2023日照高二上学期期中校际联考数学试题含答案

2021级高二上学期期中校际联合考试

数学试题

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数（为虚数单位），则的共轭复数的虚部为（    ）

A． B． C． D．

2．圆和圆的位置关系是（    ）

A．内切 B．相交 C．外切 D．外离

3．已知向量，，，若，，三向量共面，则实数等于（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

4．如图，在三棱锥中，，，点在OA上，且，为BC中点，则（    ）

A．  B．

C．  D．

5．已知直线和直线都过点，则过点和点的直线方程是（    ）

A． B． C． D．

6．美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下额的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份，如图，假设三庭中一庭的高度为2cm，五眼中一眼的宽度为lcm，如图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为（    ）

A．1.8cm B．2.5cm C．3.2cm D．3.9cm

7．如图，二面角的平面角为60°，线段，，与所成的角为30°，则AB与平面所成角的正弦值是（    ）

A． B． C． D．

8．已知点，直线，且点不在直线上，则点到直线的距离；类比：当点在函数图象上时，点到直线的距离公式变为，根据该公式可求的最小值是（    ）

A． B．4 C． D．8

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．

9．复数，（为虚数单位），则正确的是（    ）

A．，互为共轭复数  B．

C．  D．

10．一个底面半径为4的圆柱被一个60°的二面角所截，其中一个截面为圆，另一个截面为椭圆，则正确的是（    ）

A．椭圆的长轴长为8  B．椭圆的离心率为

C．椭圆的离心率为  D．椭圆的一个方程可能为

11．金刚石是天然存在的最硬的物质，如图1所示是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示．这就是说，图2中有，若正四面体ABCD的棱长为2，则正确的是（    ）

A．  B．

C．  D．

12．如图，在棱长为1的正方体中，点为线段上的动点（含端点），则正确的是（    ）

A．存在点，使得平面

B．存在点，使得直线AM与直线所成的角为60°

C．存在点，使得三棱锥的体积为

D．不存在点，使得，其中为二面角的平面角，为直线与AB所成的角

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若复数，在复平面内对应的点关于轴对称，且（为虚数单位），则复数______．

14．已知圆，为圆上位于第一象限的一点，过点作圆的切线．当在两坐标轴上的截距相等时，的方程为______．

15．已知正四棱台的上、下底面边长分别为1和2，P是上底面的线段上一点．若的最小值为，则该正四棱台的高为______．

16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过原点的直线与交于A，B两点（A在第一象限），若，且，则椭圆的离心率的取值范围是______．

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（10分）

已知是复数，（为虚数单位）为实数，且．

（1）求复数；

（2）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围．

18．（12分）

已知直线和直线的交点为．

（1）求过点且与直线平行的直线方程；

（2）若直线与直线垂直，且到的距离为，求直线的方程．

19．（12分）

如图，在直角中，，，将绕边PO旋转到的位置，使，得到圆锥的一部分，点为上的点，且．

（1）求点到平面PAB的距离；

（2）设直线与平面所成的角为，求的值．

20．（12分）

已知直线与圆交于A，B两点，且

（1）求的值；

（2）当时，求过点的圆的切线方程．

21．（12分）

如图，在四棱锥中，平面平面，，，，．

（1）求证：平面ACE；

（2）若直线CE与平面ABC所成的角为45°，求二面角的余弦值．

22．（12分）

如图，已知椭圆的左、右顶点为A，B，又A，B与椭圆短轴的一个端点组成的三角形面积为2．圆的圆心为椭圆的左顶点．

（1）求椭圆的方程；

（2）当圆半径时，过椭圆外一点垂直于轴的圆的切线为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线AQ，BQ与直线分别交于G，H两点．求的最小值；

（3）圆A与椭圆交于点M，N．点是椭圆上异于M，N的任意一点，且直线PM，PN分别与轴交于点R，S，O为坐标原点．求证：为定值．

2021级高二上学期期中校际联合考试

数学参考答案  2022．11

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的．

1-4  CBAA 5-8  ABCB

1．C  解析：因为，

所以，即的共轭复数的虚部为．

2．B  解析：两个圆的半径为1和3，两个圆心距是，，所以两圆相交．

3．A  解析：因为，，三向量共面，所以，即，整理得，解得．

4．A  解析：，故选A．

5．A  解析：将点分别代入直线可得和，所以过点和点的直线方程是．

6．B  解析：如图所示：

以鼻尖所在位置为原点，中庭下边界为轴，垂直中庭下边界为轴，建立平面直角坐标系，

则，，直线，整理得．

原点到直线距离为．

7．C  解析：如图，作于，于，连接OB，OC，

作于，于，连接OB，OC，则，

则，，设AB与所成角为，则，

由图得，

8．B  解析：，

令，则，该方程表示以为圆心，以1为半径的半圆，

依题意表示该半圆上的点到直线的距离，

表示该半圆上的点到直线的距离，

则表示半圆上的点到直线和的距离之和，设为，设半圆上点，，则到与的距离之和

，

因为，所以，所以，所以，

所以，

所以的最小值为4．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．

9．ABC 10．BD 11．BD 12．ACD

9．ABC  解析：依据共轭复数的定义，故A选项正确；共轭复数，故B选项命题正确；

；C选项命题正确；，，故D选项错误．

10．BD  解析：由题意可得椭圆的长轴长，短轴长，

所以，所以可得离心率，

所以BD正确，AC不正确，

11．BD  解析：是顶点在下底面的射影，AO是四面体的高，OB是下底面的外接圆半径，

则，，，对于A，由勾股定理可得，故A错误；

对于B，∵，∴，

∴，∴，故B正确；

对于C，，故C错误；

对于D，，故D正确．

12．ACD  解析：以点为坐标原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系（如图所示），

则，，，，，，，，

设，即点，其中．

对于A：假设存在点，使得平面，因为，，，

则，解得，

故当点为线段的中点时，平面，即选项A正确；

对于B：假设存在点，使得直线AM与直线所成的角为60°，，，

因为，即，所以不存在点，使得直线AM与直线所成的角为60°，即选项B错误；

对于C：假设存在点，使得三棱锥的体积为，

，且点到平面的距离为，

则，解得，

所以当点为线段的靠近的四等分点时，三棱锥的体积为，即选项C正确；

对于D：，，

设平面的法向量为，

则，取，可得，

易知平面的一个法向量为，则，，，，

因为，，

则，

因为、，且余弦函数在上单调递减，

则，即不存在点，使得，即选项D正确．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．  解析：因为，复数，在复平面内对应的点关于轴对称，所以，因此

14．

15．  解析：正四棱台以为原点，AB为轴，AD为轴，过点作垂直于平面ABCD的直线为轴建立如图空间直角坐标系：

设正四棱台的高为，则，，，其中，

所以，，

所以，

令，显然是开口向上的二次函数，

当时取得最小值，所以，解得．

16．  解析：∵直线AB过原点，所以A，B关于原点对称，

即，，

又∵，，∴四边形为矩形，∴

则，易得

在中，，

∵，∴，∵，∴，

∵在第一象限，∴，∴，∴．

令，则有，∴，

∴，，即．

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．解析：（1）根据题意，

设复数，则为实数，即，解得，所以．

又∵，∴，得，所以．

（2）对应的点在第四象限，

所以所以解得．

所以实数的取值范围是．

18．解析：（1）联立，解得，可知交点

设与直线平行的直线方程为

把交点代入可得，∴，．

∴所求的直线方程为：．

（2）设与直线垂直的直线方程为，

∵到的距离为，解得或，

∴直线的方程为：或

19．解析：（1）由题意知：，，，平面，平面，

∴平面AOB，

又，所以，，所以，

设点到平面PAB的距离为，

由得，解得；

（2）以为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，

由题意知，则，

所以，，．

设平面PAB的法向量为，则，取，则，

可得平面PAB的一个法向量为，

所以．

20．解析：（1）圆可化为

∵，∴圆心到直线的距离为，

又∵圆心到直线的距离为，∴，

∴或

（2）由题意，∵，∴，∴点不在圆上．

①当切线的斜率存在时，设切线方程为即．

由圆心到切线的距离等于半径，得，解得，

所以所求切线的方程为．

②当切线的斜率不存在时，切线方程为．

综上，所求切线的方程为或．

21．解析：（1）在中，由余弦定理得：，

∴，∴，又平面平面ABC，

平面平面，平面ABC，

∴平面BCDE，又平面，∴

∵，，，平面，∴平面

（2）作于点，

∵平面平面ABC，平面平面，平面BCDE，

∴平面，即为直线CE与平面ABC所成的角，∴，

又，∴为等腰直角三角形，∴为BC中点，

过作，交AB于，则为AB中点，∴，

则EF，BF，FG两两互相垂直，

则以为坐标原点，，，为x，y，z轴可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，

∴，

∵平面，∴是平面ABC的一个法向量；

设平面ABE的法向量，

则，令，解得：，，，

∴

由图形可知，二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为．

22．解析：（1）由题意知解之得，，

故椭圆方程为；

（2）直线，由已知，，

设直线AQ的斜率为，

则AQ的方程为，得，由

得，即，

所以，所以，

将代入，得，

即，所以直线BQ的方程为，

所以，，

当且仅当时等号成立．此时线段GH的最小值是．

（3）设，，，

则直线MP的方程为，

令，得，同理，故，

又点与点在椭圆上，故，，

得，

所以为定值．