人教版 九上 一元二次方程专题训练（三）原卷+解析

答案解析

1．，

【分析】根据解一元二次方程的方法，首先移项得，然后两边都除以3，得，最后对方程两边同时开方即可求解．

【详解】解： ，

得，

所以，．

【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．

2．A

【分析】根据配方法的步骤逐项分析即可.

【详解】∵x2+px+q=0，

∴x2+px=-q，

∴x2+px+=-q+，

∴.

故选A.

【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

3．k≥1

【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，

∴，解得k≥1，

∴k的取值范围是k≥1．

故答案为k≥1．

4．（1），．（2），．（3），

【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程求解即可；

（2）首先把等式右边的移到左边，然后根据因式分解法解一元二次方程求解即可；

（3）首先把等式右边的4移到左边，然后根据因式分解法解一元二次方程求解即可．

【详解】解：（1）因式分解，得．

于是有或，

∴，．

（2）原方程整理，得：

，

，

或，

∴．

（3）原方程整理，得．

因式分解，得．

于是有或．

∴，．

【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．

5．25

【详解】试题分析：由m与n为已知方程的解，利用根与系数的关系求出m+n=4，mn=﹣3，将所求式子利用完全平方公式变形后，即﹣mn+=﹣3mn=16+9=25．

故答案为25．

考点：根与系数的关系．

6．A

【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可.

【详解】解：∵，

∴，

∴方程有两个不相等的实数根；

故选择：A.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式判断根的情况.

7．B

【分析】先移项，再通过直接开平方法进行解方程即可．

【详解】解：，

移项得：，

开平方得：，，

故选B．

【点睛】本题主要考查用开平方法解一元二次方程，解题关键在于熟练掌握开平方方法．

8．C

【分析】根据配方法的步骤先把常数项移到等号的右边，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方的形式，从而得出答案．

【详解】∵

∴x2＋6x＝1，

∴x2＋6x＋9＝1＋9，

∴（x＋3）2＝10；

故选：C．

【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键；配方法的一般步骤是：

（1）把常数项移到等号的右边；

（2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

9．A

【分析】本题可利用根与系数的关系，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值，代入公式求解即可．

【详解】解：由可知，其二次项系数，一次项系数，

∴，

故选A．

【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，求解时可利用常规思路求解一元二次方程，也可以通过根与系数的关系提升解题效率．

10．C

【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围．

【详解】解：由题可得：,

解得：且；

故选：C．

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求．

11．B

【分析】根据M、N两方程根的判别式相同，即可得出A正确；用方程M−方程N，可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出x的值，从而得出B错误；将x＝7代入方程M中，方程两边同时除以49即可得出是方程N的一个根，C正确；根据“和符号相同”，即可得出D正确，进而即可得到答案．

【详解】解：A、在方程中△＝b2−4ac，在方程中△＝b2−4ac，

∴如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根，正确；

B、M−N得：（a−c）x2＋c−a＝0，即（a−c）x2＝a−c，

∵a−c≠0，

∴x2＝1，解得：x＝±1，错误．

C、∵7是方程M的一个根，

∴49a＋7b＋c＝0，

∴a＋b＋c＝0，

∴是方程N的一个根，正确；

D、∵和符号相同，

∴如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，正确；

故选B．

【点睛】本题主要考查一元二次方程的综合，熟练掌握根的判别式以及根与系数的关系，是解题的关键．

12．1或-2

【分析】根据题意列出方程，解方程求出x的值，即可得出答案．

【详解】解：(x-1)(x-5)=(3x-1)(x-1)，

 整理得：x2+x-2=0，

 (x-1)(x+2)=0，

 解得：x=1或-2．

故答案为：1或-2．

【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

13．31

【分析】根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式变形即可求解．

【详解】根据根与系数的关系得，，

所以．

故答案为：31．

【点睛】此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知完全平方公式的变形运用．

14．（1），；（2），．

【分析】（1）先移项，再把未知数的系数化为“”，再利用直接开平方的方法解方程即可；

（2）先计算 再利用公式法解方程即可.

【详解】解：（1）

解得：，．

（2）解：∵，，

∴．

∴

∴，．

【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法与公式法解一元二次方程是解题的关键.

15．m＞且m≠1．

【分析】由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于m的不等式，可求得m的取值范围．

【详解】解：∵关于x的一元二次方程（m−1）x2＋2mx＋m−3＝0有两个不相等的实数根，

∴△＞0且m−1≠0，即且m≠1，

解得m＞且m≠1，

∴当方程有两个不相等的实数根时m的取值范围为：m＞且m≠1．

【点睛】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．

16．D

【分析】由二次函数对于x的任何值都恒为负值，抛物线开口向下，，二次函数与x轴没有交点，方程没有实数根，即可．

【详解】解：∵二次函数对于x的任何值都恒为负值，

∴抛物线开口向下，，

二次函数与x轴没有交点，

方程没有实数根，

∴，

∴．

故选择D．

【点睛】本题考查抛物线的函数值符号问题，掌握抛物线开口方向，以及抛物线与x轴的交点情况是解题关键．

17．C

【分析】由于m、n是一元二次方程x2＋3x−9＝0的两个根，根据根与系数的关系可得m＋n=−3，mn=−9，而m是方程的一个根，可得m2＋3m−9=0，即m2＋3m=9，那么m2＋4m＋n=m2＋3m＋m＋n，再把m2＋3m、m＋n的值整体代入计算即可．

【详解】解：∵m、n是一元二次方程x2＋3x−9＝0的两个根，

∴m＋n＝−3，mn＝−9，

∵m是x2＋3x−9＝0的一个根，

∴m2＋3m−9＝0，

∴m2＋3m＝9，

∴m2＋4m＋n＝m2＋3m＋m＋n＝9＋（m＋n）＝9−3＝6．

故选：C．

【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）两根x1、x2之间的关系：x1＋x2=−，x1•x2=．

18．B

【分析】分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案.

【详解】解： 小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，

所以此时方程为： 即：

小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，

所以此时方程为： 即：

从而正确的方程是：

故选：

【点睛】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根构建方程的方法是解题的关键.

19．A

【详解】x2-4x+4-4-6=(x-2)2-10＝0,即（x-2）2=10;

故选A．

20．D

【分析】已知方程利用完全平方公式配方后，确定出a与b的值即可．

【详解】解：方程x2-6x=1，

配方得：x2-6x+9=1+9，即（x-3）2=10，

则a，b的值分别为-3，10．

故选：D．

【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

21．D

【分析】先讨论原方程是一元一次方程，还是一元二次方程，然后再根据a的取值范围解答即可．

【详解】解：若a≠0，则此方程是一元二次方程，由于方程有实数根，

∴△=（2a-1）2-4a2=-4a+1≥0，

∴a≠0且a≤，即A错误；

若a=0，则原方程为-x+1=0，所以方程有实数根为x=1，则B错误，C错误．

综上所述，当a≤时方程有实数根.

故选D．

【点睛】本题考查了一元一次方程和一元二次方程，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．

22．

【分析】根据判别式的意义得到 ，然后解关于m的方程即可．

【详解】解：∵ 一元二次方程有两个相等的实数根，

 ∴，

 ∴m=．

故答案为：

【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．

23．1.65

【分析】先根据表中所给的数，再与6相减，然后所得的值进行比较，差值越小的越接近方程的解．

【详解】解：6-5.9696=0.0304， 6.0225-6=0.0225，

 ∵0.0304＞0.0225，

 ∴6.0225比5.9696更逼近6，

 ∴ 方程x2+2x=6的一个解大约是1.65，

故答案为：1.65．

【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是找出表中与6最接近的数，算出差额，再比较，相差越小的数越比较接近．

24．（1）x1=3+，x2=3﹣；（2）x1=2，x2=．

【分析】（1）利用配方法求解即可；

（2）利用提取公因式法求解即可.

【详解】解：（1）x2﹣6x+3=0，

x2﹣6x=﹣3，

x2﹣6x+9=﹣3+9，

（x﹣3）2=6，

x﹣3=±，

解得：x1=3+，x2=3﹣；

（2）3x（x﹣2）=2（x﹣2），

3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）=0，

（x﹣2）（3x﹣2）=0，

x﹣2=0，3x﹣2=0，

解得：x1=2，x2=．

【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解此题的关键在于熟练掌握各种解方程的方法.

25．①公式法，二，x﹣3可能为0；②x1＝3，x2＝﹣1．

【分析】①根据公式法因式分解、等式的基本性质判断即可；

②利用公式法求解即可．

【详解】解：①第一步方程左边分解因式的方法是公式法，解方程的过程从第二步开始出现错误，错误的原因是：x﹣3可能为0，

故答案为：公式法，二，x﹣3可能为0；

②∵x2﹣9＝2（x﹣3），

∴（x+3）（x﹣3）＝2（x﹣3），

∴（x+3）（x﹣3）﹣2（x﹣3）＝0，

则（x﹣3）（x+1）＝0，

∴x﹣3＝0或x+1＝0，

解得x1＝3，x2＝﹣1，

故答案为：x1＝3，x2＝﹣1．

【点睛】考核知识点：因式分解，解一元二次方程．运用平方差公式进行因式分解是解题的关键．

26．，，

【分析】设两根为x1和x2，根据根与系数的关系得x1+x2，x1·x2，由|x2-x1|=4两边平方，得(x1+x2)2-4x1·x2=16，代入解得m，此时方程为x2+4x=0，解出两根 .

【详解】解：x2+4x-2m=0

设两根为x1和x2，则△=16+8m>0，

且x1+x2=-4，x1·x2=-2m

由于|x2-x1|=4

两边平方得x12-2x1·x2+x22=16

即(x1+x2)2-4x1·x2=16

所以16+8m=16

解得：m=0

此时方程为x2+4x=0，

解得 x1=0 ， x2=−4 .

【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是灵活利用一元二次方程根与系数的关系，以及完全平方公式进行变形，求出两根．

27．见解析

【分析】分类讨论：当m=0时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当m≠0时，计算判别式得到△=（m-2）2≥0，则方程有两个实数解，于是可判断不论m为何值，方程总有实数根．

【详解】证明：情况一：当时，．得，有实数根．

情况二：当时，此方程为一元二次方程．

∵．

∴不论m为何值时，，即，

∴方程总有实数根．

综上所述，不论m为何值时，方程总有实数根．

【点睛】本题考查了一元一次方程和一元二次方程的定义，以及根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根，会分类讨论是解答此题的关键．