2021-2022学年江西省抚州市崇仁县部分学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年江西省抚州市崇仁县部分学校八年级（下）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列图形中，不是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列式子属于不等式的个数有(    )
    

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

3. 下列不等式变形正确的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

4. 已知等腰的两边长分别为和，则等腰的周长为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

5. 如图，直线经过点和点，直线过点，则不等式的解集为(    )
    

A.  B.  C.  D.

6. 如图，已知：，点、、在射线上，点、、在射线上，、、均为等边三角形，若，则的边长为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7. 不等式的解集为______．
8. 分解因式：______．
9. 不等式组的正整数解为______．
10. 如图，把绕点逆时针旋转得到，若，则为______．

11. 若的三边长，，满足，则是______．
12. 如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，先以的速度沿运动，然后以的速度沿运动．若设点运动的时间是秒，那么当______时，的面积等于．

三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13. 本小题分
    解下列不等式：．
14. 本小题分
    已知：如图，，，与相交于，且求证：点在的平分线上．

15. 本小题分
    解下列不等式组并把它的解集表示在数轴上．
16. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为：，，．
    将经过平移得到，若点的对应点的坐标为，则点，的对应点，的坐标分别为______；
    在如图的坐标系中画出，并画出与关于原点成中心对称的．

17. 本小题分
    如图，中，，边上的垂直平分线交于，交于，分为两部分．若：：，求的度数．

18. 本小题分
    如图，在中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点恰好是的中点．
    指出旋转中心，并求出旋转的度数；
    求出的度数和的长．

19. 本小题分
    如图，在中，，，求的长．

20. 本小题分
    如图，在中，，为上一点，，连接．
    若，求证：为等腰三角形；
    若为直角三角形，求的度数．

21. 本小题分
    为了响应“足球进学校”的号召，某学校准备到体育用品批发市场购买型号与型号两种足球，其中型号足球的批发价是每个元，型号足球的批发价是每个元，该校需购买，两种型号足球共个．
    若该校购买，两种型号足球共用了元，则分别购买两种型号足球多少个？
    若该校计划购进型号足球的数量不多于型号足球数量的倍，请求出最省钱的购买方案，并说明理由．
22. 本小题分
    如图，直线过点，点，直线：与轴交于点，两直线，相交于点．
    求直线的解析式以及直线和直线的交点的坐标；
    求的面积；
    直接写出当时的的取值范围．

23. 本小题分
    如图，中，，，，是从点出发的动点，沿着一一一在三边上运动一周，速度为每秒设点的运动时间为秒．
    当秒时，求出的长．
    是否存在的值，使得时间为秒时的面积，与时间为秒时的面积相等？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
    当______时，为等腰三角形直接给出答案．
     
24. 本小题分
    已知：在中，，，点为边上一动点，以为边，在的右侧作等边三角形．
    当平分时，如图，四边形是______形；
    过作于，如图，求证：为的中点；
    若，
    当为的中点时，过点作于，如图，求的长；
    点从点运动到点，则点所经过路径长为______直接写出结果
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，图象沿对称轴折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，是不等式，
故选：．
根据用不等号连接的式子是不等式，可得不等式的个数．
本题考查了不等式的定义，用不等号连接的式子是不等式．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，
两边减去得：，故本选项不符合题意；
B、，
当时，，故本选项不符合题意；
C、，，
，故本选项符合题意；
D、，
当时，；
当时，；故本选项不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键，注意：不等式的性质：不等式的两边都加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质：不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

4.【答案】 

【解析】解：当为底时，三角形的三边为，、可以构成三角形，周长为；
当为底时，三角形的三边为，、可以构成三角形，周长为．
故选：．
因为等腰三角形的两边分别为和，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一次函数与不等式组的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点交点、原点等，做到数形结合．
根据不等式体现的几何意义得到：直线上，点在点与点之间的横坐标的范围．
【解答】
解：不等式体现的几何意义就是直线上位于直线上方，轴下方的那部分点，
显然，这些点在点与点之间．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，
，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，

，
，
同理，
，
以此类推：．
故选：．
点拨：根据等边三角形的性质以及外角性质得出 ，进而得出，以此类推得出答案．
此题主要考查了等边三角形的性质以及外角的性质，根据已知得出，，，进而发现规律是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故答案为：．
按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：原式
，
故答案为：．
先提公因式，再利用十字相乘法进行因式分解即可．
本题考查提公因式法和十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法是正确解答的关键．
 

9.【答案】，，， 

【解析】解：，
解得：，
解得，
则不等式的解集是．
则正整数解是：，，，．
故答案是：，，，．
首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，然后确定解集中的正整数解即可．
此题考查的是一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
 

10.【答案】 

【解析】解：绕点逆时针旋转得到，
，，
．
故答案为：．
先根据旋转的性质得，，然后根据三角形外角性质求的度数．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等
 

11.【答案】等腰直角三角形 

【解析】解：，
，，
即或，
是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形．
根据非负数的性质，等腰三角形和直角三角形判定方法解答即可．
本题考查了非负数的性质，等腰三角形的判定和勾股定理的逆定理．了解等腰三角形和直角三角形判定标准，是解题的关键．
 

12.【答案】或或 

【解析】解：如图，当点在上，
中，，，，点是的中点，
，．
的面积等于，
，
；
如图，当点在线段上，
是的中点，
．
，
，
，
如图，当在线段上，
同理：，
，
，
综上所述，的值为或或；
故答案为：或或．
分为种情况讨论：当点在上时：当点在上时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可．
本题考查了直角三角形的性质的运用及动点运动问题，三角形的面积公式的运用，解答时灵活运用三角形的面积公式求解是关键．
 

13.【答案】解：，
，
，
，
，
． 

【解析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
 

14.【答案】证明：，，
，
在和中，
，
≌，
，
又，，
在的平分线上． 

【解析】首先根据已知条件易证≌，则，再由角平分线性质的逆定理可得在的平分线上．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线性质的逆定理，首先证明≌得出是本题的关键．
 

15.【答案】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以不等式组的解集是，
在数轴上表示为：
． 

【解析】先求出两个不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键．
 

16.【答案】，，
如图所示：，即为所求．
 

【解析】

【分析】
本题主要考查作图旋转变换和平移变换，熟练掌握旋转变换、平移变换的定义是解题的关键．
根据平移的性质画出图形，进而得出坐标即可；
画出，根据关于原点成中心对称的性质画出图形即可．
【解答】
解：
点的对应点的坐标为，
则向左平移个单位，向上平移个单位得到，
于是，的坐标分别为，，
故答案为：，，
见答案．  

17.【答案】解：设为，则为，
，
，
是边的垂直平分线，
，
，
则，
解得：，
． 

【解析】根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，根据题意列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 

18.【答案】解：逆时针旋转一定角度后与重合，为公共顶点，
旋转中心是点，
根据旋转的性质可知，
旋转角度是；
答：旋转中心是点，旋转角度是；
由可知，
，
由旋转的性质可知，，
又为中点，
，
．
答：的度数为，的长为． 

【解析】根据旋转的性质即可得旋转中心和旋转的度数；
由即得，根据为中点，可得．
本题考查三角形的旋转，解题的关键是掌握旋转的性质．
 

19.【答案】解：过点作于点，

，
又，
，
，
在中，，
在中，，
，
． 

【解析】过点作于点，由直角三角形中度角所对的边是斜边的一半求得的长，在中由勾股定理求得的长，再根据勾股定理求得的长即可求得的长．
本题考查了勾股定理，明确在直角三角形中，度角所对的边长度是斜边长度的一半是解题的关键．
 

20.【答案】证明：，，
，
，
，
，，
，
，
即为等腰三角形；
解：有两种情况：当时，
，
；
当时，；
即的度数是或． 

【解析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定的应用，能根据定理求出各个角的度数是解此题的关键，用了分类讨论思想．
根据等腰三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，求出，根据等腰三角形的判定得出即可；
有两种情况：当时，当时，求出即可．
 

21.【答案】解：设购买型号足球个，型号足球个，
依题意，得：，
解得：．
答：该校型号足球个，型号足球个．
设购买型号足球个，总费用为元，则购买型号足球个，
依题意，得：．
购进型号足球的数量不多于型号足球数量的倍，
，
．
，
随的增大而减小，
当时，取得最小值，
最省钱的购买方案为：购买型号足球个、型号足球个． 

【解析】设购买型号足球个，型号足球个，根据总价单价数量结合元购买，两种型号足球共个，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买型号足球个，总费用为元，则购买型号足球个，根据总价单价数量可得出关于的函数关系式，由购进型号足球的数量不多于型号足球数量的倍可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 

22.【答案】解：设的函数关系式为，
根据题意得，
解得，
直线的解析式为：；
由解得，
所以；

当，，
解得：，
则，
；

由图象可知，当时的的取值范围是． 

【解析】利用待定系数法即可求得直线的解析式，然后联立和的解析式，组成二元一次方程组，再解方程组即可得到点坐标；
首先计算出点坐标，进行计算即可；
根据图象即可求得．
此题主要考查了两直线相交和平行问题，关键是掌握求两函数交点，就是联立两个函数解析式，解出、的值，即可得到交点坐标．
 

23.【答案】或或或 

【解析】解：当秒时，点在上，
，，，
，
；
如图，过点作于点，

，
，
秒时的面积，
时间为秒时，点不可能在上，
，
，
解得．
如图，若在上时，，

；
如图，当点在上时，，过点作于点，

由可知，
，
，
，
；
如图，当点在上时，，

．
，
；
如图，当在上，且时，

，
，，
，
，
是的中点，即，
，
；
综上所述，当或或或时，为等腰三角形．
故答案为：或或或．
由勾股定理求出，则可求出的长；
用的代数式分别表示时间为秒时的面积，与时间为秒时的面积，由题意列出方程求出的值即可；
当为等腰三角形时，分点在边和边上讨论，由等腰三角形的性质列出方程可得出答案．
此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理，三角形的面积，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线，解本题的关键是正确进行分类．
 

24.【答案】菱   

【解析】解：在中，，，
，
平分，
，
为等边三角形，
，
，
，，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形为菱形，
故答案为：菱；
证明：在和中，
，
≌
，
在中，，，
，
，
为的中点；
解：如图，作于，连接，
在中，，，
，
，
为的中点，
，
，
，，
，
，，
，
；
如图，当点与点重合时，点在处，点是中点；
当点与点重合时，点在处，其中是等边三角形，
由得：，
点始终落在线段的垂直平分线上，
垂直平分，
点的运动路径是从的中点，沿着垂直平分线运动到处，
在和中，
，
≌，
，
故答案为：．
根据平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，证明，根据菱形的判定定理证明结论；
证明≌，根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质得到，证明结论；
作于，连接，根据勾股定理求出，根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理计算，得到答案；
根据线段垂直平分线的判定定理得到垂直平分，证明≌，得到．
本题考查的是等边三角形的性质、菱形的判定、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．