2022-2023学年浙江省温州市龙港市八年级（上）期中数学试卷(解析版)

这是一份2022-2023学年浙江省温州市龙港市八年级（上）期中数学试卷(解析版)，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省温州市龙港市八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．下列图形分别是无公害食品、绿色食品、有机食品和安全食品的图标，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠C的度数是（　　）
A．40° B．60° C．80° D．100°
3．已知三角形的两条边长分别等于4cm和9cm，则第三边的长可能是（　　）
A．4cm B．5cm C．9cm D．13cm
4．可以用来说明命题“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题的反例是（　　）
A．a＝0，b＝﹣1 B．a＝1，b＝0 C．a＝2，b＝1 D．a＝2，b＝﹣1
5．如图，已知∠BDA＝∠CDA，要使△ABD与△ACD全等，则添加的条件可以是（　　）

A．∠BAD＝∠CAD B．AB＝AC C．BD＝AC D．∠B＝∠DAC
6．如图，上午8时，渔船从A处出发，以20海里/时的速度向正西方向航行，9时30分到达B处．从A处测得灯塔C在南偏西30°方向，距A处30海里处．则B处到灯塔C的距离是（　　）

A．20海里 B．25海里 C．30海里 D．35海里
7．分别以下列四组数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　）
A．，， B．，， C．2，3，4 D．9，12，15
8．已知等腰三角形的一个内角是30°，那么这个等腰三角形顶角的度数是（　　）
A．75° B．120° C．30° D．30°或120°
9．如图，将等边△ABC折叠，使得点C落在AB边上的点D处，EF是折痕，若∠ADE＝90°，AD＝1，则AC的长是（　　）

A．2 B．4 C．2 D．2+
10．三国时期的赵爽利用图1证明了勾股定理，后来日本的数学家关孝和在“赵爽弦图”的启发下利用图2也证明了勾股定理．在图2中，E，B，F在同一条直线上，四边形ABCD，EFGA，HGDJ都是正方形，若正方形ABCD的面积等于100，△IJD面积等于，且已知AH＝2，则△KCD的面积等于（　　）

A． B．39 C． D．52
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11．写出命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题：　 　．
12．如图，AD是等腰△ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD＝　 　．

13．直角三角形两直角边长为5和12，则此直角三角形斜边上的中线的长是　 　．
14．如图所示，在△ABC中，AD为△ABC的中线，E为AD的中点．若△ABC的面积为4，则△AEC的面积为 　 　．

15．如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为　 　．

16．如图，已知AD，CE是△ABC的两条高线，AD＝CE，∠CAD＝25°，则∠OCD＝　 　度．

17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若BC＝3，则△AFH的周长为 　 　．

18．商场卫生间旋转门锁的局部图如图1所示，图2是其工作简化图．锁芯O固定在距离门边（即EF）3.5cm处（即OD＝3.5cm），在自然状态下，把手竖直向下（把手底端到达A处）．旋转一定角度，使得把手底端B恰好卡在门边，此时底端A，B的竖直高度差为0.5cm，则OB的长度是 　 　cm．当把手旋转到OC⊥OB时，点C与点B的高度差BH是 　 　cm．

三、解答题（本题有6小题，共46分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19．已知：如图，AC＝BD，AD＝BC．求证：∠C＝∠D．

20．如图，AE，AD分别是△ABC的高线和角平分线，且∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数．

21．方格纸中小正方形的顶点叫格点，点A和点B是格点，位置如图．

（1）在图1中确定格点C，使得△ABC是直角三角形，画出一个这样的△ABC，并直接写出线段AB的长．
（2）在图2中确定格点D，使得△ABD是等腰三角形，画出一个这样的△ABD．

22．如图，△ABC是等边三角形，点D是边AB上一点，以CD为边向上作等边△CDE，连结AE．
（1）求证：△BCD≌△ACE．
（2）若AE＝1，AB＝3，求AD的长．

23．根据以下素材，探索完成任务．
三角形背景下角的关系探索
素材1
如图，已知等腰△ABC中，BA＝BC，在腰BC的延长线上取点E，连结AE，作AE的中垂线交射线BC于点D，连结AD．

素材2
研究一个几何问题时，一般先根据几何语言画出几何图形．可能需要分类讨论．
素材3
当我们要论证一个一般性结论时，常常将问题先分成几种特例，在研究特例的过程中寻求规律，总结方法，猜测结论，再将规律、方法和结论迁移到一般情形中，这种数学推理方法叫做归纳法．
问题解决
任务1
补全图形
请根据素材1，把图形补全．你画的点D在点C的 　 　侧．
任务2
特例猜想
有下列条件：①AB＝AC；②∠B＝40°；③∠CEA＝20°；④∠CEA＝50°；请从中选择你认为合适的一个或两个条件作为已知条件，求出∠BAD和∠CAE的大小，并猜测∠BAD与∠CAE的数量关系．
任务3
一般结论
请根据你在任务1中所画的一般情况下的图形，写出∠BAD与∠CAE的数量关系，并说明理由．
任务4
拓展延伸
除了你在任务1中所画的情形外，点D相对于点C的位置还有不同的情形吗？若有，请画出图形，并直接写出∠BAD与∠CAE的数量关系．

24．如图，在△ABC中，AC＝BC＝，∠ACB＝120°，将一块足够大的直角三角尺PEF（∠E＝90°，∠EPF＝30°）按如图放置，顶点P在线段AB上滑动（不与点A，B重合），三角尺的直角边PE始终经过点C，斜边PF交AC于点D．

（1）当PD∥BC时，判断△BCP的形状，并说明理由；
（2）当△PCD是等腰三角形时，求出所有满足要求的BP的长；
（3）记点C关于PD的对称点为C′，当C′D⊥AC时，AP的长是 　 　．


参考答案
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．下列图形分别是无公害食品、绿色食品、有机食品和安全食品的图标，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
解：选项B能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项A、C、D不能找到这样的一条直线，使这些图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时互相重合．
2．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠C的度数是（　　）
A．40° B．60° C．80° D．100°
【分析】根据三角形内角和定理即可得到结果．
解：∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝60°．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理．熟记三角形的内角和等于180°是解题的关键．
3．已知三角形的两条边长分别等于4cm和9cm，则第三边的长可能是（　　）
A．4cm B．5cm C．9cm D．13cm
【分析】已知三角形的两边长分别为4cm、9cm，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围．
解：设第三边长为xcm，则由三角形三边关系定理得9﹣4＜x＜9+4，即5＜x＜13．
因此，本题的第三边应满足5＜x＜13，把各项代入不等式符合的即为答案．
只有9cm符合不等式．
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．
4．可以用来说明命题“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题的反例是（　　）
A．a＝0，b＝﹣1 B．a＝1，b＝0 C．a＝2，b＝1 D．a＝2，b＝﹣1
【分析】反例就是要符合命题的题设，不符合命题的结论的例子．
解：当a＝0，b＝﹣1时，a＞b，但|a|＜|b|，
故选：A．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
5．如图，已知∠BDA＝∠CDA，要使△ABD与△ACD全等，则添加的条件可以是（　　）

A．∠BAD＝∠CAD B．AB＝AC C．BD＝AC D．∠B＝∠DAC
【分析】利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案．
解：A、∵∠BDA＝∠CDA，AD为公共边，若∠BAD＝∠CAD，符合全等三角形判定定理，能判定△ABD≌△ACD（ASA）；
B、∵∠BDA＝∠CDA，AD为公共边，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；
C、∵∠BDA＝∠CDA，AD为公共边，若BD＝AC，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；
D、∵∠BDA＝∠CDA，AD为公共边，若∠B＝∠DAC，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；
故选：A．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．
6．如图，上午8时，渔船从A处出发，以20海里/时的速度向正西方向航行，9时30分到达B处．从A处测得灯塔C在南偏西30°方向，距A处30海里处．则B处到灯塔C的距离是（　　）

A．20海里 B．25海里 C．30海里 D．35海里
【分析】根据所给的角的度数，容易证得△BCA是等边三角形，根据等边三角形的性质，BC的值也可以求出．
解：连接BC，

据题意得，∠1＝30°，AB＝20×＝30，
∴∠BAC＝90°﹣∠1＝60°，
∵AC＝30，
∴AB＝AC，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC＝30（海里）．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及方向角的问题；由已知得到三角形是等腰三角形是正确解答本题的关键．要学会把实际问题转化为数学问题，用数学知识进行解决实际问题的方法．
7．分别以下列四组数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　）
A．，， B．，， C．2，3，4 D．9，12，15
【分析】勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．根据勾股定理的逆定理，可以判断各个选项中的三条线段能否构成直角三角形．
解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故本选项不合题意；
B、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故本选项不合题意；
C、32+22≠42，不能构成直角三角形，故本选项不合题意；
D、92+122＝152，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能作出判断．
8．已知等腰三角形的一个内角是30°，那么这个等腰三角形顶角的度数是（　　）
A．75° B．120° C．30° D．30°或120°
【分析】等腰三角形的一个内角是30°，则该角可能是底角，也可能是顶角，注意分开计算．
解：分两种情况：
当30°的角是底角时候，则顶角度数为120°；
当30°的角是顶角时候，则顶角为30°．
故选：D．
【点评】在解决此类问题的时候，要注意将问题的所有可能的情况找出，分别进行计算．
9．如图，将等边△ABC折叠，使得点C落在AB边上的点D处，EF是折痕，若∠ADE＝90°，AD＝1，则AC的长是（　　）

A．2 B．4 C．2 D．2+
【分析】首先由折叠得出DE＝CE，利用等边△ABC和∠ADE＝90°，AD＝1，得出AE＝2，利用勾股定理得出DE，即可求得AC的长．
解：∵将等边△ABC折叠，使得点C落在AB边上的点D处，
∴DE＝CE，∠A＝60°，
∵∠ADE＝90°，AD＝1，
∴AE＝2AD＝2，
∴DE＝，
∴AC＝AE+CE＝AE+DE＝2+，
故选：D．
【点评】本题考查折叠的性质，勾股定理，含30°角直角三角形的性质，等边三角形的性质，找出相等的边，转化问题是解决问题的关键．
10．三国时期的赵爽利用图1证明了勾股定理，后来日本的数学家关孝和在“赵爽弦图”的启发下利用图2也证明了勾股定理．在图2中，E，B，F在同一条直线上，四边形ABCD，EFGA，HGDJ都是正方形，若正方形ABCD的面积等于100，△IJD面积等于，且已知AH＝2，则△KCD的面积等于（　　）

A． B．39 C． D．52
【分析】设GH＝GD＝x，则AG＝x+2，由勾股定理得出（2+x）2+x2＝102，解得x＝6，则DJ＝6，由勾股定理求出BE＝6，证明△AHI≌△BFK（ASA），由全等三角形的性质得出AI＝BK＝，则可得出答案．
解：∵四边形ABCD和四边形GDJH是正方形，正方形ABCD的面积等于100，
∴AB＝BC＝AD＝CD＝10，GH＝GD，
设GH＝GD＝x，则AG＝x+2，
∵AG2+DG2＝AD2，
∴（2+x）2+x2＝102，
解得x＝6，x＝﹣8舍去，
∴DJ＝6，
∵△IJD面积等于，
∴，
∴IJ＝，
∴IH＝HJ﹣IJ＝6﹣＝，
∴AI＝＝＝，
∵AB＝10，AE＝AG＝8，
∴BE＝＝＝6，
∴BF＝2，
∴AH＝BF，
∵∠EAG＝∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴∠GAD＝∠BAE，∠BAE＝∠FBK，
∵∠BFK＝∠AHI＝90°，
∴△AHI≌△BFK（ASA），
∴AI＝BK＝，
∴CK＝BC﹣BK＝10﹣＝，
∴△KCD的面积＝CD•CK＝．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11．写出命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题：　内错角相等，两直线平行　．
【分析】将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题．
解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：内错角相等
∴其逆命题为：内错角相等，两直线平行．
【点评】考查学生对逆命题的定义的理解及运用．
12．如图，AD是等腰△ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD＝　5　．

【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可求解．
解：∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，
∴AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线，
∴CD＝BD，
∵BD＝5，
∴CD＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
13．直角三角形两直角边长为5和12，则此直角三角形斜边上的中线的长是　　．
【分析】根据勾股定理可求得直角三角形斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
解：∵直角三角形两直角边长为5和12，
∴斜边＝13，
∴此直角三角形斜边上的中线的长＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查勾股定理及直角三角形斜边上的中线的性质的综合运用．
14．如图所示，在△ABC中，AD为△ABC的中线，E为AD的中点．若△ABC的面积为4，则△AEC的面积为 　1　．

【分析】根据△ACD的面积为△ABC面积的一半，△AEC的面积为△ACD面积的一半，即可得答案．
解：∵AD为△ABC的中线，E为AD的中点，
根据等底同高可知，S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝2，
S△AEC＝S△ACD＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了三角形的面积，关键是利用三角形中线平分三角形的面积这一性质计算即可．
15．如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为　3　．

【分析】根据垂线段最短可知当PM⊥OC时，PM最小，再根据角的平分线的性质，即可得出答案．
解：根据垂线段最短可知：当PM⊥OC时，PM最小，
当PM⊥OC时，
又∵OP平分∠AOC，PD⊥OA，PD＝3，
∴PM＝PD＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了垂线段最短、角平分线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．
16．如图，已知AD，CE是△ABC的两条高线，AD＝CE，∠CAD＝25°，则∠OCD＝　40　度．

【分析】由AD，CE是△ABC的两条高线，得∠ADC＝∠CEA＝90°，而AC＝CA，AD＝CE，即可根据直角三角形全等的判定定理“HL”证明Rt△ADC≌Rt△CEA，得∠CAD＝∠ACE＝25°，则∠ACD＝∠65°，∠OCD＝∠ACD﹣∠ACE＝40°．
解：∵AD，CE是△ABC的两条高线，
∴AD⊥CB，CE⊥AD，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°，
在Rt△ADC和Rt△CEA中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△CEA（HL），
∴∠CAD＝∠ACE＝25°，
∵∠ACD＝90°﹣∠CAD＝90°﹣25°＝∠65°，
∴∠OCD＝∠ACD﹣∠ACE＝65°﹣25°＝40°，
故答案为：40．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明Rt△ADC≌Rt△CEA是解题的关键．
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若BC＝3，则△AFH的周长为 　6　．

【分析】直接利用基本作图方法得出DE垂直平分AB，AF＝AH，再利用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质得出AF+FC＝BF+FC＝AH+CH＝BC，即可得出答案．
解：由基本作图方法得出：DE垂直平分AB，
则AF＝BF，
可得AF＝AH，AC⊥FH，
∴FC＝CH，
∴AF+FC＝BF+FC＝AH+CH＝BC＝3，
∴△AFH的周长为：AF+FC+CH+AH＝2BC＝6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确得出AF+FC＝BF+FC＝AH+CH＝BC是解题关键．
18．商场卫生间旋转门锁的局部图如图1所示，图2是其工作简化图．锁芯O固定在距离门边（即EF）3.5cm处（即OD＝3.5cm），在自然状态下，把手竖直向下（把手底端到达A处）．旋转一定角度，使得把手底端B恰好卡在门边，此时底端A，B的竖直高度差为0.5cm，则OB的长度是 　12.5　cm．当把手旋转到OC⊥OB时，点C与点B的高度差BH是 　15.5　cm．

【分析】过B作BM⊥OA于M，过C作CG⊥AO交AO延长线于G，CG交EF于H，由题意可得：AM＝0.5cm，BM＝OD＝3.5cm，设OB＝OA＝xcm，在Rt△BOM中，有（x﹣0.5）2+3.52＝x2，即可解得OB＝12.5cm＝OA，知BD＝OM＝OA﹣AM＝12cm，证明△BOM≌△OCG（AAS），即得OG＝BM＝3.5cm，从而可得BH＝BD+DH＝15.5（cm）．
解：过B作BM⊥OA于M，过C作CG⊥AO交AO延长线于G，CG交EF于H，如图：

由题意可得：AM＝0.5cm，BM＝OD＝3.5cm，
设OB＝OA＝xcm，
在Rt△BOM中，OM2+BM2＝OB2，
∴（x﹣0.5）2+3.52＝x2，
解得x＝12.5，
∴OB＝12.5cm＝OA，
∴BD＝OM＝OA﹣AM＝12.5﹣0.5＝12cm，
∵OC⊥OB，
∴∠BOM＝90°﹣∠COG＝∠GCO，
∵OB＝OC，∠CGO＝90°＝∠BMO，
∴△BOM≌△OCG（AAS），
∴OG＝BM＝3.5cm，
∴DH＝OG＝3.5cm，
∴BH＝BD+DH＝12+3.5＝15.5（cm），
故答案为：12.5，15.5．
【点评】本题考查旋转变换，涉及全等三角形的判定与性质，解题的关键是读懂题意，熟练掌握“K型”全等的应用．
三、解答题（本题有6小题，共46分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19．已知：如图，AC＝BD，AD＝BC．求证：∠C＝∠D．

【分析】由AC＝BD、BC＝AD、AB＝BA，根据全等三角形的判定定理“SSS”证明△ABC≌△BAD，则∠C＝∠D．
【解答】证明：在△ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（SSS），
∴∠C＝∠D．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明△ABC≌△BAD是解题的关键．
20．如图，AE，AD分别是△ABC的高线和角平分线，且∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数．

【分析】△ABC中已知∠B＝40°，∠C＝60°，根据三角形的内角和定理得到∠BAC的度数，再利用角平分线的性质可求出∠BAD，根据三角形外角的性质求出∠ADE，则∠DAE＝90°﹣∠ADE．
解：∵∠B＝40°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°．
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝40°，
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝80°，
∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝90°﹣80°＝10°．
【点评】本题考查的是三角形的角平分线和高的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键．
21．方格纸中小正方形的顶点叫格点，点A和点B是格点，位置如图．

（1）在图1中确定格点C，使得△ABC是直角三角形，画出一个这样的△ABC，并直接写出线段AB的长．
（2）在图2中确定格点D，使得△ABD是等腰三角形，画出一个这样的△ABD．

【分析】（1）根据要求作出图形，利用勾股定理求出AB即可；
（2）利用数形结合的思想解决问题即可．
解：（1）如图1中，△ABC即为所求，AB＝＝5；
（2）如图2中，△ADB即为所求．


【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
22．如图，△ABC是等边三角形，点D是边AB上一点，以CD为边向上作等边△CDE，连结AE．
（1）求证：△BCD≌△ACE．
（2）若AE＝1，AB＝3，求AD的长．

【分析】（1）由△ABC和△CDE都是等边三角形，得CB＝AC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝60°，则∠BCD＝∠ACE＝60°﹣∠ACD，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△BCD≌△ACE；
（2）由△BCD≌△ACE，得BD＝AE＝1，则AD＝AB﹣BD＝2．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴CB＝AC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠BCD＝∠ACE＝60°﹣∠ACD，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS）．
（2）解：∵△BCD≌△ACE，AE＝1，AB＝3，
∴BD＝AE＝1，
∴AD＝AB﹣BD＝3﹣1＝2，
∴AD的长是2．
【点评】此题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明∠BCD＝∠ACE是解题的关键．
23．根据以下素材，探索完成任务．
三角形背景下角的关系探索
素材1
如图，已知等腰△ABC中，BA＝BC，在腰BC的延长线上取点E，连结AE，作AE的中垂线交射线BC于点D，连结AD．

素材2
研究一个几何问题时，一般先根据几何语言画出几何图形．可能需要分类讨论．
素材3
当我们要论证一个一般性结论时，常常将问题先分成几种特例，在研究特例的过程中寻求规律，总结方法，猜测结论，再将规律、方法和结论迁移到一般情形中，这种数学推理方法叫做归纳法．
问题解决
任务1
补全图形
请根据素材1，把图形补全．你画的点D在点C的 　右　侧．
任务2
特例猜想
有下列条件：①AB＝AC；②∠B＝40°；③∠CEA＝20°；④∠CEA＝50°；请从中选择你认为合适的一个或两个条件作为已知条件，求出∠BAD和∠CAE的大小，并猜测∠BAD与∠CAE的数量关系．
任务3
一般结论
请根据你在任务1中所画的一般情况下的图形，写出∠BAD与∠CAE的数量关系，并说明理由．
任务4
拓展延伸
除了你在任务1中所画的情形外，点D相对于点C的位置还有不同的情形吗？若有，请画出图形，并直接写出∠BAD与∠CAE的数量关系．

【分析】任务一：画出图形可得结论；
任务二：选择②∠B＝40°；③∠CEA＝20°．进行探究即可；
任务三：结论：∠BAD＝2∠CAE．设∠E＝∠DAE＝x，∠CAD＝y．利用角的和差定义，三角形的外角的性质求解即可；
任务四：有，如图所示：结论：∠BAD＝2∠CAE．
解：任务一：图形如图所示：点D在点C的右侧．
故答案为：右；


任务二：选择②∠B＝40°；③∠CEA＝20°．
∵BA＝BC，∠B＝40°，
∴∠BAC＝∠BCA＝（180°﹣40°）＝70°，
∵DA＝DE，
∴∠DAE＝∠E＝20°，
∵∠ACB＝∠E+∠CAE，
∴∠CAE＝70°﹣20°＝50°，
∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝70°+30°＝100°．
猜想：∠BAD＝2∠CAE；

任务三：结论：∠BAD＝2∠CAE．
理由：设∠E＝∠DAE＝x，∠CAD＝y．
∵BA＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝∠CAE+∠E＝y+2x，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2x+2y，
∵∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝x+y，
∴∠BAD＝2∠CAE．

任务四：有，如图所示：结论：∠BAD＝2∠CAE．

理由：设∠E＝∠DAE＝x，∠CAD＝y．
∵BA＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝∠CAE+∠E＝2x﹣y，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝2x﹣2y，
∵∠CAE＝∠DAE﹣∠CAD＝x﹣y，
∴∠BAD＝2∠CAE．


【点评】本题考查作图﹣基本作图，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题．
24．如图，在△ABC中，AC＝BC＝，∠ACB＝120°，将一块足够大的直角三角尺PEF（∠E＝90°，∠EPF＝30°）按如图放置，顶点P在线段AB上滑动（不与点A，B重合），三角尺的直角边PE始终经过点C，斜边PF交AC于点D．

（1）当PD∥BC时，判断△BCP的形状，并说明理由；
（2）当△PCD是等腰三角形时，求出所有满足要求的BP的长；
（3）记点C关于PD的对称点为C′，当C′D⊥AC时，AP的长是 　﹣　．
【分析】（1）△ACP为直角三角形，理由为：由PN与BC平行，得到一对内错角相等，求出∠ACP为直角，即可得证；
（2）过点C作CH⊥AB于点H．点P在滑动时，△PCD的形状可以是等腰三角形，分三种情况考虑：当PC＝PD；PD＝CD；PC＝CD，分别求解即可；
（3）过点C作CH⊥AB于点H．证明△CPH是等腰直角三角形，可得结论．
解：（1）结论：△ACP是直角三角形，
理由：当PD∥BC时，∠BCP＝∠EPF＝30°，
又∵∠ACB＝120°，
∴∠ACP＝120°﹣30°＝90°，
∴△ACP是直角三角形；

（2）如图，过点C作CH⊥AB于点H．

∵CA＝CB＝，CH⊥AB，
∴AH＝HB，
∵∠A＝30°，
∴CH＝AC＝，
∴AH＝＝＝，
∴AB＝2AH＝3，
设∠PCB＝α．则∠PCD＝120°﹣α，
①当PC＝PD时，△PCD是等腰三角形，
∴∠PCD＝∠PDC＝75°
∴∠α＝120°﹣75°＝45°，
此时点P与点H重合，PB＝；
②当PD＝CD时，△PCD是等腰三角形，
∴∠PCD＝∠CPD＝30°，即120°﹣α＝30°，
∴α＝90°，
此时BP＝2CP＝2PA，
∴PB＝AB＝2；
③当PC＝CD时，△PCD是等腰三角形，
∴∠CDP＝∠CPD＝30°，
∴∠PCD＝180°﹣2×30°＝120°，
即120°﹣α＝120°，
∴α＝0°，
此时点P与点B重合（不符合题意）．
综合所述，PB的值为或2；

（3）如图，过点C作CH⊥AB于点H．

∵DC′⊥AC，
∴∠CDF＝∠FDC′＝45°，
∵∠CDF＝∠CPD+∠PCD，∠CPD＝30°，
∴∠PCD＝15°，
∴∠CPH＝∠A+∠ACP＝45°，
∵∠CHP＝90°，
∴∠PCH＝∠∠CPH＝45°，
∴CH＝PH＝，
∵BAH＝，
∴AP＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，外角性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．