2022-2023学年福建省厦门市思明区华侨中学九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省厦门市思明区华侨中学九年级（上）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 手机移动支付给生活带来便捷．如图是张老师年月日微信账单的收支明细正数表示收入，负数表示支出，单位：元，张老师当天微信收支的最终结果是(    )

A. 收入元 B. 支出元 C. 支出元 D. 收入元

2. 抛物线左平移个单位再向下平移个单位后所得到的新函数的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 关于一元二次方程根的情况描述正确的是(    )

A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 不能确定

4. 如图，已知四边形内接于，，则(    )

A.
B.
C.
D.

5. 方程的解相当于函数的(    )

A. 函数值为时自变量的值 B. 函数值为时自变量的值
C. 自变量为时的函数值 D. 自变量为时的函数值

6. 如图，在平行四边形中，，，以顶点为圆心，为半径作圆，则边所在直线与的位置关系是(    )

A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 以上三种都有可能

7. 图是一个地铁站入口的双翼闸机．如图，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为(    )
    

A.  B.
C.   D.

8. 如图，有两全等的正三角形，，且，分别为，的重心．固定点，将逆时针旋转，使得落在上，如图所示．求图与图中，两个三角形重迭区域的面积比为何(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

9. 若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知二次函数，当时，；当时，则与满足的关系式是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 计算：______．
12. 抛物线的对称轴是直线，则的值为______．
13. 如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点落在线段的延长线上，则大小为______．

14. 如图，已知是的直径，，、是圆周上的点，且，则的长为______．

15. 公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程与时间的函数关系式为，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行______才能停下来．
16. 已知正方形边长为，、分别是直线、上的动点，且满足，连接、，交点为点，则的最小值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共15.0分）

17. 解方程：．
    计算：．
    化简求值：，其中．

四、解答题（本大题共8小题，共71.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18. 本小题分
    如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，在所给平面直角坐标系中解答下列问题：
    将绕点逆时针旋转，画出旋转后的；
    请直接写出经过、、三点的的圆心的坐标______．

19. 本小题分
    如图，点，在上，，，图中与相等的线段是哪条？请说明理由．

20. 本小题分
    福州开通地铁后，小林乘地铁上下班，地铁出入口有上，下行自动扶梯和步行楼梯．一段时间后，他发现：乘坐自动扶梯，人距离下层地面平台的高度单位：与下行时间单位：之间的一次函数关系如图；走步行楼梯，人距离下层地面平台的高度单位：与下行时间单位：的关系如下表．
     

求关于的函数解析式；
请帮助小林判断，从上层平台到下层地面平台，是乘坐扶梯还是走步行楼梯节约时间，并说明理由．

21. 本小题分
    已知、是一元二次方程的两个实数根．
    求的取值范围；
    是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
22. 本小题分
    在正方形中，点是直线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接．
    如图，若点在线段的延长线上，过点作交于点，交对角线于点，连接
    请根据题意补全图形不需要用尺规作图；
    若，求的度数；
    求证：
    若点在射线上，直接写出、、三条线段的数量关系______．
     
23. 本小题分
    疫情期间，学校按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测．某校统计了学生早晨到校情况，发现学生到校的累计人数单位：人随时间单位：分钟的变化情况如图所示，当时，可看作是的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为；当时，累计人数保持不变．
    求与之间的函数表达式；
    如果学生一进校就开始测量体温，校门口有个体温检测棚，每个检测点每分钟可检测人．校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？全部学生都完成体温检测需要多少时间？

24. 本小题分
    已知内接于，，点是上一点．
    
    如图，若，为的直径，，连接，求的度数和的长度；
    如图，连接，是延长线上一点．
    尺规作图，过作的一条切线，切点为在右侧不写作法，保留作图痕迹
    连接，若，请你猜想与的数量关系，并说明理由．
25. 本小题分
    如图，在直角坐标系中，抛物线经过点的坐标为和原点，将线段绕原点顺时针旋转，得到线段．
    求抛物线解析式，判断点是否在抛物线上；
    连接，作点关于的对称点，求四边形的面积；
    点是轴上一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点，将的面积记为，若，求的取值范围．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：元，
故选：．
根据有理数的加法法则求和即可．
本题考查了正数和负数，掌握正数和负数表示相反意义的量是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：抛物线的顶点坐标为，
向左平移个单位，向下平移个单位，
新抛物线的顶点坐标是．
故选：．
先确定出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标减，向下平移，纵坐标减解答即可．
本题考查了二次函数图象与几何变换，利用点的平移规律左减右加，上加下减解答是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
故方程有两个不相等的实数根．
故选：．
把，，代入判别式进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根．
 

4.【答案】 

【解析】解：四边形为圆内接四边形，
，
，
，
由圆周角定理得：，
故选：．
根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理计算即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
则变为，
方程的解相当于函数的函数值为时自变量的值，
故选：．
由知：为，即可求解．
本题考查的是抛物线和轴的交点，利用函数思想解决方程问题是本题解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，作交的延长线于．
，
，
，
直线与相交，
故选：．
如图，作交的延长线于求出的值即可判断．
本题考查直线与圆的位置关系，平行四边形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了解直角三角形的应用，含角的直角三角形的性质特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
过作于，过作于，则可得和的长，依据端点与之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．
【解答】
解：如图所示，过作于，过作于，则
在中，，，
，
同理可得，，
又点与之间的距离为，
通过闸机的物体的最大宽度为，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：设三角形的边长是，则高长是
图中，阴影部分是一个内角是的菱形，
另一条对角线长是：
则阴影部分的面积是：；
图中，
是一个角是的直角三角形．
则阴影部分的面积．
两个三角形重迭区域的面积比为：：：．
故选：．
设三角形的边长是，则中阴影部分是一个内角是的菱形，图是一个角是的直角三角形，分别求得两个图形的面积，即可求解．
本题主要考查了三角形的重心的性质，解直角三角形，以及菱形、直角三角形面积的计算，正确计算两个图形的面积是解决本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：把代入方程得，
所以，
所以为方程一根．
故选：．
利用一元二次方程根的定义得到，两边除以得到，从而可判断为方程一根．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

10.【答案】 

【解析】解：当时，
，解得：；
当时，，
，解得：；
，
故选：．
把和代入，由都成立，列不等式组求的与的关系；把和代入，由都成立，列不等式组求的与的关系即可解答．
本题考查了抛物线与轴的交点和二次函数的性质，根据自变量的取值范围以及函数值与的关系列出不等式组是解决问题的关键
 

11.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
首先计算零指数幂，然后计算加法，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

12.【答案】 

【解析】解：，对称轴是直线，
，即，解得．
故答案为．
已知抛物线的对称轴，利用对称轴公式可求的值．
本题主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法，公式法：的顶点坐标为，对称轴是．
 

13.【答案】 

【解析】解：绕点逆时针旋转，得到，
，，
由三角形内角和可得．
故答案为：．
由旋转可知，且，则有三角形内角和可以计算出．
本题是几何图形旋转问题，考查了图形旋转的性质、三角形内角和以及等腰三角形的性质．
 

14.【答案】 

【解析】解：是直径，
，
，
，
故答案为．
根据直角三角形度角的性质即可解决问题．
本题考查圆周角定理，直角三角形度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

15.【答案】 

【解析】解：依题意：该函数关系式化简为，
当时，汽车停下来，滑行了．
故答案为．
由题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路程，即的最大值，把抛物线解析式化成顶点式后，即可解答．
本题考查二次函数的实际应用．
 

16.【答案】 

【解析】解：在正方形中，，，

在和中，
，
≌，
，
，
，
，
点在以为直径的圆上，
由图形可知：当、、在同一直线上时，有最小值，如图所示：
正方形，，
，
中，，
，
故答案为：．
先证明≌，即可得到，所以点在以为直径的圆上，由图形可知：当、、在同一直线上时，有最小值，然后根据勾股定理即可解决问题．
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解决本题的关键是得到≌．
 

17.【答案】解：，
，
，即，
，
，；
原式
；
原式

，
当时，
原式． 

【解析】利用配方法求解即可；
根据立方根、负整数指数幂以及绝对值的性质进行计算即可；
直接将括号里面通分运算，进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．
本题考查了配方法解一元二次方程，实数的运算，分式的化简求值，解题的关键：熟练掌握配方法；掌握运算性质；正确化简分式．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图所示，即为所求，


，，，
，
是直角三角形，
则经过、、三点的的圆心即为的中点，
、，
，
故答案为：
分别作出三个顶点绕着原点逆时针旋转得到的对应点，再首尾顺次连接即可得；
先利用勾股定理逆定理证明三角形是直角三角形，据此知经过、、三点的的圆心即为的中点，从而得出答案．
本题主要考查作图旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义和性质及圆周角定理的推论．
 

19.【答案】解：，理由如下：
，
，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】证明≌，可得．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明三角形全等．
 

20.【答案】解：设关于的函数解析式为．
的图象经过点，，
，
解方程组得：，
关于的函数解析式为．
走步行楼梯所花时间少．
理由如下：由表可知，走步行楼梯， 时在下层地面平台．
将代入，得，
解得，
即乘坐扶梯在 时到达下层地面平台，
，
走步行楼梯所花时间少． 

【解析】根据函数图象中的数据可以得到关于的函数解析式；
分别令和求出相应的的值，然后比较大小即可解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
 

21.【答案】解：一元二次方程的两个实数根，
且，
解得：且；

、是一元二次方程的两个实数根，
由根与系数的关系得：，，
由得：，
，
解得：且，
所以存在实数，使成立，此时． 

【解析】根据已知得出且，求出即可；
根据根与系数的关系得出，，代入得求出即可．
本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于的不等式和方程是解此题的关键．
 

22.【答案】或 

【解析】解：补全图形如图所示：
解：四边形是正方形，
，
由旋转的性质得：，，
是等腰直角三角形，
，
；
证明：如图所示：
线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
四边形是正方形，
，，
于，
，
，
，
即，
在和中，，
≌，
，，
，
，
，
，
，
．
解：分两种情况：
当点在线段上时：，理由如下：
在上截取，连接．
则是等腰直角三角形，
，，
，
，
由旋转的性质得：，，
，
又，
，
在和中，，
≌，
，
，
；
当点在线段的延长线上时，，理由如下：
在上截取，连接，如图所示：
则是等腰直角三角形，．
四边形是正方形，
，，，
，，
由旋转的性质得：，，
，
在和中，，
≌，
，
，
；
故答案为：或．
据题意补全图形即可；
由正方形和旋转的性质证出，即可得出答案；
证明≌即可；
当点在线段上时，在上截取则是等腰直角三角形，证明≌，得出，即可得出结论；
当点在线段的延长线上时，在上截取则是等腰直角三角形，证明≌，得出，即可得出结论．
本题是四边形综合题目，考查了旋转变换、正方形的性质、全等三角形的判断和性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解：当时，
顶点坐标为，
设，
将代入，得：，
解得，
，
当时，
，
与之间的函数表达式为；
设第分钟时的排队等待人数为人，由题意可得，
时，
，
，
当时，的最大值是；
当时，，
，
随的增大而减小，
，
排队人数最多是人；
要全部学生都完成体温检测，根据题意得：
，
解得：，
要全部学生都完成体温检测需要分钟． 

【解析】当时由顶点坐标为，可设，再将代入，求得的值，则可得与之间的函数解析式；当时，根据等候的人数不变得出函数解析式；
设第分钟时的排队等待人数为人，根据及中所得的与之间的函数解析式，可得关于的二次函数和一次函数，按照二次函数和一次函数的性质可得答案．
本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：为的直径，
，
，
为等腰直角三角形，
，
；
尺规作图如下：

为的切线；
理由：
连接，，，如图，

在和中，
，
≌，
，．
，，
，，
．
，
，
，
，
．
．
为圆的切线，
，
，
． 

【解析】利用圆周角定及其推论得到为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质解答即可得出结论；
分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，过两弧的交点作直线得到的垂直平分线，再以为直径画弧交于点，作直线，则为所作的圆的切线；
连接，，，利用全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质得到；利用平行线的性质和角的和差得到，再利用等腰三角形的性质，切线的性质定理和三角形的内角和定理解答即可得出结论．
本题主要考查了等腰三角形的性质，代入直角三角形的判定与性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
 

25.【答案】解：过点作轴于点，将线段绕原点顺时针旋转，
则，则，，故点；

抛物线过原点，则，
将点的坐标代入抛物线表达式并解得：，
故抛物线的表达式为：；
当时，，故点在抛物线上；

如图，作点关于的对称点，
则四边形为菱形，
四边形的面积；

由点、的坐标得直线的表达式为：，
点，则点、点，
的面积，
，则，

解得：或或． 

【解析】过点作轴于点，将线段绕原点顺时针旋转，则，则，，故点，即可求解；
四边形为菱形，四边形的面积；
的面积，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、解不等式、面积的计算等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．