2023湖北省部分高中联考协作体高二上学期期中考试数学试题含答案
展开2022年秋季湖北省部分高中联考协作体期中考试
高二数学试卷
命题教师:孙勇波
考试时间:2022年11月11日8:00—10:00 试卷满分:150分
第Ⅰ卷 选择题(共40分)
一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.若方程表示一条直线,则实数满足( )
A. B. C. D.且
2.已知,,,为空间中四点,任意三点不共线,且,若,,,四点共面,则的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.设、、分别是的对边长,则直线与的位置关系是( )
A.平行 B.垂直 C.重合 D.相交
4.已知向量是空间的一个基底,向量是空间的另一个基底,一向量在基底下的坐标为,则向量在基底下的坐标为( )
A. B. C. D.
5.已知圆和两点,,.若圆上存在点,使得,则的最小值和最大值分别为( )
A.4,7 B.4,6 C.5,7 D.5,6
6.在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体,该几何体的上、下底面平行,且均为扇环形(扇环是指圆环被扇形截得的部分).现有一个如图所示的曲池,它的高为4,,,,均与曲池的底面垂直,底面扇环对应的两个圆的半径分别为2和4,对应的圆心角为90°,则图中异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.已知圆,圆.若过点的直线与圆、都有公共点,则直线斜率的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.空间直角坐标系中,过点且一个法向量为的平面的方程为,已知平面的方程为,直线是两平面与的交线,则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.(多选)若直线与直线垂直,则实数的值可能为( )
A. B.1 C. D.3
10.已知圆与圆交于不同的两点,,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
11.如图,一个结晶体的形状为平行六面体,其中,以顶点为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60°,下列说法中正确的是( )
A. B.
C.向量与的夹角是60° D.与所成角的余弦值为
12.在平面直角坐标系中,,,点满足.设点的轨迹为,则下列结论正确的是( )
A.的方程为
B.当,,三点不共线时,射线是的平分线
C.在上存在使得
D.在轴上存在异于,的两个定点,,使得
第Ⅱ卷 非选择题(共90分)
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.试写出一个点的坐标:______,使之与点,三点共线.
14.已知,则直线必过定点______.
15.过点可作圆的两条切线,则实数的取值范围______.
16.如图,在棱长为2的正方体中,为的中点,点在线段上,点到直线的距离的最小值为______.
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.除17题为10分外,18~22题均为12分.)
17.已知圆经过坐标原点和点,且圆心在轴上
(1)求圆的方程;
(2)已知直线与圆相交于、两点,求所得弦长的值.
18.已知空间三点、、,设,.
(1)若向量与互相垂直,求实数的值;
(2)若向量与共线,求实数的值.
19.已知直线,直线过点,______.在①直线的斜率是直线的斜率的2倍,②直线不过原点且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍这两个条件中任选一个,补充在上面的横线中,并解答下列问题.
(1)求的方程;
(2)若与在轴上的截距相等,求在轴上的截距.
20.在如图所示的五面体中,面是边长为2的正方形,平面,,且,为的中点,为中点,
(1)求证:平面;
(2)求二面角的余弦值的绝对值;
(3)求点到平面的距离.
21.如图,在长方体中,,,.
(1)求与面所成角的正弦值;
(2)如在上,在上,当,时,求的长度.
22.已知圆经过,两点,圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程;
(2)若圆与轴相交于,两点(在上方).直线与圆交于,两点,直线,相交于点.请问点是否在定直线上?若是,求出该直线方程;若不是,说明理由.
2022年秋季湖北省部分高中联考协作体期中考试
高二数学试卷参考答案
一.单选题
1.B
【分析】若表示一条直线,则,不能同时为0,即.
【详解】当时,或;当时,或.
要使方程表示一条直线,则,不能同时为0,
所以,故选:B.
2.D
【分析】根据四点共面结论:若,,,四点共面,则且,
【详解】若,,,四点共面,则,则.故选:D
3.C
【分析】利用正弦定理直接判断可知.
【详解】由正弦定理可知,,
所以直线与重合.故选:C.
4.A
【分析】根据空间向量的基本定理和坐标表示即得结果.
【详解】设在基底下的坐标为,
则,
所以,解得,故在基底下的坐标为.故选:A
5.B
【分析】由,知动点的轨迹是以为直径的圆,又点在圆上,故点是圆与圆的交点,因此可得两圆的位置关系是相切或相交.由两圆的位置关系可以得到代数关系,从而求出的取值范围,进而找到的最小值.
【详解】如图
解:∵,∴点的轨迹是以为直径的圆,
又点在圆上,故点是圆与圆的交点,
因此可得两圆的位置关系是相切或相交,即,
解得:,∴的最小值为4,最大值为6.故选:B.
6.A
【分析】建立空间直角坐标系,以向量法去求解异面直线与所成角的余弦值.
【详解】如图
设上底面圆心为,下底面圆心为,连接,,
以为原点,分别以,,所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系
则,,,,则,
又异面直线所成角的范围为
故异面直线与所成角的余弦值为.故选:A
7.D
【分析】由题意可知,过点的直线与两个圆分别相切时为临界位置,即直线介于图形中的两直线之间,用点线距离公式列式求出相切时的值,即可求解
【详解】如图,由题意可知,过点的直线与两个圆分别相切时为临界位置,即直线介于图形中的两直线之间,设直线的方程为,与相切时有,解得或,由图知舍去,与相切时有,解得或,由图知舍去,
所以直线斜率的取值范围是.故选:D
8.C
【分析】求出直线的方向向量,平面的法向量,再根据空间向量法求出线面角的正弦值,即可得解.
【详解】∵平面的方程为,∴平面的法向量可取
平面的法向量为,平面的法向量为,
设两平面的交线的方向向量为,
由,令,则,,所以,
则直线与平面所成角的大小为,.故选:C.
二.多选题
9.BC
【分析】解方程即得解.
【详解】解:由题意得,即.解得或.故选:BC.
10.ABD
【分析】求得相交弦所在直线方程,由此对选项逐一分析,结合圆的性质确定正确选项.
【详解】圆的方程为,两圆的方程相减,可得直线的方程为,即得,分别把,两点的坐标代入,可得,,两式相减可得,即,所以选项A、B均正确;由圆的性质可得,线段与线段互相平分,所以,,所以选项C不正确,选项D正确.故选:ABD
11.AB
【分析】直接用空间向量的基本定理,向量的运算对每一个选项进行逐一判断.
【详解】以顶点为端点的三条棱长都相等,它们彼此的夹角都是60°,
可设棱长为1,则
而,所以A正确.
,所以B正确.
向量,显然为等边三角形,则,
所以向量与的夹角是120°,向量与的夹角是120°,则C不正确.
又,
则,,
,,所以D不正确.故选:AB
12.ABD
【分析】设点,根据题意可求出的方程可判断A,根据三角形内角平分线的性质可判断B,求出点的轨迹方程与的方程联立可判断C,设,的坐标结合的方程可判断D.
【详解】设点,则由可得,
化简可得,故A正确;
当,,三点不共线时,因为,,,
所以,所以,射线是的平分线,故B正确;
设存在,则,即,
因为,所以,
所以,所以,
又因为,所以,又因为不满足,
所以不存在满足条件,故C错误;
假设轴上存在异于,的两定点,,使得,
可设,,可得,
由的轨迹方程为,可得,,
解得,或,(舍去),即存在,,故D正确.
故选:ABD.
三.填空题
13.(答案不唯一)
【分析】设出点的坐标,利用空间向量共线得到,求出,,
写出一个符合要求的即可.
【详解】根据题意可得,设,则设,即
故,,不妨令,则,故.故答案为:
14.
【详解】解:因为,所以,
又直线,所以直线必过;故答案为:
15.
【详解】因为过点可作圆的两条切线,所以点在圆外,
∴∴故答案为:
16.
【分析】建立空间直角坐标系,借助空间向量求出点到直线距离的函数关系,再求其最小值作答.
【详解】在正方体中,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,,,
因点在线段上,则,,
,向量在向量上投影长为,
而,
则点到直线的距离,
当且仅当时取“=”,所以点到直线的距离的最小值为.故答案为:
四.解答题
17.(1)(2)
【分析】(1)求出圆心和半径,写出圆的方程;(2)求出圆心到直线距离,进而利用垂径定理求出弦长.
(1)由题意可得,圆心为,半径为2.则圆的方程为;
(2)由(1)可知:圆半径为,设圆心到的距离为,则,由垂径定理得:.
18.(1)或2(2)或1
【分析】(1)求出向量、的坐标,利用空间向量垂直的坐标表示可得出关于实数的方程,解之即可;
(2)求出向量与的坐标,设,可得出关于、的方程组,即可解得实数的值.
(1)解:由已知可得,,
所以,,,
由题意可知,
即,解得或2.
(2)解:,,
由题意,设,所以,,解得或.因此,.
19.(1)(2)6
【分析】(1)选择①:根据点斜式求解即可;选择②:设直线的截距式求解即可;
(2)先求得直线在轴上的截距为,再代入求解可得直线方程,进而求得在轴上的截距即可.
(1)选择①.
由题意可设直线的方程为,因为直线的斜率是直线的斜率的2倍,所以,所以直线的方程为,即.
选择②.
由题意可设直线的方程为,因为直线过点,所以,解得.
所以直线的方程为,即.
(2)由(1)可知直线的方程为,令,可得,
所以直线在轴上的截距为,所以直线在轴上的截距为.
故直线过点,代入,得.
所以直线的方程为.因此直线在轴上的截距为6.
20.(1)证明见解析(2)(3)
【分析】(1)建立空间直角坐标系,根据向量法证线面平行,
(2)利用平面法向量的夹角求二面角,
(3)利用空间向量即可求解点面距离.
(1)因为平面,,平面,所以,,因为,所以,,两两垂直,所以以为原点,,,所在的直线分别为,,轴建立空间直角坐标系,
如图所示,因为平面是边长为2的正方形,,且,为的中点,所以,,,,,,,所以,因为平面的法向量可以为,所以,即,又平面,所以平面;
(2)因为,,设平面的法向量为,则,令,则,所以,因为平面,,所以平面,因为平面,所以,因为,,,平面,所以平面,所以平面的法向量可以为,
设二面角为,则,所以二面角的余弦值为;
(3)由(2)知平面的法向量为,又,设点到平面的距离为,则,所以点到平面的距离;
21.【详解】在长方体中,建立如图所示的空间直角坐标系,
(1)以为坐标原点,为轴,为轴,为轴,
,,,,,
,,,
设面法向量,,,
令,则,,∴,
∴
(2)设,,,,∴,
∴,即,
∴,,
,
∴,∴,∴
22.(1)(2)是,
【分析】(1)由已知设出圆心,再由圆心到,的距离都为半径列出方程解出答案即可;
(2)联立直线与圆的方程并化简,然后求出直线和的方程,进而结合根与系数的关系得出答案.
(1)依题意可设圆心,则半径,
解,,故,即圆的标准方程为.
(2)设,,由(1)可知,,,
联立方程组,消去并化简得,
容易判断直线所过定点在圆内,即直线与圆一定有两个交点,
所以,,
直线的方程为①,直线的方程为②,
由①②可得:,
由,化简得,故点在定直线上.
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