2023优化方案高考总复习第三章　一元函数的导数及其应用

助学培优6　活用“龙凤不等式”求解导数问题[学生用书P89]

人教A版数学选择性必修第二册P94 练习T2 证明不等式：x－1≥ln x，x∈(0，＋∞)，P99习题5.3T12(1)利用函数单调性，证明不等式ex>1＋x，x≠0，并通过函数图象直观验证．下面就一般情况研究一下这两个不等式：

(1)ex≥x＋1，当且仅当x＝0时等号成立．其几何意义是曲线y＝ex总是在点(0，1)处的切线y＝x＋1的上方．(如图①)

这个不等式有一个同胞的孪生不等式：

(2)ln x≤x－1，当且仅当x＝1时等号成立．其几何意义是曲线y＝ln x总是在点(1，0)处的切线y＝x－1的下方．(如图②)

设函数f(x)＝ln x－x＋1.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)求证：当x∈(1，＋∞)时，1＜＜x.

【解】　(1)由题设知，f(x)的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，解得x＝1.

当0＜x＜1时，f′(x)＞0，f(x)在(0，1)上单调递增；

当x＞1时，f′(x)＜0，f(x)在(1，＋∞)上单调递减．

(2)证明：由(1)知f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝0，所以当x≠1时，ln x＜x－1.

故当x∈(1，＋∞)时，ln x＜x－1，＞1，①

因此ln＜－1，即ln x＞，＜x.②

故当x∈(1，＋∞)时恒有1＜＜x.

已知函数f(x)＝x－1－aln x.

(1)若f(x)≥0，求a的值；

(2)设m为整数，且对于任意正整数n，…<m，求m的最小值．

【解】　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，

①若a≤0，因为f＝－＋aln 2<0，所以不满足题意．

②若a>0，由f′(x)＝1－＝知，

当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0；

所以f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，

故x＝a是f(x)在(0，＋∞)的唯一最小值点．

因为f(1)＝0，所以当且仅当a＝1时，f(x)≥0，故a＝1.

(2)由(1)知当x∈(1，＋∞)时，x－1－ln x>0，

即ln x<x－1.

令x＝1＋，得ln<.

从而ln＋ln＋…＋ln＜＋＋…＋＝1－＜1.

故…＜e，

又＝＞2，

从而m的最小正整数是m＝3.

ex≥1＋x与x－1≥ln x，x∈(0，＋∞)这两个不等式是堪称经典的函数不等式，其中ln x≤x－1的ln像龙头，ex≥x＋1的e像凤眼，我们不妨分别称之为龙不等式和凤不等式，统称为龙凤不等式．

利用这两个不等式可以解决很多导数的压轴题，非常方便．