2022-2023学年天津市河北区第三学片九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年天津市河北区第三学片九年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列图案中，不是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 二次函数得顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 把二次函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 已知的半径是，点到直线的距离为，则直线与的位置关系是(    )

A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 无法判断

6. 一元二次方程的根的情况是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根

7. 如图，已知是的直径，是弦，若，则(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，在中，，将绕着点顺时针旋转后，得到，且点在上，则的度数为(    )
    

A.  B.  C.  D.

9. 已知，，是抛物线的点，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知抛物线是常数，经过点，有下列结论：
    ；
    当时，随的增大而增大；
    关于的方程有两个不相等的实数根．
    其中，正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11. 二次函数的图象开口向下，则______．
12. 二次函数的对称轴是直线______．
13. 已知一个直角三角形的两条边长分别为和，则这个直角三角形的内切圆的半径为______．
14. 如图，四边形内接于，若，则等于______

15. 蔬菜基地圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知，半径，则高度为______

16. 如图，，分别与相切于，两点，与相交于点，，，则的长为______．

17. 如图，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，过点作的垂线，垂足为点，与交于点若，，则的长为______．

18. 如图，在中，，，，的半径为，点是上的一动点，过点作的一条切线，为切点，则的最小值为______．

三、解答题（本大题共6小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    解方程：．
20. 本小题分
    如图，已知抛物线经过，两点．
    求抛物线的解析式和顶点坐标；
    当时，直接写出的取值范围．

21. 本小题分
    某商品现在的售价为每件元，每天可卖出件，市场调查反映；如果调整价格，每降价元，每天可多卖出件，请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少？设每件商品降价元，每天的销售额为元．
    分析：根据问题中的数量关系，用含的式子填表：

由以上分析，用含的式子表示，并求出问题的解．

22. 本小题分
    在中，弦与直径相交于点，．
    如图，若，求和的大小；
    如图，若，过点作的切线，与的延长线相交于点，求的大小．
     
23. 本小题分
    在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点逆时针旋转，得点，旋转后的对应点为，，记旋转角为．
    
    Ⅰ如图，若，求的长；
    Ⅱ如图若，求点的坐标；
    Ⅲ若为边上的一动点，在上取一点，将绕点逆时针旋转一周，求的取值范围直接写出结果即可．
24. 本小题分
    如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点的坐标为．
    求抛物线的解析式与直线的解析式；
    若点是抛物线上的点且在直线上方，连接、，求当面积最大时点的坐标及该面积的最大值；
    若点是轴上的点，且，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据概念，知
A、、既是轴对称图形，也是中心对称图形；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的概念求解．
掌握中心对称图形的概念．
中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：点关于原点对称的点的坐标为：．
故选：．
利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是，进而得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握关于原点对称点的性质是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：二次函数解析式为：，
顶点坐标，
故选：．
根据二次函数解析式的顶点式，即可直接求得．
本题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，顶点式，其顶点坐标是．
 

4.【答案】 

【解析】解：把二次函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位后得到一个新图象是，
故选：．
根据函数图象“左加右减，上加下减”可得答案．
本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
 

5.【答案】 

【解析】解：的半径为，圆心到直线的距离为，
，
即，
直线与的位置关系是相交．
故选：．
根据圆的半径和圆心到直线的距离的大小，相交：；相切：；相离：，即可选出答案．
本题主要考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系的判断方法是解此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，，
，
所以原方程没有实数根．
故选：．
把，，代入进行计算，根据计算结果判断方程根的情况．
本题考查了一元二次方程为常数的根的判别式当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 

7.【答案】 

【解析】解：是的直径，
，
，
．
故选：．
根据圆周角定理得到，，然后利用直角三角形两个锐角互余计算的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查旋转的性质、三角形内角和、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据旋转的性质，可以得到，然后根据，即可得到旋转角的度数，然后三角形内角和，即可得到的度数．
【解答】
解：将绕着点顺时针旋转后，得到，，

，，，
，
，
，
，
，，
，
即的度数为，
故选C．  

9.【答案】 

【解析】解：抛物线的开口向上，对称轴是直线，
当时，随的增大而增大，
关于对称轴直线的对称点是，
，
，
故选：．
先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线经过点，
，
，
，即，本小题结论正确；
，，
，
对称轴，
当时，随的增大而减小，本小题结论错误；
，
，
对于方程，，
方程有两个不相等的实数根，本小题结论正确；
故选：．
根据抛物线经过点、结合题意判断；根据抛物线的对称性判断；根据一元二次方程根的判别式判断．
本题考查的是二次函数图象与系数的关系、一元二次方程根的判别式、抛物线与轴的交点，熟记二次函数的对称轴、增减性以及一元二次方程根的判别式是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象的开口向下，
，且，
解得：．
故答案为：．
直接利用二次函数的定义以及其性质得出的值．
此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的定义，正确掌握二次函数的定义是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：二次函数，
该函数的对称轴是直线，
故答案为：．
将二次函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的对称轴．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

13.【答案】或 

【解析】解：若直角三角形的两条边长和分别为直角边时，
则斜边，
则此直角三角形的内切圆半径．
为斜边时，则直角三角形的另一直角边为：，
则此直角三角形的内切圆半径．
故答案为：或．
先用勾股定理出第三边的长，再利用直角三角形的内切圆半径等于两直角边的和与斜边之差的一半，计算出内切圆的半径．
此题考查三角形的内切圆问题，熟悉勾股定理，记住直角三角形的内切圆半径等于两直角边的和与斜边之差的一半这个结论是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形内接于，，
，
故答案为：．
根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角解答即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了垂径定理的应用与勾股定理．此题比较简单，注意数形结合思想的应用．
根据垂径定理和勾股定理求解．
【解答】
解：垂直平分，
．
，
．
故答案为：．  

16.【答案】 

【解析】解：连接．

，切于点，，
，，
，
，
故答案为：
根据切线长定理易证，则是等边三角形，是的平分线，利用三角函数逐个求解即可．
本题考查了切线长定理以及三角函数，正确利用三角函数确定三角形的边的关系是关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图所示，连接，
由旋转可得，≌，
，，
又，
为的中点，
垂直平分，
，
设，则，，
，
，
中，，
即，
解得，
的长为，
故答案为：．
连接，根据垂直平分，即可得出，设，则，，再根据中，，即可得到的长．
本题考查了正方形的性质，勾股定理以及旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
 

18.【答案】 

【解析】解：连接、，过点作于，
是的切线，
，
，
在中，，，，
则，
，
，
解得：，
当点运动到点时，最小，的最小值为，
故答案为：．
连接、，过点作于，根据切线的性质得到，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，计算即可．
本题考查的是切线的性质、垂线段最短、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
 

19.【答案】解：方程整理得：，
分解因式得：，
所以或，
解得：，． 

【解析】方程变形后，利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

20.【答案】解：抛物线经过、两点，
，
解得，
抛物线解析式为，
抛物线顶点坐标为．
，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
时，随增大而减小，
抛物线经过，
当时，． 

【解析】通过待定系数法求函数解析式，将二次函数解析式化为顶点式求顶点坐标．
由抛物线开口方向及对称轴求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

21.【答案】解：，；

根据题意，每天的销售额，
配方得，
，
当时，取得最大值．
答：当每件商品降价元时，可使每天的销售额最大，最大销售额为元． 

【解析】现在的售价为每件元，则每件商品降价元，每件售价为元；多买件，即每天售量为件；
每天的销售额每件售价每天售量，即，配方后得到，根据二次函数的性质得到当时，取得最大值．
本题考查了二次函数的应用：根据题意构建二次函数关系式，再利用配方法配成顶点式，然后根据二次函数的性质讨论函数的最大值或最小值．
 

22.【答案】解：，，
，
由圆周角定理得：，
，
由圆周角定理得：，
是的直径，
，
；

连接，

，
的度数是，
是的直径，
的度数是，
，过圆心，
，
的度数是，
，
切于，
，
即，
． 

【解析】求出，根据圆周角定理得出，，再求出答案即可；
根据垂径定理得出，求出的度数，求出圆心角的度数，根据切线的性质得出，再求出即可．
本题考查了切线的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键．
 

23.【答案】解：点，点，
，，
，
把绕点逆时针旋转，得，
，，
；
如图，若，则，过点作于点，

则，
，
把绕点逆时针旋转，得，
，
，
，
；
如图中，过点作，

则，
观察图形可知，的最小值，
的最大值．
的取值范围是． 

【解析】由勾股定理求出的长，由旋转的性质得出，，由勾股定理可得出答案；
过点作于点，由旋转的性质及直角三角形的性质可求出，的长，则可得出答案；
画出图形，得出的最大值和最小值，则可得出答案．
本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：抛物线与轴交于、两点，
设抛物线的解析式为，
在抛物线上，
，
解得，
抛物线的解析式为，
直线经过、，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为；

如图中，过点作轴交于点设，则．

，
的值最大值时，的面积最大，
，
，
时，的值最大，最大值为，
此时的面积的最大值为，

如图中，将线段绕点逆时针旋转得到，则，

设交轴于点，则，
，
直线的解析式为，
，
作点关于的对称点，
则直线的解析式为，
设交轴于点，则，
，
综上所述，满足条件的点的坐标为或． 

【解析】由题意设抛物线的解析式为，再利用待定系数法解决问题即可．
如图中，过点作轴交于点设，则因为，所以的值最大值时，的面积最大，求出的最大值即可．
如图中，将线段绕点逆时针旋转得到，则，设交轴于点，则，作点关于的对称点，设交轴于点，则，分别求出直线，直线的解析式即可解决问题．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题，学会构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题．