分析】根据二次函数的定义：形如y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0），逐一判断即可解答．
解：A、y＝﹣不是二次函数，故此选项不符合题意；
B、y＝2x2﹣x+2是二次函数，故此选项符合题意；
C、y＝是反比例函数，故此选项不符合题意；
D、y＝2x+2是一次函数，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
2．抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（ 1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
【分析】直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标．
解：∵顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），
∴抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2）．
故选：A．
【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．
3．如图：点A，B，C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，若∠AOB＝72°，则∠ACB的度数是（ ）
A．18° B．30° C．36° D．72°
【分析】利用圆周角定理直接求解即可．
解：根据圆周角定理，得∠ACB＝∠AOB＝36°．故选C．
【点评】本题主要考查了圆周角定理的应用．
4．如图，为了美化校园，学校在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角∠AOB＝120°，半径OA为3m，那么花圃的面积为（ ）
A．6πm2 B．3πm2 C．2πm2 D．πm2
【分析】利用扇形的面积公式计算即可．
解：∵扇形花圃的圆心角∠AOB＝120°，半径OA为3cm，
∴花圃的面积为＝3π，
故选：B．
【点评】本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积公式．
5．如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于C，AB＝8，OC＝3，则⊙O的半径长为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
【分析】已知AB和OC的长，根据垂径定理可得，AC＝CB＝4，在Rt△AOC中，根据勾股定理可以求出OA．
解：∵OC⊥AB于C，
∴AC＝CB，
∵AB＝8，
∴AC＝CB＝4，
在Rt△AOC中，OC＝3，
根据勾股定理，
OA＝＝5．
故选：D．
【点评】此题主要考查了垂径定理和勾股定理；解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2＝d2+（）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
6．已知抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2018的值（ ）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
【分析】先求出m2﹣m的值，再代入代数式进行计算即可．
解：∵抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴的一个交点为（m，0），
∴m2﹣m﹣2＝0，
∴m2﹣m＝2，
∴m2﹣m+2018＝2+2018＝2020．
故选：D．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知x轴上点的坐标特点是解答此题的关键．
7．下列各组条件中一定能推得△ABC与△DEF相似的是（ ）
A． B．，且∠A＝∠E
C．，且∠A＝∠D D．，且∠A＝∠D
【分析】根据三角形相似的判定方法（①两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可以判断出A、B的正误；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似）进行判断．
解：A、△ABC与△DEF的三组边不是对应成比例，所以不能判定△ABC与△DEF相似．故本选项错误；
B、∠A与∠E不是△ABC与△DEF的对应成比例的两边的夹角，所以不能判定△ABC与△DEF相似．故本选项错误；
C、△ABC与△DEF的两组对应边的比相等且夹角对应相等，所以能判定△ABC与△DEF相似．故本选项正确；
D、，不是△ABC与△DEF的对应边成比例，所以不能判定△ABC与△DEF相似．故本选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
8．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4cm，则⊙O的周长为（ ）
A．5πcm B．6πcm C．9πcm D．8πcm
【分析】如图，连接OD、OC．根据圆心角、弧、弦的关系证得△AOD是等边三角形，则⊙O的半径长为BC＝4cm；然后由圆的周长公式进行计算．
解：如图，连接OD、OC．
∵AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4cm，
∴＝＝，
∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°．
又OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴OA＝AD＝4cm，
∴⊙O的周长＝2×4π＝8π（cm）．
故选：D．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定．该题利用“有一内角是60度的等腰三角形为等边三角形”证得△AOD是等边三角形．
9．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列结论正确的是（ ）
A．BD＝AD B．BC2＝AB•CD C．AD2＝BD•AB D．CD2＝AD•BD
【分析】根据直角三角形结合垂线的定义，可得出△ACB∽△ADC、△ACB∽△CDB，进而可得出△ADC∽△CDB，再根据相似三角形的性质即可得出结论．
解：∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴△ACB∽△ADC．
同理：△ACB∽△CDB，
∴△ADC∽△CDB，
∴＝，
∴CD2＝AD•BD．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定定理找出△ACB∽△ADC、△ACB∽△CDB、△ADC∽△CDB是解题的关键．
10．当﹣2≤x≤1时，关于x的二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）
A．2 B．2或 C．2或或 D．2或或
【分析】分类讨论：m＜﹣2，﹣2≤m≤1，m＞1，根据函数的增减性，可得答案．
解：当m＜﹣2，x＝﹣2时，y最大＝﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，解得m＝﹣（舍），
当﹣2≤m≤1，x＝m时，y最大＝m2+1＝4，解得m＝﹣；
当m＞1，x＝1时，y最大＝﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝2，
综上所述：m的值为﹣或2，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的最值，函数的顶点坐标是最大值，利用函数的增减性得出函数的最值，分类讨论是解题关键．
二、填空题（本大题共6小题，共30分）
11．二次函数y＝x2﹣2x﹣3的开口方向是向 上 ．
【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的性质由a＝1＞0即可得到抛物线的开口向上．
解：∵a＝1＞0，
∴抛物线的开口向上．
故答案为上．
【点评】本题考查了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的性质：二次函数的图象为抛物线，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．
12．如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，那么AB＝ 4 ．
【分析】根据相似三角形的判定可得到△ABC∽△CDE，再利用相似三角形的对应边成比例即可求得AB的长．
解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠B＝∠D＝90°，
∴∠A+∠ACB＝90°，
∵AC⊥CE，
∴∠ACE＝90°，
∴∠ECD+∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠ECD，
∴△ABC∽△CDE，
∴，
∵C是线段BD的中点，ED＝1，BD＝4，
∴BC＝CD＝2，
∴，
∴AB＝4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
13．已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值为 12 ．
【分析】直接利用已知比例式假设出a，b，c的值，进而利用a+b﹣2c＝6，得出答案．
解：∵＝＝，
∴设a＝6x，b＝5x，c＝4x，
∵a+b﹣2c＝6，
∴6x+5x﹣8x＝6，
解得：x＝2，
故a＝12．
故答案为：12．
【点评】此题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键．
14．若y＝（m﹣1）x|m|+1﹣2x是二次函数，则m＝ ﹣1 ．
【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可．
解：由y＝（m﹣1）x|m|+1﹣2x是二次函数，得
，
解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
15．如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD＝ 1 ．
【分析】利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠B＝∠ACD＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求AD的长．
解：∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝∠ACD＝30°，
∴AD＝AB＝×2＝1．
故答案为1．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
16．如图所示，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝4，点F位于的处且靠近点A的位置．点C、D分别在线段OA、OB上，CD＝4，E为CD的中点，连接EF、BE．在CD滑动过程中（CD长度始终保持不变），当EF取最小值时，阴影部分的周长为 ．
【分析】如图，连接OF，OE，BF，取OF的中点T，连接BT．证明△OBF是等边三角形，利用直角三角形斜边中线的性质求出OE，EF≥OF﹣OE＝2，推出当O，E，F共线时，EF的值最小，此时点E与点T重合，求出BT，FT，的长即可．
解：如图，连接OF，OE，BF，取OF的中点T，连接BT．
∵∠AOB＝90°，＝，
∴∠BOF＝60°，
∴的长＝＝π，
∵CE＝DE，
∴OE＝CD＝2，
∵OF＝4，
∴EF≥OF﹣OE＝2，
∴当O，E，F共线时，EF的值最小，此时点E与点T重合，
∴此时EF＝2，
∵OF＝OB，∠BOF＝60°，
∴△BOF是等边三角形，
∵OT＝TF，
∴BT⊥OF，
∴BE＝BT＝＝＝2，
∴此时阴影部分的周长为2+2+π．
故答案为：2+2+π．
【点评】本题考查了弧长的计算，等边三角形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，注意：已知圆的半径为r，那么n'°的圆心角所对的弧的长度为．
三、解答题（本大题共8小题，第17-19题各8分，第20-22题各10分，第23题12分，第24题14分，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交点坐标是（0，3）．
（1）求出m的值并画出这条抛物线；
（2）求抛物线与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；
（3）当x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？
【分析】（1）先把点（0，3）代入抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m求出m的值即可得出抛物线的解析式，利用描点法画出函数图象即可；
（2）、（3）根据函数图象可直接得出结论；
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+（m﹣1）x+m与y轴交点坐标是（0，3），
∴m＝3，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
列表如下：
，
函数图象如图；
（2）由函数图象可知，抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0），顶点坐标为（1，4）；
（3）由函数图象可知，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，能根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解答此题的关键．
18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC、BC，若∠BAC＝30°，CD＝6cm．
（1）求∠BCD的度数；
（2）求⊙O的直径．
【分析】（1）由垂径定理知，，∴∠DCB＝∠CAB＝30°；
（2）由垂径定理知，点E是CD的中点，有CE＝CD＝3，AB是直径，∴∠ACB＝90°，再求出AC的长，利用∠A的余弦即可求解．
解：（1）∵直径AB⊥CD，
∴，
∴∠DCB＝∠CAB＝30度；
（2）∵直径AB⊥CD，CD＝6cm，
∴CE＝3cm，
在Rt△ACE中，∠A＝30°，
∴AC＝6cm，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ACB中，AB＝＝＝4（cm）．
【点评】本题利用了垂径定理和圆周角定理及锐角三角函数的概念求解．
19．已知如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD＝3，AB＝8，AE＝4，AC＝6．求证：△ADE∽△ACB．
【分析】首先根据已知得出AD：AC＝AE：AB，又因为∠DAE＝∠CAB，进而得出△ADE∽△ACB．
【解答】证明：∵AD＝3，AB＝8，AE＝4，AC＝6，
∴，
又∵∠DAE＝∠CAB，
∴△ADE∽△ACB．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
20．某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径．如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．
【分析】先过点O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OB，得出BD＝AB，再设半径为xcm，则OD＝（x﹣4）cm，根据OD2+BD2＝OB2，得出（x﹣4）2+82＝x2，再求出x的值即可．
解：过点O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OB，
∵OC⊥AB
∴BD＝AB＝×16＝8cm
由题意可知，CD＝4cm
∴设半径为xcm，则OD＝（x﹣4）cm
在Rt△BOD中，
由勾股定理得：OD2+BD2＝OB2
（x﹣4）2+82＝x2
解得：x＝10．
答：这个圆形截面的半径为10cm．
【点评】此题考查了垂径定理的应用，关键是作出辅助线，构造直角三角形，用到的知识点是垂径定理、勾股定理，要能把实际问题转化成数学问题．
21．已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）如果AB＝3，EC＝，求DC的长．
【分析】（1）△ABC是等边三角形，得到∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，推出∠BAD＝∠CDE，得到△ABD∽△DCE；
（2）由△ABD∽△DCE，得到＝，然后代入数值求得结果．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AB＝AC，
∵∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝60°，
∴∠BAD＝∠CDE
∴△ABD∽△DCE；
（2）解：由（1）证得△ABD∽△DCE，
∴＝，
设CD＝x，则BD＝3﹣x，
∴＝，
∴x＝1或x＝2，
∴DC＝1或DC＝2．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，注意数形结合和方程思想的应用．
22．某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的60%．在销售过程中发现，这种儿童玩具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足函数关系y＝﹣10x+700．
（1）求该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润w（元）与x之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意得到函数解析式w＝（﹣10x+700）（x﹣30）＝﹣10x2+1000x﹣21000；
（2）列不等式得到x≤48，将（1）中函数关系式化成顶点式w＝﹣10（x﹣50）2+4000，根据二次函数的性质即可得到结论．
解：（1）根据题意得，w＝（﹣10x+700）（x﹣30）
＝﹣10x2+1000x﹣21000；
（2）∵x≤30×（1+60%）＝48，
∴x≤48，
∴w＝﹣10x2+1000x﹣21000
＝﹣10（x﹣50）2+4000，
∵a＝﹣10＜0，对称轴x＝50，
∴当x＝48时，w最大＝﹣10×（48﹣50）2+4000＝3960，
答：当销售单价为48时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是3960元．
【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
23．如图，C、D两点在以AB为直径的半圆上，AD平分∠BAC，连接OD交BC于点E．
（1）求证：OD∥AC．
（2）若AB＝10，BC＝8，连结BD，求BD的长．
【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠CAD＝∠DAB，根据等腰三角形的性质得出∠DAB＝∠ADO，求出∠CAD＝∠ADO，再根据平行线的判定得出即可；
（2）根据圆周角定理得出∠C＝∠ADB＝90°，根据平行线的性质得出∠DEM＝∠C＝90°，根据勾股定理求出AC＝6，根据三角形的中位线求出OE，求出DE，根据相似求出EM，再根据勾股定理求出DM，再根据勾股定理求出BD即可．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠DAB＝∠ADO，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴OD∥AC；
（2）解：设AD交BC于M，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝∠ADB＝90°，
∵OD∥AC，
∴∠DEM＝90°，
由勾股定理得：AC＝＝＝6，
∵AO＝BO，OD∥AC，
∴CE＝BE＝＝4，
∵AC＝6，
∴OE＝AC＝3，
∵OD＝AB＝10＝5，
∴DE＝5﹣3＝2，
∵OD∥AC，
∴△DEM∽△ACM，
∴＝，
∴＝，
解得：EM＝1，则BM＝4+1＝5，
在Rt△DEM中，由勾股定理得：DM＝＝＝，
在Rt△MDB中，由勾股定理得：BD＝＝＝2．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，能求出DE长和∠CAD＝∠ADO是解此题的关键，综合性比较强．
24．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+（k﹣1）x﹣k与直线y＝kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．
（1）如图1，当k＝1时，直接写出A，B两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，抛物线y＝x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y＝kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．
【分析】方法一：
（1）当k＝1时，联立抛物线与直线的解析式，解方程求得点A、B的坐标；
（2）如答图2，作辅助线，求出△ABP面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最大值及点P的坐标；
（3）“存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°”的含义是，以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，由圆周角定理可知，此时∠OQC＝90°且点Q为唯一．以此为基础，构造相似三角形，利用比例式列出方程，求得k的值．需要另外注意一点是考虑直线AB是否与抛物线交于C点，此时亦存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°．
方法二：
（1）联立直线与抛物线方程求出点A，B坐标．
（2）利用面积公式求出P点坐标．
（3）列出定点O坐标，用参数表示C，Q点坐标，利用两直线垂直的性质构建方程求出k的值．
【解答】方法一：
解：（1）当k＝1时，抛物线解析式为y＝x2﹣1，直线解析式为y＝x+1．
联立两个解析式，得：x2﹣1＝x+1，
解得：x＝﹣1或x＝2，
当x＝﹣1时，y＝x+1＝0；当x＝2时，y＝x+1＝3，
∴A（﹣1，0），B（2，3）．
（2）设P（x，x2﹣1）．
如答图2所示，过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1）．
∴PF＝yF﹣yP＝（x+1）﹣（x2﹣1）＝﹣x2+x+2．
S△ABP＝S△PFA+S△PFB＝PF（xF﹣xA）+PF（xB﹣xF）＝PF（xB﹣xA）＝PF
∴S△ABP＝（﹣x2+x+2）＝﹣（x﹣）2+
当x＝时，yP＝x2﹣1＝﹣．
∴△ABP面积最大值为，此时点P坐标为（，﹣）．
（3）设直线AB：y＝kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，
则E（﹣，0），F（0，1），OE＝，OF＝1．
在Rt△EOF中，由勾股定理得：EF＝＝．
令y＝x2+（k﹣1）x﹣k＝0，即（x+k）（x﹣1）＝0，解得：x＝﹣k或x＝1．
∴C（﹣k，0），OC＝k．
Ⅰ、假设存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°，如答图3所示，
则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，根据圆周角定理，此时∠OQC＝90°．
设点N为OC中点，连接NQ，则NQ⊥EF，NQ＝CN＝ON＝．
∴EN＝OE﹣ON＝﹣．
∵∠NEQ＝∠FEO，∠EQN＝∠EOF＝90°，
∴△EQN∽△EOF，
∴，即：，
解得：k＝±，
∵k＞0，
∴k＝．
∴存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°，此时k＝．
Ⅱ、若直线AB过点C时，此时直线与圆的交点只有另一点Q点，故亦存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°，
将C（﹣k，0）代入y＝kx+1中，
可得k＝1，k＝﹣1（舍去），
故存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°，此时k＝1．
综上所述，k＝或1时，存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°．
方法二：
（1）略．
（2）过点P作x轴垂线，叫直线AB于F，
设P（t，t2﹣1），则F（t，t+1）
∴S△ABP＝（FY﹣PY）（BX﹣AX），
∴S△ABP＝（t+1﹣t2+1）（2+1），
∴S△ABP＝﹣t2+t+3，
当t＝时，S△ABP有最大值，
∴S△ABP＝．
（3）∵y＝x2+（k﹣1）x﹣k，
∴y＝（x+k）（x﹣1），
当y＝0时，x1＝﹣k，x2＝1，
∴C（﹣k，0），D（1，0），
当点A和点C重合时，将C（﹣k，0）代入y＝kx+1中，
可得k＝1，k＝﹣1（舍去），
故存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°，此时k＝1．
当点A和点C不重合时，
∵点Q在y＝kx+1上，设Q（t，kt+1），O（0，0），
∵∠OQC＝90°，
∴CQ⊥OQ，
∴KCQ×KOQ＝﹣1，
∴
∴（k2+1）t2+3kt+1＝0有唯一解，
∴△＝（3k）2﹣4（k2+1）＝0，
∴k1＝，k2＝﹣（k＞0故舍去），
∴k＝．
综上所述，k＝或1时，存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°．
【点评】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数及一次函数的图象与性质、解方程、勾股定理、直线与圆的位置关系、相似等重要知识点，有一定的难度．第（2）问中，注意图形面积的计算方法；第（3）问中，解题关键是理解“存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°”的含义．
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