浙江省温州市瑞安市2022-2023学年六校联考八年级上学期期中考试数学试题 (含答案)

浙江省温州市瑞安市2022-2023学年六校联考八年级上学期

期中测试数学试题

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    中，，，则为(    )

A.  B.  C.  D.

3.    下列长度的三条线段能组成三角形的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

4.    对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的例子是(    )

A. ， B. ，
C.  D. ，

5.    如图，平移后得到，，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

6.    如图，在中，，分别以，，为边向外作三个正方形，已知其中两个正方形面积分别为，，则正方形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

7.    一副三角板摆放如图所示，斜边与直角边相交于点，点在直角边上，且，，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

8.    如图，直线，分别与黑板边缘形成，，小明量出，，则可以算出直线，形成的锐角的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

9.    如图，在中，点在边上，点关于直线的对称点落在的延长线上，若垂直平分，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在等腰直角三中，，是底边上的高线，是射线上一点，分别作，交的延长线于点，连接，几何原本中曾用该图证明了，若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11. 命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是______．
12. 如图所示的是一款手机支架，能非常方便地支起手机，由图分析这款手机支架的设计原理是三角形的______．

13. 如图，已知平分，，若，则的长为______．

14. 如图，点，在上，，，要使≌，需添加一个条件是______只需添加一个条件即可

15. 等腰三角形的一个外角度数为，则顶角度数为______．
16. 如图，网格中每个小正方形的边长均为，以为圆心，为半径画弧，交网格线于点，则的长为______．

17. 如图，，以点为圆心，任意长为半径作弧分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，过点作，于点，若，则的长为______．
18. 如图是某小车侧面示意图，图是该车后备箱开起侧面示意图，具体数据如图所示单位：且，，，箱盖开起过程中，点，，不随箱盖转动，点，，绕点沿逆时针方向转动，即分别到点，，的位置，气簧活塞杆随之伸长已知直线，，那么的长为______，的长为______．
     

三、解答题（本大题共5小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    如图，点，在的边上，若，，则请说明理由填空．
    解：______，
    ______，
    ，
    ______，
    ______，
    在和中，
    ≌______，
    ______

20. 本小题分
    如图，点，，，在同一条直线上，，，，与交于点．
    求证：≌．
    若，求的度数．

21. 本小题分
    如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，分别按下列要求画三角形，使它的顶点在格点上．
    在图中画一个等腰三角形，使它的三条边长都为整数．
    在图中画一个直角三角形，使它的三边长都为无理数．
     
22. 本小题分
    如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，为中点，连接，．
    求证：；
    已知，求的度数．

23. 本小题分
    如图，在等腰中，，作射线，是腰的高线，是外射线上一动点，连结．
    当，时，求的长；
    当时；求证：；
    设的面积为，的面积为，且，在点的运动过程中，是否存在为等腰三角形，若存在，求出相应的的值，若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A，，都不能找到这样的一条直线，使这些图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项B能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：．
根据轴对称图形定义进行分析即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：中，，，
则，
故选：．
根据直角三角形的两锐角互余计算即可．
本题考查的是直角三角形的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，能组成三角形，符合题意；
B、，不能组成三角形，不符合题意；
C、，不能组成三角形，不符合题意；
D、，不能组成三角形，不符合题意．
故选：．
根据三角形的三条边必须满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可判断．
本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和大于最大的数即可．
 

4.【答案】 

【解析】解：，满足条件，也满足结论，故错误；
B、不满足条件，也不满足结论，故错误；
C、满足条件，不满足结论，故正确；
D、不满足条件，也不满足结论，故错误．
故选：．
能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子．
此题考查的知识点是反证法，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：中，，，
．
平移后得到，
，
．
故选：．
先根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状可得，然后根据三角形的内角和定理及邻补角定义列式计算即可得解．
本题主要考查了平移的性质，熟记平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：在中，，
，
正方形的面积为，
故选：．
根据勾股定理和正方形的面积公式即可得到结论．
本题考查了勾股定理，正方形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意得，
因为，，
所以，
所以，
所以．
故选：．
由题意可知，则由平行线的性质可得，求得，从而可求的度数．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
 

8.【答案】 

【解析】解：图形化简如下图，

为直线和直线的夹角，
，，
，
，
，
直线和直线的夹角为．
故选：．
令直线和直线的夹角为，欲求，根据三角形内角和定理，只需求出的值，而，，易求出的值．
本题考查了三角内角和定理，利用对顶角相等定理是解本题的关键，本题难度适中．
 

9.【答案】 

【解析】解：点关于直线的对称点落在的延长线上，
，，，
垂直平分，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
证明，，可得结论．
本题考查轴对称的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是证明，．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意可知，
四边形为矩形，
，
为等腰直角三角形，
设，
则，，
在中，
，
，
解得，
，
．
故选：．
根据题意得到和的长度，利用勾股定理求出的长度，最后求出的长度．
本题考查勾股定理和等腰直角三角形，能够充分利用等腰直角三角形的性质和勾股定理是解答本题的关键．
 

11.【答案】两个角相等的三角形是等腰三角形 

【解析】

【分析】
本题考查了原命题与逆命题，先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．
根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，据此进行解答即可．
【解答】
解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，
所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等的三角形是等腰三角形”．  

12.【答案】稳定性 

【解析】解：这款手机支架的设计原理是三角形的稳定性，
故答案为：稳定性．
根据三角形具有稳定性解答即可．
本题考查的是三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：平分，
；
又，
，
；
．
故答案为：．
根据题意，可得，又因为，求得，则可求．
本题考查了等腰三角形的判定定理和性质定理以及平行线的性质，角平分线的定义，注意等腰三角形的判定定理：等角对等边，出现角平分线和平行线容易出现等腰三角形．
 

14.【答案】 

【解析】解：当时，
在和中
，
≌，
故答案为：答案不唯一
利用全等三角形的判定与性质进而得出当时，≌．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：等腰三角形一个外角为，那相邻的内角为，
三角形内角和为，如果这个内角为底角，内角和将超过，
所以只可能是顶角．
故答案为：．
三角形内角与相邻的外角和为，三角形内角和为，等腰三角形两底角相等，只可能是顶角．
本题主要考查三角形外角性质、等腰三角形性质及三角形内角和定理；判断出的外角只能是顶角的外角是正确解答本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接，则，

在中，由勾股定理得：
．
故答案为：．
连接，在中，由勾股定理计算即可得出的长．
本题考查了勾股定理在几何图形问题中的应用，数形结合、熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：过点作于，如图，
由作法得平分，则，
，，
，
，
，，
，
，
在中，，
．
故答案为：．
过点作于，如图，利用基本作图得到平分，根据角平分线的性质得到，，再根据平行线的性质得到，，接着证明，然后利用含度角的直角三角形三边的关系得到的长，从而得到的长．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行线的性质和角平分线的性质．
 

18.【答案】   

【解析】解：过作延长线交于点，

，
，
，
由旋转一定角度后得到可知，旋转角度为，
过作，交于点，
，，
，，
，
；
设，
则，
，
，
，
，
，
解得，
．
故答案为：；．
过作延长线交于点，由旋转一定角度后得到可知，旋转角度为，过作，交于点，分别表示出、的长，即可得出的长，设，利用勾股定理可得，代入解方程即可．
本题主要考查了解直角三角形的应用，已知三角函数表示边长，旋转的性质，以及勾股定理等知识，利用旋转的性质得出旋转角是是解题的关键．
 

19.【答案】已知  等边对等角    平角定义    全等三角形对应边相等 

【解析】解：已知，
等边对等角，
，
，
平角定义，
在和中，

≌，
全等三角形对应边相等．
故答案为：已知；等边对等角；；平角定义；；全等三角形对应边相等．
根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质即可完成填空．
本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质．
 

20.【答案】证明：，
，
即，
在与中，
，
≌；
解：，
，
≌，
，
． 

【解析】由可求得，利用可证得：≌；
由邻补角可求得，结合可求，利用三角形的内角和可求解．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是对全等三角形的判定条件的掌握与应用．
 

21.【答案】解：如图中，即为所求答案不唯一；
如图中，即为所求答案不唯一．
 

【解析】利用数形结合的思想根据要求作出三角形即可；
利用数形结合的思想根据要求作出三角形即可．
本题考查作图应用与设计作图，无理数，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】证明：连接，

，
，
点是的中点，
，
，
，
为中点，
；
解：，
，
，
，点是的中点，
，
，
，，
，
，
的度数为． 

【解析】连接，根据垂直定义可得，从而利用直角三角形斜边上的中线性质可得，进而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答；
利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形的外角性质可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，最后利用三角形的外角性质可得，进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】解：，
，
，
，
；

证明：，，
，
，，
，
，
，
，
；

：：，
：：，
设，，则，
，，
，
当时，，
，
．
当时，，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或． 

【解析】利用勾股定理求解即可；
证明，推出，，利用三角形内角和定理，可得结论；
由：：，推出：：，设，，则，接下来分三种情形，讨论求解即可．
本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积计算、等腰三角形的性质和判定，勾股定理等知识，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．