2022-2023学年福建省福州市福清市八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省福州市福清市八年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列四个图案中是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 下列各组线段，能组成三角形的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

3. 如果一个三角形三个内角度数的比为：：，那么这个三角形是(    )

A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形

4. 等腰三角形的一个内角是，则这个三角形的底角的大小是(    )

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

5. 如图，小明的三角板损坏了一角，如果他想画一个与该三角板完全重合的三角形，那么他画图的依据是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定≌的是(    )

A.
B.
C.
D.

7. 如图，在中，垂直平分，平分，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 过多边形一个顶点有条对角线，则这个多边形是(    )

A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形

9. 如图，在平面直角坐标系中，以为圆心任意长为半径，在轴负半轴，轴的正半轴上分别截取，再分别以为圆心大于长为半径作弧，两弧相交于，若的坐标为，则下列关系正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在一块含角的三角板的顶点处作，垂足为，在的右侧作使，连接，的延长线交于设，，则下列式子成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 一个承重架的结构如图所示，如果，那么______度．
     
12. 点关于轴对称点的坐标是______．
13. 一个等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为______．
14. 如图，将沿直线折叠，使点与点重合，已知，，则的周长为______．
     
15. 如图，在中，，，且，点、分别是、边上的动点，则的最小值为______．
16. 如图，在中，，，为边上的点，且，连接，过作，并截取，连接交于，则下列结论：
    ；为的中点；；；其中正确的是______请将正确的答案序号填入横线上

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    一个多边形的内角和比它的外角和的倍少，求这个多边形的边数．
18. 本小题分
    如图，在中，，，求的度数．

19. 本小题分
    如图，点，，，在同一直线上，，，求证：．
     
20. 本小题分
    利用三角形全等判定定理我们可以证明“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”这一几何命题．请你补充完成以下的证明过程．
    已知：如图，______，点在上，，，垂足分别为，．
    求证：______．
    证明：

21. 本小题分
    如图，在网格中每个小正方形的边长都为，直线与网格线重合，的顶点都在格点上，边与竖直的网格线交于点．
    请在网格中画出关于直线对称的；
    的面积是______；
    的长度是______．

22. 本小题分
    在中，，，点在上，且，以为边向右作等边，过作，垂足为．
    求的度数；
    当时，求的长度．

23. 本小题分
    在中，是的平分线，过作，在上截取，过作，垂足为．
    补全图形；尺规作图，并在图中标出相应字母，保留作图痕迹，不写作法．
    求证：；
    连接，求证：，，三点共线．

24. 本小题分
    已知，如图，在中，，，点、分别为、边上的点，连接，，使，在上截取，连接并延长交于．
    求证：；
    如图，过作，垂足为，并延长交于，求证：；
    在的条件下，试探究、、三条线段之间的数量关系，并说明理由．
     
25. 本小题分
    如图，平面直角坐标系中，，为的中点，是轴上的动点，连接，过点作，并截取，是的中点，连接，，且在第四象限．
    如图，当点与重合时，求点的坐标；
    如图，当点在轴上运动时，的度数是否会发生变化；若不变，请求出的度数；若改变，请说明理由；
    当最短时，求线段的长．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故选项错误；
B、，故正确；
C、，故错误；
D、，故错误．
故选：．
根据三角形的三边关系定理即可进行判断．
本题考查了三角形的三边关系，验证三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边．只要验证两条较短的边的和大于最长的边即可．
 

3.【答案】 

【解析】解：设三角形的三角的度数是，，，
则，
解得，
，即这个三角形有一个角是，
这个三角形是直角三角形．
故选：．
设三角形的三角的度数是，，，得出方程，求出方程的解即可．
本题考查了三角形内角和定理的运用，解题的关键是学会设未知数列方程解决问题，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：当的角是底角时，三角形的底角就是；当的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是度．
故选：．
等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角是，则这个角可能是底角也可能是顶角．要分两种情况讨论．
本题考查了等腰三角形的性质；全面思考，分类讨论是正确解答本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由图形可知该三角形的两角及其夹边是确定的，
可利用画一个和该三角形全等的三角形，
故选：．
由图形可知该三角形可确定两角及其夹角，则可由确定出全等，则可求得答案．
本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即、、、和．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
要判定≌，已知，是公共边，具备了两组边对应相等，故添加、、后可分别根据、、能判定≌，而添加后则不能．
【解答】
解：添加，根据，能判定≌，故A选项不符合题意；
B.添加，根据，能判定≌，故B选项不符合题意；
C.添加，根据，能判定≌，故C选项不符合题意；
D.添加时，不能判定≌，故D选项符合题意；
故选D．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等定理的应用．
由垂直平分，根据线段垂直平分线的性质，可得，又由平分，易得，又由，即可求得的度数．
【解答】
解：垂直平分，
，
，
平分，
，
，
，
，
．
故选A．  

8.【答案】 

【解析】解：多边形从一个顶点出发可引出条对角线，
，
解得．
故选：．
根据从边形的一个顶点可以作对角线的条数为，求出边数即可得解．
本题考查了多边形的对角线的公式，牢记公式是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由作法得平分，
点到轴和轴的距离相等，
的坐标为，
，
即．
故选：．
利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到点到轴和轴的距离相等，再利用第二象限点的坐标特征得到，从而可对各选项进行判断．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质、坐标与图形性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：是含的三角板，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
由等腰三角形的性质得到根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，由等腰三角形的性质得到，由三角形内角和定理和三角形的外角定理得到，代入即可得到结论．
本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，通过三角形外角的性质证得是解决问题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，
．
故答案为：．
根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答．
本题主要利用三角形的外角性质求解．
 

12.【答案】 

【解析】解：已知的坐标为，
根据平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特点：横坐标相反数，纵坐标不变，
可得：点关于轴的对称点的坐标是，
故答案为：．
本题比较容易，考查平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】
解：若为腰长，为底边长，
由于，则三角形不存在；
若为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为．
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了翻折变换的性质，根据题意得出是解题关键．利用翻折变换的性质得出，进而利用得出即可．
【解答】
解：将沿直线折叠后，使得点与点重合，
，
，，
的周长．
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】解：作，过作于点，连接．
则，，
，
即的最小值为．
，，
，
故答案为：．
作，过作于点，连接则，，所以即的最小值为．
本题考查了等腰三角形的性质以及轴对称里面的最短路线问题，解题的关键是找出点、的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点到直线垂线段最短找出点的位置是关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，故正确；
如图，过点作于，

，，，
≌，
，，，
，
又，，
≌，
，，，
点是的中点，故正确；
，
，故正确；
，，
，
，
，
，
，
，故错误，
故答案为：．
由余角的性质可得，故正确；由“”可证≌，可得，由“”可证≌，可得，故正确；由角的数量关系可得，故正确；由全等三角形的性质可得，可得，故错误，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

17.【答案】解：设这个多边形的边数是，
依题意得，
，
．
这个多边形的边数是． 

【解析】多边形的外角和是度，根据多边形的内角和比它的外角和的倍少，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数．
本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是，与边数无关．
 

18.【答案】解：在中，，，
，
又，
． 

【解析】由题意得，在中，，，根据等腰三角形的性质可以求出，再根据三角形内角与外角的关系即可求出内角．
本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理及内角与外角的关系．利用三角形的内角求角的度数是一种常用的方法，要熟练掌握．
 

19.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌
． 

【解析】根据平行线的性质得出，再根据证出≌，从而得出．
本题考查了全等三角形的判定与性质，用到的知识点是平行线的性质，全等三角形的判定和性质，关键是根据平行线的性质证出．
 

20.【答案】平分   

【解析】已知：如图，平分，点在上，，，垂足分别为，．
求证：．
证明：，，
，
在和中，
，
≌，
．
根据垂直的定义可得，然后利用全等三角形的判定和性质即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直的定义，正确的识别图形是解题的关键．
 

21.【答案】  

【解析】解：如图，为所作；

的面积；
故答案为：；
如图，为等腰三角形，垂直平分，
平分，
点到和的距离相等，
：：，
，，
：：：
，
，
．
故答案为：．
利用网格特点和轴对称的性质画出、、关于直线的对称点即可；
用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积；
如图，先判断平分，根据角平分线的性质得到点到和的距离相等，则：：：，所以，然后利用面积法求出的长．
本题考查了作图轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点．
 

22.【答案】解：，，
，
是等边三角形，
，
，
，，
；
，，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，，，
，
． 

【解析】由等腰三角形的性质可求解，再根据等边三角形的性质可求解，即可求得的度数，再利用三角形外角的性质可求解；
结合等边三角形的性质，可利用证明≌可求得，再利用含角的直角三角形的性质可求得，进而可求解．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质等知识的综合运用，证明≌是解题的关键．
 

23.【答案】解：图形如图所示；

证明：延长交于点．
，
，
平分，
，
，
，
；
证明：由可知，，
，
，
，重合，
，，三点共线． 

【解析】根据要求作出图形；
延长交于点证明，利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可；
证明，重合，可得结论．
本题考查作图复杂作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

24.【答案】证明：，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
；
证明：，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
解：，
理由如下：如图，延长交的延长线于，
，
，
，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
． 

【解析】根据平角的定义、三角形内角和定理得到，证明，根据平行线的性质证明结论；
证明≌，根据全等三角形的性质证明结论；
延长交的延长线于，先证明，再证明≌，得到，进而得出结论．
本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握三角形确定的判定定理是解题的关键．
 

25.【答案】解：连接，

，，
是等腰直角三角形，
是的中点，
，，
，
点是的中点，
，，
，
；
的度数不会发生变化．
过点作交轴于点，连接，

，
，，为的中点，
，，
，
，，
，
≌，
，
；
由得，，

点在的边上运动，
当时，最短，此时，
同可证得≌，
． 

【解析】连接，证出，则，，求出，可得出答案；
过点作交轴于点，连接，证明≌，由全等三角形的性质得出，由等腰直角三角形的性质可得出答案；
当时，最短，此时，同可证得≌，由等腰直角三角形的性质可得出答案．
本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．