高中数学复习专题：三角函数的图象与性质

这是一份高中数学复习专题：三角函数的图象与性质，共18页。

§4.3　三角函数的图象与性质
最新考纲
考情考向分析
1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．
2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性.
以考查三角函数的图象和性质为主，题目涉及三角函数的图象及应用、图象的对称性、单调性、周期性、最值、零点．考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识．题型既有选择题和填空题，又有解答题，中档难度.



1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



定义域
R
R
x≠kπ＋}
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间

[2kπ－π，2kπ]

递减区间

[2kπ，2kπ＋π]
无
对称中心
(kπ，0)


对称轴方程
x＝kπ＋
x＝kπ
无

知识拓展
1．对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
2．奇偶性
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则：
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y＝sin x在第一、第四象限是增函数．(　×　)
(2)由sin＝sin 知，是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期．(　×　)
(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．(　×　)
(4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　×　)
(5)y＝sin|x|是偶函数．(　√　)
题组二　教材改编
2．[P35例2]函数f(x)＝cos的最小正周期是________．
答案　π
3．[P46A组T2]y＝3sin在区间上的值域是________．
答案　
解析　当x∈时，2x－∈，
sin∈，
故3sin∈，
即y＝3sin的值域为.
4．[P45T3]y＝tan 2x的定义域是________．
答案　
解析　由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，
∴y＝tan 2x的定义域是.
题组三　易错自纠
5．下列函数中最小正周期为π且图象关于直线x＝对称的是(　　)
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
答案　B
解析　函数y＝2sin的周期T＝＝π，
又sin＝1，
∴函数y＝2sin的图象关于直线x＝对称．
6．函数f(x)＝4sin的单调递减区间是______________________．
答案　(k∈Z)
解析　f(x)＝4sin＝－4sin.
所以要求f(x)的单调递减区间，
只需求y＝4sin的单调递增区间．
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，得
－＋kπ≤x≤π＋kπ(k∈Z)．
所以函数f(x)的单调递减区间是(k∈Z)．
7．cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是________．
答案　sin 68°>cos 23°>cos 97°
解析　sin 68°＝cos 22°，
又y＝cos x在[0°，180°]上是减函数，
∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.

题型一　三角函数的定义域和值域
1．函数f(x)＝－2tan的定义域是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由正切函数的定义域，得2x＋≠kπ＋，k∈Z，即x≠＋(k∈Z)，故选D.
2．函数y＝的定义域为________．
答案　(k∈Z)
解析　方法一　要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．

在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为.
方法二　利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．

所以定义域为.
3．已知函数f(x)＝sin，其中x∈，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是________．
答案　
解析　∵x∈，∴x＋∈，
∵当x＋∈时，f(x)的值域为，
∴由函数的图象(图略)知≤a＋≤，∴≤a≤π.
4．(2018·长沙质检)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为__________．
答案　
解析　设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin x·cos x，sin xcos x＝，且－≤t≤.
∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1，t∈[－，]．
当t＝1时，ymax＝1；
当t＝－时，ymin＝－－.
∴函数的值域为.
思维升华 (1)三角函数定义域的求法
求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
(2)三角函数值域的不同求法
①利用sin x和cos x的值域直接求；
②把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)的形式求值域；
③通过换元，转换成二次函数求值域．


题型二　三角函数的单调性

命题点1　求三角函数的单调性
典例 (1)函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案　B
解析　由kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)，
得－＜x＜＋(k∈Z)，
所以函数f(x)＝tan的单调递增区间为
(k∈Z)，故选B.
(2)(2017·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)函数y＝sin x＋cos x的单调递增区间是____________．
答案　
解析　∵y＝sin x＋cos x＝sin，
由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
∴函数的单调递增区间为(k∈Z)，
又x∈，∴单调递增区间为.
命题点2　根据单调性求参数
典例 已知ω＞0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________．
答案　
解析　由＜x＜π，ω＞0，得
＋＜ωx＋＜ωπ＋，
又y＝sin x的单调递减区间为，k∈Z，
所以k∈Z，
解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z.
又由4k＋－≤0，k∈Z且2k＋>0，k∈Z，得k＝0，所以ω∈.
引申探究
本例中，若已知ω>0，函数f(x)＝cos在上单调递增，则ω的取值范围是____．
答案　
解析　函数y＝cos x的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，则k∈Z，
解得4k－≤ω≤2k－，k∈Z，
又由4k－－≤0，k∈Z且2k－＞0，k∈Z，
得k＝1，所以ω∈.
思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
跟踪训练　(2017·济南模拟)若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω等于(　　)
A. B.
C．2 D．3
答案　B
解析　由已知得＝，
∴T＝，∴ω＝＝.

题型三　三角函数的周期性、奇偶性、对称性

命题点1　三角函数的周期性
典例 (1)在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为(　　)
A．①②③ B．①③④
C．②④ D．①③
答案　A
解析　①y＝cos|2x|＝cos 2x，最小正周期为π；
②由图象知y＝|cos x|的最小正周期为π；
③y＝cos的最小正周期T＝＝π；
④y＝tan的最小正周期T＝，故选A.
(2)若函数f(x)＝2tan的最小正周期T满足1 答案　2或3
解析　由题意得，1<<2，
∴k<π<2k，即 又k∈Z，∴k＝2或3.
命题点2　三角函数的奇偶性
典例 (2017·银川模拟)函数f(x)＝3sin，φ∈(0，π)满足f(|x|)＝f(x)，则φ的值为______．
答案　
解析　由题意知f(x)为偶函数，关于y轴对称，
∴f(0)＝3sin＝±3，
∴φ－＝kπ＋，k∈Z，又0<φ<π，∴φ＝.
命题点3　三角函数图象的对称性
典例 (1)(2018·武汉模拟)若函数y＝cos(ω∈N*)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为________．
答案　2
解析　由题意知π＋＝kπ＋(k∈Z)，
∴ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N*，∴ωmin＝2.
(2)(2016·全国Ⅰ改编)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为________．
答案　9
解析　因为x＝－为f(x)的零点，x＝为f(x)的图象的对称轴，所以－＝＋，即＝T＝·，所以ω＝2k＋1(k∈N)，又因为f(x)在上单调，所以－＝≤＝，即ω≤12，
若ω＝11，又|φ|≤，则φ＝－，
此时，f(x)＝sin，f(x)在上单调递增，在上单调递减，不满足条件．
若ω＝9，又|φ|≤，则φ＝，
此时，f(x)＝sin，满足f(x)在上单调的条件．
由此得ω的最大值为9.
思维升华 (1)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点．
(2)求三角函数周期的方法
①利用周期函数的定义．
②利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
跟踪训练　(1)(2017·安徽江南十校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，且∀x∈R，有f(x)≤f成立，则f(x)图象的一个对称中心坐标是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，
得ω＝.
因为f(x)≤f恒成立，
所以f(x)max＝f，
即×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
由|φ|<，得φ＝，故f(x)＝sin.
令x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－(k∈Z)，
故f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，
当k＝0时，f(x)图象的对称中心为.
(2)若将函数f(x)＝sin的图象向右平移个单位长度后与原函数的图象关于x轴对称，则ω的最小正值是________．
答案　3
解析　若将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后与原函数的图象关于x轴对称，则平移的大小最小为，所以≤，即Tmax＝，所以当T＝时，ωmin＝＝＝3.

三角函数的图象与性质
考点分析　纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合性的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破，并在高考中拿全分．
典例 (1)(2017·全国Ⅲ)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是(　　)
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在上单调递减
答案　D
解析　A项，因为f(x)＝cos的周期为2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一个周期为－2π，A项正确；
B项，因为f(x)＝cos图象的对称轴为直线x＝kπ－(k∈Z)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，B项正确；
C项，f(x＋π)＝cos.令x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ－，当k＝1时，x＝，所以f(x＋π)的一个零点为x＝，C项正确；
D项，因为f(x)＝cos的单调递减区间为(k∈Z)，
单调递增区间为(k∈Z)，
所以是f(x)的单调递减区间，是f(x)的单调递增区间，D项错误．故选D.
(2)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为________．

答案　，k∈Z
解析　由图象知，周期T＝2×＝2，
∴＝2，∴ω＝π.
由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，
∴f(x)＝cos.
由2kπ<πx＋<2kπ＋π，k∈Z，得2k－ (3)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．
答案　π
解析　记f(x)的最小正周期为T.
由题意知≥－＝，
又f＝f＝－f，
且－＝，
可作出示意图如图所示(一种情况)：

∴x1＝×＝，
x2＝×＝，
∴＝x2－x1＝－＝，∴T＝π.



1．(2018·广州质检)下列函数中，是周期函数的为(　　)
A．y＝sin|x| B．y＝cos|x|
C．y＝tan|x| D．y＝(x－1)0
答案　B
解析　∵cos|x|＝cos x，∴y＝cos|x|是周期函数．
2．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为(　　)
A．－1 B．－ C. D．0
答案　B
解析　由已知x∈，得2x－∈，
所以sin∈，
故函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－.故选B.


3．函数y＝sin x2的图象是(　　)

答案　D
解析　函数y＝sin x2为偶函数，排除A，C；又当x＝时函数取得最大值，排除B，故选D.
4．(2017·成都诊断)函数y＝cos2x－2sin x的最大值与最小值分别为(　　)
A．3，－1 B．3，－2 C．2，－1 D．2，－2
答案　D
解析　y＝cos2x－2sin x＝1－sin2x－2sin x
＝－sin2x－2sin x＋1，
令t＝sin x，
则t∈[－1,1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，
所以ymax＝2，ymin＝－2.
5．已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象过点(0，)，则f(x)图象的一个对称中心是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象过点(0，)，则f(0)＝2sin φ＝，
∴sin φ＝，
又|φ|<，∴φ＝，
则f(x)＝2sin，令2x＋＝kπ(k∈Z)，
则x＝－(k∈Z)，当k＝0时，x＝－，
∴是函数f(x)的图象的一个对称中心．
6．(2017·衡水模拟)已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)的周期是
B．f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0}
C．直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴
D．f(x)的单调递减区间是，k∈Z
答案　D
解析　函数f(x)的周期为2π，A错；f(x)的值域为[0，＋∞)，B错；当x＝时，x－＝≠，k∈Z，∴x＝不是f(x)的对称轴，C错；令kπ－ 7．函数y＝cos的单调递减区间为__________．
答案　(k∈Z)
解析　因为y＝cos＝cos，
所以令2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数的单调递减区间为(k∈Z)．
8．(2018·福州质检)函数y＝cos2x＋sin x的最小值为____________．
答案　
解析　令t＝sin x，∵|x|≤，∴t∈.
∴y＝－t2＋t＋1＝－2＋，
∴当t＝－时，ymin＝.
9．已知函数f(x)＝2sin＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈(1,2)，则函数f(x)的最小正周期为________．
答案　
解析　由函数f(x)＝2sin＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，可得ωπ－＝kπ＋，k∈Z，
∴ω＝k＋，又ω∈(1,2)，∴ω＝，
从而得函数f(x)的最小正周期为＝.
10．(2018·珠海模拟)设函数f(x)＝3sin，若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________．
答案　2
解析　|x1－x2|的最小值为函数f(x)的半个周期，
又T＝4，∴|x1－x2|的最小值为2.
11．已知f(x)＝sin.
(1)求函数f(x)图象的对称轴方程；
(2)求f(x)的单调递增区间；
(3)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．
解　(1)f(x)＝sin，
令2x＋＝kπ＋，k∈Z，
得x＝＋，k∈Z.
所以函数f(x)图象的对称轴方程是x＝＋，k∈Z.
(2)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(3)当x∈时，≤2x＋≤，
所以－1≤sin≤，
所以－≤f(x)≤1，
所以当x∈时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－.
12. (2017·武汉调研)已知函数f(x)＝a＋b.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调增区间；
(2)当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值．
解　f(x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b
＝asin＋a＋b.
(1)当a＝－1时，f(x)＝－sin＋b－1，
由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的单调增区间为(k∈Z)．
(2)∵0≤x≤π，∴≤x＋≤，
∴－≤sin≤1.依题意知a≠0，
①当a>0时，∴a＝3－3，b＝5；
②当a<0时，∴a＝3－3，b＝8.
综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8.

13．(2018·太原模拟)若f(x)＝3sin x－4cos x的一条对称轴方程是x＝a，则a的取值范围可以是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　因为f(x)＝3sin x－4cos x＝5sin(x－φ)，则sin(a－φ)＝±1，
所以a－φ＝kπ＋，k∈Z，即a＝kπ＋＋φ，k∈Z，而tan φ＝且0＜φ＜，所以＜φ＜，所以kπ＋＜a＜kπ＋π，k∈Z，取k＝0，此时a∈，故选D.
14．已知关于x的方程2sin＋1－a＝0在区间上存在两个根，则实数a的取值范围是________．
答案　[2,3)
解析　sin＝在上存在两个根，设x＋＝t，则t∈，
∴y＝sin t，t∈的图象与直线y＝有两个交点，∴≤<1，∴2≤a<3.

15．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋b对任意实数x有f＝f(－x)恒成立，且f＝1，则实数b的值为(　　)
A．－1 B．3
C．－1或3 D．－3
答案　C
解析　由f＝f(－x)可知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋b关于直线x＝对称，又函数f(x)在对称轴处取得最值，故±2＋b＝1，∴b＝－1或b＝3.
16．(2018·兰州模拟)已知a>0，函数f(x)＝－2asin＋2a＋b，当x∈时，
－5≤f(x)≤1.
(1)求常数a，b的值；
(2)设g(x)＝f且lg g(x)>0，求g(x)的单调区间．
解　(1)∵x∈，∴2x＋∈，
∴sin∈，
∴－2asin∈[－2a，a]，
∴f(x)∈[b,3a＋b]，又∵－5≤f(x)≤1，
∴b＝－5,3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.
(2)由(1)得f(x)＝－4sin－1，
g(x)＝f＝－4sin－1
＝4sin－1，
又由lg g(x)>0，得g(x)>1，
∴4sin－1>1，∴sin>，
∴2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z，
其中当2kπ＋<2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，
g(x)单调递增，即kπ ∴g(x)的单调增区间为，k∈Z.
又∵当2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z时，
g(x)单调递减，即kπ＋ ∴g(x)的单调减区间为，k∈Z.
∴g(x)的单调增区间为，k∈Z，
单调减区间为，k∈Z.