2022-2023学年浙江省宁波市江北区九年级（上）期中数学试卷(解析版)

2022-2023学年浙江省宁波市江北区九年级（上）期中数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 抛物线的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知在中，，，，则的外接圆的半径为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 将抛物线向上平移个单位得到的抛物线的解析式是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，已知的圆心角，则圆周角的度数等于(    )

A.
B.
C.
D.

6. 如图，∽，，，分别是，，的中点，则与的相似比是(    )

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

7. 下列结论正确的是(    )

A. 所有直角三角形都相似
B. 同弧所对的圆周角相等
C. 平分弦的直径垂直弦且平分弦所对的弧
D. 当时，二次函数的图象与坐标轴只有一个交点

8. 如图，为正方形，图是以为直径画半圆，阴影部分面积记为，图是以为圆心，长为半径画弧，阴影部分面积记为，则(    )

A.  B.  C.  D. 无法判断．

9. 已知点是边长为的正方形内一点，且，，垂足是点，若在射线上找一点，使以点，，为顶点的三角形与相似，则为(    )

A.  B.  C.  或  D. 以上都错

10. 如图，和是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上，若，连接交于点，则下列说法正确的个数为(    )
    ；；图中有对相似三角形；．

A. 个 B. 个 C.  个 D.  个

二、填空题（本大题共6小题，共30分）

11. 已知线段，，，其中为，的比例中项，，，则______．
12. 若点在抛物线上，则______．
13. 抛物线与轴的一个交点的坐标为，则此抛物线与轴的另一个交点的坐标是______．
14. 如图，，，是上三点，若，则为______．

15. 如图，是半圆直径，半径于点，平分交弧于点，连接、，给出以下四个结论：；；∽；其中正确结论的序号是______．
16. 如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，与轴的交点在，之间包含端点，则的取值范围为______．

三、选择题（本大题共8小题，共80分）

17. 如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，且，与交于点．
    若，求的度数；
    若，，求的长．

18. 在一个不透明的口袋里装有分别标有数字、、、的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验先搅拌均匀．

从中任取一球，求抽取的数字为正数的概率；

从中任取一球，将球上的数字记为，求关于的一元二次方程有实数根的概率；

从中任取一球，将球上的数字作为点的横坐标，记为不放回；再任取一球，将球上的数字作为点的纵坐标，记为，试用画树状图或列表法表示出点所有可能出现的结果，并求点落在第二象限内的概率．

19. 已知，、交于点．
    试说明；
    若，，，求的长．

20. 如图，为的直径，，交于，，．
    求证：∽．
    求长．

21. 如图，已知是的直径，弦，垂足为，，．
    求和的长；
    求图中阴影部分的面积．

22. 某汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为万元，市场调研表明：当销售价为万元时，平均每周能售出辆，而当销售价每降低万元时，平均每周能多售出辆．如果设每辆汽车降价万元，每辆汽车的销售利润为万元．销售利润销售价进货价
    请写出关于的函数解析式______；
    假设这种汽车平均每周的销售利润为万元，写出与之间的函数关系式；
    当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？
23. 如图，抛物线与轴交于，两点在的左侧，与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称．
    求抛物线的解析式及点的坐标；
    点是抛物线对称轴上的一动点，当的周长最小时，求出点的坐标；
    点在轴上，且，请直接写出点的坐标．

24. 定义：若一个四边形能被其中的一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友好四边形”我们熟知的平行四边形就是“友好四边形”．
    
    如图，在的正方形网格中有一个，请你在网格中找格点，使得四边形是被分割成的“友好四边形”只要画出点的一种位置；
    如图，平分，，，四边形是被分割成的“友好四边形“，求长；
    如图，圆内接四边形中，，点是的中点，连结交于点，连结，，
    求证：四边形是“友好四边形”；
    若的面积为，求线段的长．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
即．
故选：．
用表示，代入求解即可．
本题主要考查了简单的比例问题，能够熟练掌握．
 

2.【答案】 

【解析】解：是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为，故选D．
已知抛物线解析式为顶点式，可直接求出顶点坐标．
考查求二次函数顶点式的顶点坐标、对称轴．
 

3.【答案】 

【解析】解：在中，根据勾股定理得，
，
直角三角形的外心为斜边中点，
的外接圆的半径为．
故选：．
根据三角形外心的性质可知，直角三角形的外心为斜边中点，斜边为直径，先求斜边长，再求半径．
本题考查了直角三角形的外心的性质，勾股定理的运用．关键是明确直角三角形的斜边为三角形外接圆的直径．
 

4.【答案】 

【解析】解：向上平移个单位得．
故选A．
按照“左加右减，上加下减”的规律．
考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
 

5.【答案】 

【解析】解：的圆心角，
．
故选：．
由的圆心角，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得圆周角的度数．
此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，分别是，，的中点，
：：，
与的相似比是：．
故选：．
由，，分别是，，的中点，可得是的中位线，由中位线的性质即可求得结果．
本题考查了相似三角形的性质及三角形的中位线定理的知识，解题的关键是根据中位线定理得到对应线段的比，难度不大．
 

7.【答案】 

【解析】解：、不是所有的直角三角形都相似，如等腰直角三角形与一般的直角三角形，此选项错误；
B、同弧所对的圆周角相等，此选项正确；
C、平分弦弦不是直径的直径平分弦所对的两条弧，故本选项错误；
D、当时，二次函数的图象与轴只有一个交点，此选项错误；
故选B．
A、举例等腰直角三角形与一般的直角三角形对选项进行判断；
B、同弧所对的圆周角相等说法正确；
C、当弦是直径时，选项结论错误；
D、当时，二次函数的图象与轴有一个交点．
本题主要考查了抛物线与轴交点、垂径定理、圆周角定理以及相似三角形的判定定理等知识，解答本题的关键是熟练掌握课本中各个定理，此题难度不大．
 

8.【答案】 

【解析】解：设正方形的边长是，则
，
，
故．
故选：．
可以设正方形的边长是，根据公式即可求得阴影部分的面积，进行比较即可．
本题考查了扇形的面积计算．不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
又，
；
若以点，，为顶点的三角形与相似，
则：如图中，，即，解得；

如图中，，即，解得．

综上所述，满足条件的的值为或．
故选：．
由于，同时减去后可得到，若以点，，为顶点的三角形与相似，那么必有：：：或：：，可据此求得的值．
本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，应注意相似三角形的对应顶点不明确时，要分类讨论，不要漏解．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
≌，
，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，，
，故正确；
由知，，，
，故正确；
，，
∽，
同理可得，∽，∽，∽，∽故错误；
由知，，
要证，即证即可，
，，
，
，
由知，，
明显，
错误．
综上，正确，
故选：．
根据全等三角形的判定与性质、三角函数关系可得结果；根据中的，，可判断；根据相似三角形的判定可得结果；要证，即证即可，根据等腰直角三角形的性质可判断．
此题考查的是相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，掌握相似三角形的判定方法是解决此题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：是、的比例中项，
，
或舍去．
故答案为：．
根据比例中项的定义可求得的值．
本题主要考查比例中项的定义，掌握为、的比例中项则有是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：当时，，即．
故答案为：．
将代入即可求解．
本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，代入计算即可．
 

13.【答案】 

【解析】解：抛物线与轴的一个交点的坐标为，
把点代入抛物线中，得，
解得：，
抛物线解析式为，
令，
则，
得，
抛物线与轴的另一个交点的坐标是．
根据题意，把交点坐标代入抛物线解析式求的值，再令解一元二次方程求另一交点的横坐标即可得到答案．
本题考查了点的坐标与抛物线解析式的关系，抛物线与轴交点坐标的求法．
 

14.【答案】 

【解析】解：在优弧上取一点，连接，，

，，
，
，
故答案为：．
在优弧上取一点，连接，，根据圆内接四边形的性质得到，根据圆周角定理得到．
此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：是半圆直径，
，
，
平分交弧于点，
，
，
，故正确．
由题意得，，，
：：：，
，故错误；
，，
，
与不相似，故错误；
平分交弧于点，
，
，
是半圆直径，
，

已证，
，
∽，
，
，故正确．
综上可得正确．
故答案为：．
根据等腰三角形的性质和角平分线的性质，利用等量代换求证即可；
由得：：，再由，可得；
两三角形中，只有一个公共角的度数相等，其它两角不相等，所以不能证明∽；
根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求出，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，再求证∽，利用其对应变成比例即可得出结论．
本题考查了相似三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点的灵活运用，此题步骤繁琐，但相对而言，难易程度适中，很适合学生的训练是一道典型的题目．
 

16.【答案】 

【解析】解：抛物线与轴交于点，顶点坐标为，
对称轴直线是，
该抛物线与轴的另一个交点的坐标是，
，则．
抛物线与轴的交点在，之间包含端点，
，
，即．
故答案为：．
由题意可知抛物线与轴的另一个交点的坐标是，根据根与系数的关系得到，则，由抛物线与轴的交点在，之间包含端点，得出，进而得出，即可得出．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象与方程的关系是解题的关键．
 

17.【答案】解：是半圆的直径，
，
又，
，即，
，．
，
，
；

在直角中，．
，
，
又，
．
又，
． 

【解析】根据圆周角定理可得，则的度数即可求得，在等腰中，根据等边对等角求得的度数，则即可求得；
易证是的中位线，利用中位线定理求得的长，则即可求得．
本题考查了圆周角定理以及三角形的中位线定理，正确证明是的中位线是关键．
 

18.【答案】【解答】
解：根据题意得：抽取的数字为正数的情况有个，
则；方程有实数根，
，且，
解得：，
则关于的一元二次方程有实数根的概率为；
列表如下：

所有等可能的情况有种，其中点落在第二象限内的情况有种，
则． 

【解析】

【分析】
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
四个数字中正数有一个，求出所求概率即可；
表示出已知方程根的判别式，根据方程有实数根求出的范围，即可求出所求概率；
列表得出所有等可能的情况数，找出点落在第二象限内的情况数，即可求出所求的概率．  

19.【答案】证明：，
∽；
解：∽，
，
． 

【解析】由题意可直接证明∽；
根据的相似三角形得出的成比例线段，可求出的长．
本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
 

20.【答案】证明：，
，
，
，分
又，
∽；

∽，
，
，分
分 

【解析】先根据可知，再根据即可得出∽；
根据∽，可知其对应边成比例，再由，即可求出答案．
本题考查的是相似三角形的判定与性质及圆周角定理，解答此题的关键是根据同弧或等弧所对的圆周角相等得出，再判断出∽，进而可得出结论．
 

21.【答案】解：在中，
，，，
，
，
，
，
；
，
． 

【解析】在中，利用三角函数即可求得，的长，再根据垂径定理即可求得的长；
根据半圆的面积减去的面积，即可求解．
本题主要考查了垂径定理以及三角函数，一些不规则的图形的面积可以转化为规则图形的面积的和或差求解．
 

22.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
故答案为：；

，
；
，且，
当时，，
此时定价为万元，
当定价为万元时，有最大利润，最大利润为万元．
依题意可得与的函数关系式；
依题意可得；
结合，根据二次函数性质可得时，有最大值．
本题考查二次函数的应用问题，解题的关键是将二次函数与现实生活结合起来，考查了学生的应用能力，难度不大．
 

23.【答案】解：把代入，得，，
解得，
抛物线的解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
点与点关于抛物线的对称轴对称，
点的坐标为．

连接、、

点与点关于抛物线的对称轴对称
为定值，
当的值最小，即，，三点在同一直线上时的周长最小，
由解得，，，
在的左侧，，
由，两点坐标可求得直线的解析式为，
当时，，
当的周长最小时，点的坐标为，

如图中，

作交轴于点，此时，满足条件．
，，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
令得，
．
设线段的垂直平分线交于，直线与的交点为，此时，满足条件，
直线的解析式为，
线段的中垂线是解析式为，
由解得，
，
直线的解析式为，
令得到，
．
综上所述，点坐标为或． 

【解析】利用待定系数法即可求出，利用对称性、关于对称轴对称即可求出点坐标．
，，三点在同一直线上时的周长最小，求出直线的解析式即可解决问题．
分两种情形作交轴于点，此时，满足条件．设线段的垂直平分线交于，直线与的交点为，此时，满足条件，分别求解即可．
本题考查二次函数综合题、一次函数、最小值问题、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用对称解决最短问题，学会分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
 

24.【答案】解：画出点的个位置，如图，

四边形为被分割的友好四边形，
与相似，
若∽
则，
，
若∽，
则，
，
综上所述：或；
证明：是的中点，
，
，
四边形内接于圆，
，
，
，
，
，
，
∽，
四边形为友谊四边形；
解：如图，过点作交与，连接，

∽，
，
，
，
，
，
又，
． 

【解析】由题意可找到点位置；
分∽，∽两种情况讨论，由相似三角形的性质可求的长度；
由题意可得，由三角形内角和定理和圆的内接四边形性质可得，可证∽，即四边形是“友好四边形”；
由相似三角形的性质可得，由三角形面积公式可求，即可求的长．
本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，分类讨论思想，熟练运用相似三角形判定和性质是本题的关键．