人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算同步练习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算同步练习题，共16页。试卷主要包含了夹角，垂直，·c＝a·c＋b·c等内容，欢迎下载使用。
      专题6.2  平面向量的数量积知识储备一　两向量的夹角与垂直1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向.2.垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b.二　向量数量积的定义非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0.【思考】若a≠0，且a·b＝0，是否能推出b＝0.【答案】在实数中，若a≠0，且a·b＝0，则b＝0；但是在数量积中，若a≠0，且a·b＝0，不能推出b＝0.因为其中a有可能垂直于b.三　投影向量在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量.设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e.四　平面向量数量积的性质设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则(1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a∥b时，a·b＝特别地，a·a＝|a|2或|a|＝(4)|a·b|≤|a||b|.五　平面向量数量积的运算律1.a·b＝b·a(交换律).2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律).3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).【思考】若a·b＝b·c，是否可以得出结论a＝c?【答案】不可以.已知实数a，b，c(b≠0)，则ab＝bc⇒a＝c，但是a·b＝b·c推不出a＝c.理由如下：如图，a·b＝|a||b|cos β＝|b||OA|，b·c＝|b||c|cos α＝|b||OA|.所以a·b＝b·c，但是a≠c.能力检测姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2020·全国高三学业考试）已知向量满足，，则（    ）A．4 B．3 C．2 D．0【答案】B【解析】因为，， 所以，故选：B.2．（2020·北京高一期末）设，均为单位向量，且，则（    ）A．3 B． C．6 D．9【答案】B【解析】，均为单位向量，且，则.故选B3．（2020·浙江高二开学考试）已知两个单位向量，满足，则与的夹角是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，所以， 又因为单位向量，所以，所以向量的夹角为，且，所以，故选：C.4．（2021·安徽高三期末（文））如图，，则（    ）A． B．1 C． D．【答案】C【解析】由，所以.故选：C5．（2021·安徽池州市·高三期末（理））已知向量，满足，，且与反向，则（    ）A．36 B．48 C．57 D．64【答案】A【解析】因为与反向，所以，又，，，所以，.故选：A6．（2021·北京高三期末）在中，，，且，则的最小值是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，且，当时，取得最小值为，则取得最小值为.故选A.7．（2020·广东佛山市·高三月考）已知p是边长为2的正三角形ABC的边BC上的一点，则的取值范围是（    ）A．[2，6] B．[2，4] C．(2，4) D．(0，4)【答案】B【解析】如图所示，为的中点，，当在时，在方向上的投影最大，，当在时，在方向上的投影最小，，的取值范围是[2，4]，故答案为：B. 8．（2020·全国高三月考（理））已知等边的面积为，动点在的边上，若线段为内切圆的一条直径，且，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设的边长为，则，解得，设内切圆圆心为，，可知当点在的顶点位置时，有最大值，此时，，故实数的取值范围为.故选B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．（2021·江苏高一）若、、是空间的非零向量，则下列命题中的假命题是（    ）A．B．若，则C．若，则D．若，则【答案】ACD【解析】是与共线的向量，是与共线的向量，与不一定共线，A错，若，则与方向相反，∴，B对，若，则，即，不能推出，C错，若，则，与方向不一定相同，不能推出，D错，故选ACD.10．（2020·胶州市教育体育局教学研究室高三期中）在中，，则（    ）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】因为所以，所以，故正确；所以，所以，故不正确；因为，故正确；，故正确.故选：BCD11．（2020·辽宁高一期末）在RtABC中，BD为斜边AC上的高，下列结论中正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】AD【解析】对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，,故C错误；对于D，,,故D正确.故选AD.12．（2020·全国高三专题练习（理））已知平面向量，，满足.若，则的值可能为（    ）A． B． C．0 D．【答案】BCD【解析】， ，则，，，所以的值可能为，故选：三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13．（2021·上海市西南位育中学高二期末）已知，，与的夹角为90°，则________【答案】【解析】因为与的夹角为90°，所以．因为，，所以．14．（2021·安徽蚌埠市·高三二模（文））已知单位向量满足：，则向量与向量的夹角________．【答案】【解析】，即，，即又，15．（2021·湖南株洲市·高三一模）在直角边长为3的等腰直角中，E、F为斜边上的两个不同的三等分点，则______.【答案】4【解析】设是接近的一个三等分点，则，，又，16．（2021·北京顺义区·高三期末）已知单位向量满足，则与夹角的大小为________；的最小值为______.【答案】        【解析】（1），，，；（2） ，当时，取得最小值，的最小值是.三、解答题（本大题共4小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）（2020·山东省五莲县第一中学高一月考）已知，，向量与向量夹角为45°，求使向量与的夹角是锐角时，的取值范围.【解析】∵，，与夹角为45°，∴，而，要使向量与的夹角是锐角，则，且向量与不共线，由得，得或.由向量与不共线得所以的取值范围为：18．（本小题满分12分）（2021·南昌市·江西师大附中高一期末）在中，，，.（1）用和表示；（2）求.【解析】（1）如图所示，因为，所以.（2）过点作于D，则，.因为，所以，从而.19．（本小题满分12分）（2021·贵州毕节市·高一期末）已知向量与的夹角为，，.（1）若；（2）若，求实数t的值.【解析】（1）向量与的夹角为，，，，，；（2），，即，，解得.20．（本小题满分12分）已知中，，为角平分线．（1）求 的长度；（2）过点作直线交的延长线于不同两点，且满足，，求的值，并说明理由．【解析】（1）根据角平分线定理：，所以，所以所以：，所以.（2）因为，，所以，因为三点共线，所以，所以.21．（本小题满分12分）在如图所示的平面图形中，已知，，点A，B分别是线段CE，ED的中点．（1）试用，表示；（2）若，，且，的夹角，试求的取值范围．【解析】（1）连接AB，则，∵A，B分别是线段CE，ED的中点，∴，则．（2)，将，代入，则．∵，∴，则，故．22．（本小题满分12分）（2020·上海嘉定区·高二期中）已知向量，满足，且.（1）试用表示，并求出的最大值及此时与的夹角的值.（2）当，取得最大值时，求实数，使的值最小，并对这一结果做出几何解释.【解析】（1）由题意，向量，满足，且，可得，整理得，即，可得，又由，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，又由，所以.（2）由（2）知的最大值为，所以，所以当时，取得最小值，最小值为,这一结果的几何解释：平行四边形中，，当且仅当时，对角线最短为.