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    2023湖北省部分高中联考协作体高二上学期期中考试数学试题含答案

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    这是一份2023湖北省部分高中联考协作体高二上学期期中考试数学试题含答案,共16页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2022年秋季湖北省部分高中联考协作体期中考试

    高二数学试卷

    命题教师:孙勇波

    考试时间:202211118:0010:00 试卷满分:150

     选择题(共40分)

    一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)

    1.若方程表示一条直线,则实数满足(   

    A   B   C   D

    2.已知为空间中四点,任意三点不共线,且,若四点共面,则的值为(   

    A1    B2    C3    D4

    3.设分别是的对边长,则直线的位置关系是(   

    A.平行    B.垂直    C.重合    D.相交

    4.已知向量是空间的一个基底,向量是空间的另一个基底,一向量在基底下的坐标为,则向量在基底下的坐标为(   

    A  B  C  D

    5.已知圆和两点.若圆上存在点,使得,则的最小值和最大值分别为(   

    A47    B46    C57    D56

    6.在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为曲池的几何体,该几何体的上、下底面平行,且均为扇环形(扇环是指圆环被扇形截得的部分).现有一个如图所示的曲池,它的高为4均与曲池的底面垂直,底面扇环对应的两个圆的半径分别为24,对应的圆心角为90°,则图中异面直线所成角的余弦值为(   

    A    B    C    D

    7.已知圆,圆.若过点的直线与圆都有公共点,则直线斜率的取值范围是(   

    A   B   C D

    8.空间直角坐标系中,过点且一个法向量为的平面的方程为,已知平面的方程为,直线是两平面的交线,则直线与平面所成角的正弦值为(   

    A    B    C   D

    二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0

    9.(多选)若直线与直线垂直,则实数的值可能为(   

    A    B1    C    D3

    10.已知圆与圆交于不同的两点,则下列结论正确的是(   

    A    B

    C       D

    11.如图,一个结晶体的形状为平行六面体,其中,以顶点为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60°,下列说法中正确的是(   

    A   B

    C.向量的夹角是60°   D所成角的余弦值为

    12.在平面直角坐标系中,,点满足.设点的轨迹为,则下列结论正确的是(   

    A的方程为

    B.当三点不共线时,射线的平分线

    C.在上存在使得

    D.在轴上存在异于的两个定点,使得

     非选择题(共90分)

    三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

    13.试写出一个点的坐标:______,使之与点三点共线.

    14.已知,则直线必过定点______

    15.过点可作圆的两条切线,则实数的取值范围______

    16.如图,在棱长为2的正方体中,的中点,点在线段上,点到直线的距离的最小值为______

    四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.除17题为10分外,18~22题均为12分.)

    17.已知圆经过坐标原点和点,且圆心在轴上

    1)求圆的方程;

    2)已知直线与圆相交于两点,求所得弦长的值.

    18.已知空间三点,设

    1)若向量互相垂直,求实数的值;

    2)若向量共线,求实数的值.

    19.已知直线,直线过点______.在直线的斜率是直线的斜率的2倍,直线不过原点且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍这两个条件中任选一个,补充在上面的横线中,并解答下列问题.

    1)求的方程;

    2)若轴上的截距相等,求轴上的截距

    20.在如图所示的五面体中,面是边长为2的正方形,平面,且的中点,中点,

    1)求证:平面

    2)求二面角的余弦值的绝对值;

    3)求点到平面的距离.

    21.如图,在长方体中,

    1)求与面所成角的正弦值;

    2)如上,上,当时,求的长度.

    22.已知圆经过两点,圆心在直线上.

    1)求圆的标准方程;

    2)若圆轴相交于两点(上方).直线与圆交于两点,直线相交于点.请问点是否在定直线上?若是,求出该直线方程;若不是,说明理由.

    2022年秋季湖北省部分高中联考协作体期中考试

    高二数学试卷参考答案

    .单选题

    1B

    【分析】若表示一条直线,则不能同时为0,即

    【详解】当时,;当时,

    要使方程表示一条直线,则不能同时为0

    所以,故选:B

    2D

    【分析】根据四点共面结论:若四点共面,则

    【详解】若四点共面,则,则.故选:D

    3C

    【分析】利用正弦定理直接判断可知.

    【详解】由正弦定理可知,

    所以直线重合.故选:C

    4A

    【分析】根据空间向量的基本定理和坐标表示即得结果.

    【详解】设在基底下的坐标为

    所以,解得,故在基底下的坐标为.故选:A

    5B

    【分析】由,知动点的轨迹是以为直径的圆,又点在圆上,故点是圆与圆的交点,因此可得两圆的位置关系是相切或相交.由两圆的位置关系可以得到代数关系,从而求出的取值范围,进而找到的最小值.

    【详解】如图

    解:的轨迹是以为直径的圆

    又点在圆上,故点是圆与圆的交点,

    因此可得两圆的位置关系是相切或相交,即

    解得:的最小值为4,最大值为6.故选:B

    6A

    【分析】建立空间直角坐标系,以向量法去求解异面直线所成角的余弦值.

    【详解】如图

    设上底面圆心为,下底面圆心为,连接

    为原点,分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系

    ,则

    又异面直线所成角的范围为

    故异面直线所成角的余弦值为.故选:A

    7D

    【分析】由题意可知,过点的直线与两个圆分别相切时为临界位置,即直线介于图形中的两直线之间,用点线距离公式列式求出相切时的值,即可求解

    【详解】如图,由题意可知,过点的直线与两个圆分别相切时为临界位置,即直线介于图形中的两直线之间,设直线的方程为,与相切时有,解得,由图知舍去,与相切时有,解得,由图知舍去,

    所以直线斜率的取值范围是.故选:D

    8C

    【分析】求出直线的方向向量,平面的法向量,再根据空间向量法求出线面角的正弦值,即可得解.

    【详解】平面的方程为平面的法向量可取

    平面的法向量为,平面的法向量为

    两平面的交线的方向向量为

    ,令,则,所以

    则直线与平面所成角的大小为故选:C

    二.多选题

    9BC

    【分析】解方程即得解.

    【详解】解:由题意得,即解得.故选:BC

    10ABD

    【分析】求得相交弦所在直线方程,由此对选项逐一分析,结合圆的性质确定正确选项.

    【详解】圆的方程为,两圆的方程相减,可得直线的方程为,即得,分别把两点的坐标代入,可得,两式相减可得,即,所以选项AB均正确;由圆的性质可得,线段与线段互相平分,所以,所以选项C不正确,选项D正确.故选:ABD

    11AB

    【分析】直接用空间向量的基本定理,向量的运算对每一个选项进行逐一判断.

    【详解】以顶点为端点的三条棱长都相等,它们彼此的夹角都是60°

    可设棱长为1,则

    ,所以A正确.

    ,所以B正确

    向量,显然为等边三角形,则

    所以向量的夹角是120°,向量的夹角是120°,则C不正确.

    ,

    ,所以D不正确.故选:AB

    12ABD

    【分析】设点,根据题意可求出的方程可判断A,根据三角形内角平分线的性质可判断B,求出点的轨迹方程与的方程联立可判断C,设的坐标结合的方程可判断D

    【详解】设点,则由可得

    化简可得,故A正确;

    三点不共线时,因为

    所以,所以,射线的平分线,故B正确;

    设存在,则,即

    因为,所以

    所以,所以

    又因为,所以,又因为不满足

    所以不存在满足条件,故C错误;

    假设轴上存在异于的两定点,使得

    可设,可得

    的轨迹方程为,可得

    解得(舍去),即存在,故D正确.

    故选:ABD

    三.填空题

    13(答案不唯一)

    【分析】设出点的坐标,利用空间向量共线得到,求出

    写出一个符合要求的即可.

    【详解】根据题意可得,设,则设,即

    ,不妨令,则,故.故答案为:

    14

    【详解】解:因为,所以

    又直线,所以直线必过;故答案为:

    15

    【详解】因为过点可作圆的两条切线,所以点在圆外,

    故答案为:

    16

    【分析】建立空间直角坐标系,借助空间向量求出点到直线距离的函数关系,再求其最小值作答.

    【详解】在正方体中,建立如图所示的空间直角坐标系,

    因点在线段上,则

    ,向量在向量上投影长为

    则点到直线的距离

    当且仅当时取=,所以点到直线的距离的最小值为.故答案为:

    四.解答题

    17.(12

    【分析】(1)求出圆心和半径,写出圆的方程;(2)求出圆心到直线距离,进而利用垂径定理求出弦长.

    1)由题意可得,圆心为,半径为2.则圆的方程为

    2)由(1)可知:圆半径为,设圆心的距离为,则,由垂径定理得:

    18.(1221

    【分析】(1)求出向量的坐标,利用空间向量垂直的坐标表示可得出关于实数的方程,解之即可;

    2)求出向量的坐标,设,可得出关于的方程组,即可解得实数的值.

    1)解:由已知可得

    所以,

    由题意可知

    ,解得2

    2)解:

    由题意,设,所以,,解得.因此,

    19.(126

    【分析】(1)选择:根据点斜式求解即可;选择:设直线的截距式求解即可;

    2)先求得直线轴上的截距为,再代入求解可得直线方程,进而求得轴上的截距即可.

    1)选择

    由题意可设直线的方程为,因为直线的斜率是直线的斜率的2倍,所以,所以直线的方程为,即

    选择

    由题意可设直线的方程为,因为直线过点,所以,解得

    所以直线的方程为,即

    2)由(1)可知直线的方程为,令,可得

    所以直线轴上的截距为,所以直线轴上的截距为

    故直线过点,代入,得

    所以直线的方程为.因此直线轴上的截距为6

    20.(1)证明见解析(23

    【分析】(1)建立空间直角坐标系,根据向量法证线面平行,

    2)利用平面法向量的夹角求二面角,

    3)利用空间向量即可求解点面距离.

    1)因为平面平面,所以,因为,所以两两垂直,所以以为原点,所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系,

    如图所示,因为平面是边长为2的正方形,,且的中点,所以,所以,因为平面的法向量可以为,所以,即,又平面,所以平面

    2)因为,设平面的法向量为,则,令,则,所以,因为平面,所以平面,因为平面,所以,因为平面,所以平面,所以平面的法向量可以为

    设二面角,则,所以二面角的余弦值为

    3)由(2)知平面的法向量为,又,设点到平面的距离为,则,所以点到平面的距离

    21.【详解】在长方体中,建立如图所示的空间直角坐标系,

    1)以为坐标原点,轴,轴,轴,

    设面法向量

    ,则

    2)设

    ,即

    22.(12)是,

    【分析】(1)由已知设出圆心,再由圆心到的距离都为半径列出方程解出答案即可;

    2)联立直线与圆的方程并化简,然后求出直线的方程,进而结合根与系数的关系得出答案.

    1)依题意可设圆心,则半径

    ,故,即圆的标准方程为

    2)设,由(1)可知,

    联立方程组,消去并化简得

    容易判断直线所过定点在圆内,即直线与圆一定有两个交点,

    所以

    直线的方程为,直线的方程为

    ①②可得:

    ,化简得,故点在定直线上.

     

     

     

     

     


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