湖北省十堰市竹山县2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试卷 (含答案)

2022-2023学年湖北省十堰市竹山县九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　

A． B． 

C． D．

2．要使方程是关于的一元二次方程，则　　

A． B． 

C．且 D．且且

3．如果将抛物线向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是　　

A． B． C． D．

4．若方程的两根为和，且，则下列结论中正确的是　　

A．是19的算术平方根 B．是19的平方根 

C．是19的算术平方根 D．是19的平方根

5．若一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

6．抛物线的图象过原点，则为　　

A．0 B．1 C． D．

7．当，，时，下列图象有可能是抛物线的是　　

A． B． 

C． D．

8．如图，将绕点顺时针旋转，点的对应点为点，点的对应点为点，当点恰好落在边上时，连接，若，则的度数是　　

A． B． C． D．

9．下面对于二次三项式的值的判断正确的是　　

A．恒大于0 B．恒小于0 C．不小于0 D．可能为0

10．两个少年在绿茵场上游戏．小红从点出发沿线段运动到点，小兰从点出发，以相同的速度沿逆时针运动一周回到点，两人的运动路线如图1所示，其中．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点的距离与时间（单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是　　

A．小红的运动路程比小兰的长 

B．两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇 

C．当小红运动到点的时候，小兰已经经过了点 

D．在4.84秒时，两人的距离正好等于的半径

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）将答案直接写在答题卡指定的位置上

11．方程的根是　　．

12．若二次函数的图象上有两个点、，则与的大小关系是　　（填不等号）．

13．一种药品原价每盒25元，两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为，可列方程　 　．

14．如图，含有的直角三角板，，，将绕着点逆时针旋转，得到，使得点落在边上的点处，过点的直线，则　 　．

15．如图，抛物线与直线相交于点， ，则关于的方程的解为　　．

16．如图，是等边三角形，以为边向外作，使，且，，连接，则的长为 　　．

三、解答题（共9小题，共72分）在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程.

17．（8分）解下列一元二次方程

（1）；

（2）．

18．（6分）如图所示，把一个直角三角尺绕着角的顶点顺时针旋转，使得点与的延长线上的点重合．

（1）三角尺旋转了多少度？

（2）连接，试判断的形状．

（3）求的度数．

19．（6分）元旦了，九（2）班每个同学都与全班同学交换一件自制的小礼物，结果全班交换小礼物共1560件，求九（2）班有多少个同学？

20．（6分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，、的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系

（1）点的坐标为　　，点的坐标为　　．

（2）以原点为中心，将逆时针旋转，得到△请在网格内画出△，并写出点和的坐标　　，　　．

21．（6分）已知抛物线的顶点为，并且经过点，试确定此抛物线的解析式．并写出对称轴方程．

22．（8分）关于的一元二次方程．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程的两个实数根都是正整数，求的最小值．

23．（10分）某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价，现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价元为非负整数），每月的销量为箱．

（1）写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围；

（2）超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？

（3）超市计划每月销售这种牛奶的利润不低于650元，该如何定价？

24．（10分）（1）如图1，在中，，以点为中心，把逆时针旋转，得到△；再以点为中心，把顺时针旋转，得到△，连接，则与的位置关系为　 　；

（2）如图2，当是锐角三角形，时，将按照（1）中的方式旋转，连接，探究与的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；

（3）如图3，在图2的基础上，连接，若，△的面积为4，则△的面积为　 　．

25．（12分）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且．

（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；

（2）判断的形状，证明你的结论；

（3）点是轴上的一个动点，当的值最小时，求的值．

参考答案与试题解析

1．【解答】解：．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；

．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；

故选：．

2．【解答】解：根据一元二次方程的定义中二次项系数不为0得，，．

故选：．

3．【解答】解：抛物线向下平移1个单位，

抛物线的解析式为，即．

故选：．

4．【解答】解：方程的两根为和，

和是19的两个平方根，且互为相反数，

，

是19的算术平方根，

故选：．

5．【解答】解：，，，方程无实数根，

一次函数中，一次项的系数小于0，常数项也小于0，其图象不经过第一象限．

故选：．

6．【解答】解：根据题意得：，

所以．

故选：．

7．【解答】解：，抛物线开口向上；

，对称轴为，抛物线的对称轴位于轴右侧；

，与轴的交点为在轴的正半轴上．

故选：．

8．【解答】解：由题意知，

则，，

，

故选：．

9．【解答】解：，

原式恒小于0．

故选：．

10．【解答】解：、小红的运动路程比小兰的短，故本选项不符合题意；

、两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻与点距离相等，故本选项不符合题意；

、当小红运动到点的时候，小兰还没有到达点，故本选项不符合题意；

、当小红运动到点的时候，两人的距离正好等于的半径，此时，故本选项正确；

故选：．

11．【解答】解：因式分解得，

解得，．

故答案为，．

12．【解答】解：二次函数数的对称轴是直线，开口向上，

点距离对称轴较近，距离对称轴较远，

．

故答案为：．

13．【解答】解：设两次降价的百分率都为，根据题意，得

．

故答案为：．

14．【解答】解：中，，，

，

绕着点逆时针旋转，得到，

，

是等边三角形，

，

，

，

，

，

，

，

．

故答案为：

15．【解答】解：抛物线与直线相交于点， ，

关于的方程的解为，．

故答案为，．

16．【解答】解：如图，

作，且，连接、，

因为，

所以，，

所以是等边三角形，

所以，，

因为，，，

所以，

而，，

所以．

故答案为：．

17．【解答】解：（1），

，

，

，

所以，；

（2），

，

或，

所以，．

18．【解答】解：（1）旋转后与重合，，

，

三角尺旋转了．

（2）由旋转而成，

，

，是等腰三角形．

（3），

，

，

是等腰三角形，

．

故答案为：150；等腰；15．

19．【解答】解：设九（2）班有个同学，则每个同学交换出件小礼物，

根据题意得：，

解得：，（不合题意，舍去）．

答：九（2）班有40个同学．

20．【解答】解：（1）如图所示，点坐标为：，点坐标为：；

故答案为：，；

（2）如图所示，△即为所求，和的坐标分别为，．

故答案为：，．

21．【解答】解：抛物线的顶点为，

可设抛物线解析式为，

将点代入，得：，

解得：，

则此抛物线的解析式为，

其对称轴方程为．

22．【解答】（1）证明：依题意，得△

．

，

△．

方程总有两个实数根．

（2）解：解方程，得，，

方程的两个实数根都是正整数，

．

．

的最小值为．

23．【解答】解：（1）根据题意，得：，

由得，

，且为整数，

与之间的函数关系式为，自变量的取值范围为，且为非负整数；

（2）设所获利润为元，

则

，

，

函数开口向下，有最大值，

当时，取得最大值，最大值为810，

答：超市定价为33元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是810元；

（3）当时，则，

解得，，

根据（2）中解析式可知抛物线开口向下，

超市计划每月销售这种牛奶的利润不低于650元，

，

又，

，

，

每箱牛奶的定价在29元和36元之间的整数值（包括29和．

24．【解答】解：（1）由旋转的性质可知，，，，

，

，

，又，

四边形是平行四边形，

，

故答案为：平行；

（2）；

证明：过作，交于，则，

由旋转的性质知，，，

，

，

，

四边形是平行四边形，

；

（3），

，

由（2）得，，

△的面积：△的面积，

△的面积为4，

△的面积为10，

故答案为：10．

25．【解答】解：（1）点在抛物线上，

，解得

抛物线的解析式为．

，

顶点的坐标为，．

（2）当时，，．

当时，，，，

，，．

，，，

．是直角三角形．

（3）作出点关于轴的对称点，则，，

连接交轴于点，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，的值最小．

解法一：设抛物线的对称轴交轴于点．

轴，，

△．

，

．

解法二：设直线的解析式为，

则，

解得：．

．

当时，，．

．