北师大版 九上 一元二次方程专题训练（一）原卷+解析

答案解析

一、选择题

1．【解答】解：关于x的一元二次方程x2﹣6x+4＝0的二次项系数和一次项系数分别1和﹣6，

故选：D．

2．【解答】解：x2﹣x＝0，

x（x﹣1）＝0，

x＝0或x﹣1＝0，

所以x1＝0，x2＝1．

故选：C．

3．【解答】解：A．原方程变形为一般式为x2+x＝0，

∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×0＝1＞0，

∴方程x2＝﹣x有两个不相等的实数根，选项A不符合题意；

B．∵Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，

∴x2+1＝0有实数根，选项B不符合题意；

C．∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×4×1＝﹣12＜0，

∴方程4x2﹣2x+1＝0没有实数根，选项C不符合题意；

D．∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣2）＝m2+8＞0，

∴方程x2﹣mx﹣2＝0（其中m是实数）有两个不相等的实数根，选项D符合题意．

故选：D．

4．【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：C．

5．【解答】解：∵方程（a﹣2）x2﹣2x+1＝0是关于x的一元二次方程，

∴a﹣2≠0，即a≠2．

故选：A．

6．【解答】解：依题意得：6000（1﹣x）2＝5000．

故选：C．

7．【解答】解：根据题意，得，

故选：B．

8．【解答】解：如图，设矩形ABCD的边AB为x米，则宽BC为（40﹣2x）米，

根据题意得：S＝（40﹣2x）x＝﹣2x2+40x，

A、当a＝16，S＝196时，﹣2x2+40x＝196，即x2﹣20x+98＝0．

解得x1＝10，x2＝10，均不符合题意，

故本选项说法错误，符合题意；

B、当a＝20，S＝198时，﹣2x2+40x＝198，即x2﹣20x+99＝0．

解得x1＝9（不符合题意舍去），x2＝11，

所以有一种围法，故本选项说法正确，不符合题意；

C、当a＝24，S＝198时，﹣2x2+40x＝198，即x2﹣20x+99＝0．

解得x1＝11，x2＝9，均符合题意，

所以有两种围法，故本选项说法正确，不符合题意；

D、当a＝24，S＝200时，﹣2x2+40x＝200，即x2﹣20x+100＝0．

解得x1＝x2＝10，符合题意，

所以有一种围法，故本选项说法正确，不符合题意；

故选：A．

9．【解答】解：当k＝0时，﹣4x+4＝0，

解得：x＝1；

当k≠0时，

∵关于x的方程kx2﹣4x+4＝0有实数根，

∴（﹣4）2﹣4×4k≥0，

解得：k≤1且k≠0；

综上所述，k的取值范围是k≤1．

故选：D．

10．【解答】解：∵x2﹣2mx+m2﹣4＝0，

∴（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）＝0，

∴x﹣m+2＝0或x﹣m﹣2＝0，

∵x1＞x2，

∴x1＝m+2，x2＝m﹣2，

∵x1＝2x2+3，

∴m+2＝2（m﹣2）+3，

解得m＝3．

故选：C．

11．【解答】解：x2+6x﹣3＝0，

x2+6x＝3，

x2+6x+9＝3+9，

（x+3）2＝12，

故选：C．

12．【解答】解：∵a，b是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，

∴a+b＝﹣（2m+3），ab＝m2，

∵，即1，

解得：m1＝﹣1，m2＝3．

∵原方程有两个不相等的实数根，

∴Δ＝（2m+3）2﹣4m2＝12m+9＞0，

∴m，

∴m＝3．

故选：C．

二、填空题

13．【解答】解：3x（x﹣2）＝﹣4，

去括号，得3x2﹣6x＝﹣4，

移项得3x2﹣6x+4＝0，

原方程的一般形式是3x2﹣6x+4＝0．

故答案为：3x2﹣6x+4＝0．

14．【解答】解：由题意，得：

m﹣3≠0，

解得m≠3．

故答案为：m≠3．

15．【解答】解：设平均每次降价的百分率是x，根据题意列方程得，

12000（1﹣x）2＝9800，

故答案为：12000（1﹣x）2＝9800．

16．【解答】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1，（a，m，b均为常数，a≠0），

∴方程a（x+m+2）2+b＝0变形为a[（x+2）+m]2+b＝0，即此方程中x+2＝2或x+2＝﹣1，

解得x＝0或x＝﹣3．

故答案为：x3＝0，x4＝﹣3．

17．【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个实数根，

∴x1+x2＝4，x1•x2＝﹣1，

则原式4．

故答案为：﹣4．

18．【解答】解：设每个支干长出小分支的个数是x，

依题意得：1+x+x2＝241，

整理得：x2+x﹣240＝0，

解得：x1＝15，x2＝﹣16（不符合题意，舍去），

∴每个支干长出小分支的个数是15．

故答案为：15．

三、解答题

19．【解答】解：（1）x2+2x﹣4＝0，

x2+2x＝4，

x2+2x+1＝4+1，

（x+1）2＝5，

x+1＝±，

x11，x21；

（2）3x（2x+1）＝4x+2，

3x（2x+1）＝2（2x+1），

3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0，

（3x﹣2）（2x+1）＝0，

3x﹣2＝0或2x+1＝0，

x1，x2．

20．【解答】解：（1）∵x2﹣5x+6＝0．

∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，

∴x﹣2＝0或x﹣3＝0，

∴x1＝2，x2＝3；

（2）∵x2+3x＝0，

∴x（x+3）＝0，

∴x＝0或x+3＝0，

所以x1＝0，x2＝﹣3；

（3）∵3x2+x＝3x+1，

∴x（3x+1）﹣（3x+1）＝0，

（3x+1）（x﹣1）＝0，

3x+1＝0或x﹣1＝0，

x1，x2＝1．

21．【解答】解：设月平均降价的百分率为x，

根据题意得：39（1﹣x）2＝31.59，

解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去），

答：月平均降价率为10%．

22．【解答】解：（1）∵x2﹣6x+12＝（x﹣3）2+3，

∴当x＝3时，代数式x2﹣6x+12有最小值3；

故答案为：3，3；

（2）∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，

∴当x＝1时，y有最大值﹣2．

即y有最大值﹣2，此时x＝1；

（3）∵﹣x2+3x+y+5＝0，

∴y+x＝x2﹣2x﹣5＝（x﹣1）2﹣6，

∵（x﹣1）2≥0，

∴（x﹣1）2﹣6≥﹣6，

∴当x＝1时，y+x的最小值为﹣6．

故答案为：x2﹣2x﹣5，﹣6．

23．【解答】解：（1）∵x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，

∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）＝0．

∴（x﹣y）2+（y+3）2＝0．

∴x﹣y＝0，y+3＝0，

∴x＝﹣3，y＝﹣3．

∴xy＝（﹣3）×（﹣3）＝9，

即xy的值是9；

（2）∵a2+b2﹣8a﹣10b+41＝0，

∴（a2﹣8a+16）+（b2﹣10b+25）＝0，

∴（a﹣4）2+（b﹣5）2＝0，

∴a﹣4＝0，b﹣5＝0，

∴a＝4，b＝5．

∵5﹣4＜c＜5+4，c≥5，

∴5≤c＜9，

又∵c为奇数，

∴c＝5或c＝7．

∴4+5+5＝14或4+5+7＝16．

故△ABC的周长为14或16．

24．【解答】解：（1）由题意得：Δ＞0，

即：（2m﹣1）2﹣4m（m﹣4）＞0，

4m2﹣4m+1﹣4m2+16m＞0

得：，

∵该方程为一元二次方程，

∴m≠0，

∴当，且m≠0时，方程有两个不相等的实数根．

（2）当m＝2时，方程为2x2+3x﹣2＝0Δ＝9+4×2×2＝25＞0，

∴，

∴x1＝﹣2，．

25．【解答】解：（1）﹣y2﹣6y+2＝﹣（y+3）2+11，

∵﹣（y+3）2≤0，

∴﹣（y+3）2+11≤11．

∴﹣y2﹣6y+2的最大值是11．

（2）﹣2a2+8a﹣3＝﹣2（a2﹣4a+4﹣4）﹣3＝﹣2（a﹣2）2+5，

∵﹣2（a﹣2）2≤0，

∴﹣2（a﹣2）2+5≤5．

∴﹣2a2+8a﹣3的最大值是5．

（3）∵x2﹣3x+y﹣10＝0，

∴y﹣x＝﹣x2+2x+10＝﹣（x﹣1）2+11，

∵﹣（x﹣1）2≤0，

∴﹣（x﹣1）2+11≤11．

∴y﹣x的最大值是11．

26．【解答】解：（1）①A；

②证明：

，

∵m＞0，b＞a＞0，

∴b﹣a＞0，

∴0，

∴；

（2）①A；

②证明：

，

∵0，

∴，

∴．

27．【解答】解：x2﹣6x+8＝0，

则（x﹣2）（x﹣4）＝0，

∴x﹣2＝0或x﹣4＝0，

解得：x1＝2，x2＝4，

∵a，b是等腰三角形ABC的底和腰长，a≠b，

∴三角形的三边长分别为4，4，2，

∴△ABC的周长＝4+4+2＝10．

28．【解答】解：（1）10020

＝100+40

＝140（个），

∴台灯单价每降低4元，平均每周的销售量为140个．

故答案为：140．

（2）设这种台灯的售价应降价x元，则每个的销售利润为（60﹣x﹣40）元，平均每周的销售量为（10020）个，

依题意得：（60﹣x﹣40）（10020）＝2240，

整理得：x2﹣10x+24＝0，

解得：x1＝4，x2＝6，

答：这种台灯的售价应降价4元或6元．

（3）∵尽可能让利于顾客，赢得市场，

∴x＝4舍去，

∴每个台灯应降价6元，售价为60﹣6＝54（元），折扣率为100%＝90%．

答：该店应按原售价的九折出售．

29．【解答】解：（1）∵方程x2﹣x+m﹣1＝0有两个实数根，

∴Δ＞0，即（﹣1）2﹣4（m﹣1）≥0，

解得m．

故m的取值范围是m；

（2）把x＝1代入方程可得1﹣1+m﹣1＝0，解得m＝1，

∴方程为x2﹣x＝0，

解得x1＝1，x2＝0，

即方程的另一个实数根为0．

30．【解答】解：（1）设与墙垂直的一面为x米，另一面则为（26﹣2x+2）米

根据题意得：x（28﹣2x）＝80

整理得：x2﹣14x+40＝0

解得x＝4或x＝10，

当x＝4时，28﹣2x＝20＞12（舍去）

当x＝10时，28﹣2x＝8＜12

∴长为10米，宽为8米．

（2）设宽为a米，根据题意得：（8﹣2a）（10﹣a）＝54，

a2﹣14a+13＝0，

解得：a＝13＞10（舍去），a＝1，

答：小路的宽为1米．

31．【解答】解：

（1）∵原一元二次方程有两个不相等的实数根，

∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣2k+3）＞0，得：4k﹣11＞0，

∴；

（2）由一元二次方程的求根公式得：x1，x2，

∵，

∴，

∴x1＞0，

又∵x1•x2＝k2﹣2k+3＝（k﹣1）2+2＞0，

∴x2＞0，

当时，有，

即，

∴4k﹣11＝3，

∴，

∴存在实数，使得．

32．【解答】（1）证明：∵Δ＝（k+2）2﹣8k＝k2+4k+4﹣8k＝（k﹣2）2≥0，

∴无论k取何值，方程总有实数根；

  （2）解：当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个实数根为4，

∴16﹣4（k+2）+2k＝0，解得k＝4，

∴方程为x2﹣6x+8＝0，解得x＝4或x＝2，

∴m、n的值分别为2、4，

∴△ABC的周长为10；

当边长为4的边为底时，则m＝n，即方程有两个相等的实数根，

∴Δ＝0，即（k﹣2）2＝0，解得k＝2，

∴方程为x2﹣4x+4＝0，解得m＝n＝2，

此时2+2＝4，不符合三角形的三边关系，舍去；

综上可知△ABC的周长为10．

33．【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，

解得m；

（2）存在．

根据题意得α+β＝﹣（2m﹣1），αβ＝m2，

∵α2+β2﹣αβ＝6，

∴（α+β）2﹣3αβ＝6，

即（2m﹣1）2﹣3m2＝6，

整理得m2﹣4m﹣5＝0，解得m1＝5，m2＝﹣1，

∵m；

∴m的值为﹣1．