图形的相似 （试题）2023年中考数学专题复习 人教版

这是一份图形的相似 （试题）2023年中考数学专题复习 人教版，共25页。试卷主要包含了已知＝，那么的值是，点C为线段AB的黄金分割点，若3x＝2y等内容，欢迎下载使用。
2023年中考数学专题复习--图形的相似
一．选择题（共10小题）
1．如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，AC＝3，则的值为（　　）

A． B． C． D．
2．已知线段a、b、c、d，如果ab＝cd，那么下列式子中一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．已知＝，那么的值是（　　）
A． B．﹣ C．5 D．﹣5
4．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把△ABO缩小为原来的，得到△CDO，则点A（﹣4，2）的对应点C的坐标是（　　）
A．（﹣2，1） B．（﹣2，1）或（2，﹣1）
C．（﹣8，4） D．（﹣8，4）或（8，﹣4）
5．如图，AD∥BE∥FC，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，如果AB＝4，AC＝9，那么的值是（　　）

A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，D在BC边上，∠ADE＝∠B，CD＝4，若△ABD的面积等于9，则△CDE的面积为（　　）

A．4 B．2 C．3 D．6
7．点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），且AB＝2，则AC的长为（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．3﹣
8．若3x＝2y（y≠0），则下列比例式成立的是（　　）
A． B． C． D．
9．线段a，b，c，d是成比例线段，已知a＝2，b＝，则d＝（　　）
A． B． C． D．
10．若△ABC∽△A'B'C'，且相似比为2：3，则△ABC与△A'B'C'的面积比为（　　）
A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4
二．填空题（共5小题）
11．已知＝，那么＝　 　．
12．如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点，且BE⊥AC于点F，连接DF，则下列结论：①；②；③AD＝DF；④AD2＝BE•BF．其中正确的是 　 　（把正确结论的序号都填上）．

13．非零实数x，y满足2x＝3y，则＝　 　．
14．已知，则＝　 　．
15．如图，AB∥CD∥EF，直线l1、l2分别与这三条平行线交于点A、C、E和点B、D、F．已知AC＝3，CE＝5，DF＝4，则BD的长为 　 　．

三．解答题（共6小题）
16．如图，已知正方形ABCD，点在边BC上，连接AE．
（1）利用尺规在AE上求作一点F，使得△ABE∽△DFA．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若AE＝4，AB＝3，求DF的长．

17．如图，点F是平行四边形ABCD的边AD上的一点，直线CF交线段BA的延长线于点E．
（1）求证：△AEF∽△DCF；
（2）若AF：DF＝1：2，AE＝，S△AEF＝．
①求AB的长；
②求△EBC的面积．

18．如图，在矩形ABCD中，E为CD边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F处．
（1）求证：△ABF∽△FCE；
（2）若，求EC的长．

19．如图1，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝8，BC＝10．点D是边BC上一动点，过点D作DE⊥BC交射线CA于点E，把△CDE沿DE翻折，点C落在点G处，AD和GE相交于点F．
（1）若点G和点B重合，请在图2中画出相应的图形，并求CE的长．
（2）在（1）的条件下，求证：△AFB∽△EFD．
（3）是否存在这样的点D，使得△ABG是等腰三角形？若存在，请直接写出这时∠CAD的正切值；若不存在，请说明理由．

20．定义：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P'所在的直线都经过同一点O，且有OP'＝k⋅OP（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心，
（1）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6cm．点P在AB上，点Q在AC上，以PQ为边作菱形PQMN，点N在线段PB上且∠APQ＝120°，在△ABC及其内部，以点A为位似中心，请画出菱形PQMN的位似菱形P'Q'M'N'，且使菱形P'Q'M'N'的面积最大（不要求尺规作图）；
（2）求（1）中作出的菱形P'Q'M'N'的面积；
（3）如图，四边形ABCD、AEFG是全等的两个菱形，CD、EF相交于点M，连接BG、CF．请用定义证明：△ABG与△MCF位似．


21．如图，l1∥l2∥l3，AB＝7，DE＝6，EF＝12，求AC的长．


2023年中考数学专题复习--图形的相似
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，AC＝3，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】直接利用位似图形的性质，进而得出＝，求出答案即可．
【解答】解：∵以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，
∴△BOA∽△DOC，
∴＝，
∵OA＝2，AC＝3，
∴＝．
故选：D．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出相似三角形是解题关键．
2．已知线段a、b、c、d，如果ab＝cd，那么下列式子中一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据内项之积等于外项之积即可判断．
【解答】解：∵ab＝cd，
∴＝，
故选：C．
【点评】本题考查比例线段，解题的关键是灵活运用内项之积等于外项之积解决问题，属于中考基础题．
3．已知＝，那么的值是（　　）
A． B．﹣ C．5 D．﹣5
【分析】根据已知条件得出a＝5b，再代入要求的式子进行计算，即可得出答案．
【解答】解：∵＝，
∴3a﹣3b＝2a+2b，
∴a＝5b，
∴＝＝5．
故选：C．
【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握两内项之积等于两外项之积．
4．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把△ABO缩小为原来的，得到△CDO，则点A（﹣4，2）的对应点C的坐标是（　　）
A．（﹣2，1） B．（﹣2，1）或（2，﹣1）
C．（﹣8，4） D．（﹣8，4）或（8，﹣4）
【分析】根据位似变换的性质计算，即可解答．
【解答】解：以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的得到△CDO，点A的坐标为（﹣4，2），
则点A的对应点C的坐标为（﹣4×，2×）或（4×，﹣2×），即（﹣2，1）或（2，﹣1），
故选：B．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，解题关键是在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
5．如图，AD∥BE∥FC，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，如果AB＝4，AC＝9，那么的值是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：∵AD∥BE∥FC，AB＝4，AC＝9，
∴＝＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、准对应关系是解题的关键．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，D在BC边上，∠ADE＝∠B，CD＝4，若△ABD的面积等于9，则△CDE的面积为（　　）

A．4 B．2 C．3 D．6
【分析】过点D作DM⊥AB于M，过点E作EN⊥BC于N，根据等腰三角形的性质推出∠B＝∠C，再由三角形的外角定理推出∠DAB＝∠EDC，从而得出△ABD∽△DCE，根据相似三角形的性质求出EN，即可求解．
【解答】解：过点D作DM⊥AB于M，过点E作EN⊥BC于N，

∵AB＝AC＝6，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADE＝∠B，∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△ABD∽△DCE．
∴，
∵△ABD的面积等于9，
∴AB•DM＝×6×DM＝9，
∴DM＝3，
∴，
∴EN＝2．
∴△CDE的面积为CD•EN＝×4×2＝4，
故选：A．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，利用等腰三角的性质及相似三角形的判定和性质求解是解题的关键．
7．点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），且AB＝2，则AC的长为（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．3﹣
【分析】根据黄金分割的定义可得到AC＝AB，然后把AB＝2代入计算即可．
【解答】解：根据题意得AC＝AB＝×2＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
8．若3x＝2y（y≠0），则下列比例式成立的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、由＝得，xy＝6，故本选项比例式不成立；
B、由＝得，3x＝2y，故本选项比例式成立；
C、由＝得，2x＝3y，故本选项比例式不成立；
D、由＝得，xy＝6，故本选项比例式不成立．
故选：B．
【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，熟记性质是解题的关键．
9．线段a，b，c，d是成比例线段，已知a＝2，b＝，则d＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据成比例线段的概念，可得a：b＝c：d，再根据比例的基本性质，即可求得d的值．
【解答】解：∵a：b＝c：d，
∴ad＝bc，
∵a＝2，b＝，c＝2，
∴2d＝×2，
∴d＝．
故选：D．
【点评】此题考查了成比例线段，解题时一定要严格按照顺序写出比例式，再根据比例的基本性质进行求解．
10．若△ABC∽△A'B'C'，且相似比为2：3，则△ABC与△A'B'C'的面积比为（　　）
A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4
【分析】根据相似三角形的性质：面积的比等于相似比的平方，解答即可．
【解答】解：∵△ADE∽△ABC，相似比为2：3，
∴△ADE与△ABC的面积比为（2：3）2＝4：9．
故选：C．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方．
二．填空题（共5小题）
11．已知＝，那么＝　﹣　．
【分析】根据已知条件得出＝，再把化成1﹣，然后进行计算即可．
【解答】解：∵＝，
∴＝，
∴＝1﹣＝1﹣＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】此题考查了比例的性质．题目比较简单，解题的关键是掌握比例的性质与比例变形．
12．如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点，且BE⊥AC于点F，连接DF，则下列结论：①；②；③AD＝DF；④AD2＝BE•BF．其中正确的是 　①③④　（把正确结论的序号都填上）．

【分析】根据E是CD边的中点，得到CE：AB＝1：2，根据矩形的性质得到CE∥AB，推出△CEF∽△ABF，求得＝（）2＝，故选①选项正确；根据相似三角形的性质得到＝，设CE＝a，AD＝b，则CD＝2a，于是得到＝，故②选项错误；如图，过D作DM∥BE交AC于N，交AB于M，根据平行四边形的判定定理得到四边形BMDE是平行四边形，求得BM＝DE＝DC，得到DM垂直平分AF，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝DF，故③选项正确；根据射影定理和矩形的性质得到AD2＝BE•BF．故④正确．
【解答】解：∵E是CD边的中点，
∴CE：AB＝1：2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CE∥AB，
∴△CEF∽△ABF，
∴＝（）2＝，故选①选项正确；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCF，
∵BE⊥AC，
∴∠CFB＝90°，
∴∠ADC＝∠CFB，
∴△ADC∽△CFB，
∴＝，
设CE＝a，AD＝b，则CD＝2a，
∴＝，
即b＝a，
∴＝，
∴＝，故②选项错误；
如图，过D作DM∥BE交AC于N，交AB于M，

∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM＝DE＝DC，
∴BM＝AM，
∴AN＝NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥AF，
∴DM垂直平分AF，
∴AD＝DF，故③选项正确；
∵∠BCE＝90°，BE⊥AC，
∴BC2＝BF•BE，
∵AD＝BC，
∴AD2＝BE•BF．故④正确；
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，射影定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
13．非零实数x，y满足2x＝3y，则＝　　．
【分析】根据比例的性质解决此题．
【解答】解：∵2x＝3y，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解决本题的关键．
14．已知，则＝　　．
【分析】根据比例的性质，由，得5x＝2（x+y），即3x＝2y，即可求出答案．
【解答】解：∵，
∴5x＝2（x+y），
∴3x＝2y，
∴＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，熟记两内项之积等于两外项之积是解题的关键．
15．如图，AB∥CD∥EF，直线l1、l2分别与这三条平行线交于点A、C、E和点B、D、F．已知AC＝3，CE＝5，DF＝4，则BD的长为 　　．

【分析】先根据平行线分线段成比例定理得到＝，然后利用比例性质得到BD的长．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，即＝，
解得BD＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
三．解答题（共6小题）
16．如图，已知正方形ABCD，点在边BC上，连接AE．
（1）利用尺规在AE上求作一点F，使得△ABE∽△DFA．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若AE＝4，AB＝3，求DF的长．

【分析】（1）过点D作DF⊥AE于点F，点F即为所求；
（2）利用勾股定理全等三角形的性质求解．
【解答】解：（1）如图，点F即为所求．


（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝3，
∵△ABE∽△DFA，
∴＝，
∴＝，
∴DF＝．
【点评】本题考查作图﹣相似变换，正方形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17．如图，点F是平行四边形ABCD的边AD上的一点，直线CF交线段BA的延长线于点E．
（1）求证：△AEF∽△DCF；
（2）若AF：DF＝1：2，AE＝，S△AEF＝．
①求AB的长；
②求△EBC的面积．

【分析】（1）根据平行四边形的性质，可以得到BA∥CD，然后即可得到∠E＝∠FCD，∠EAF＝∠CDF，从而可以得到结论成立；
（2）①根据相似三角形的性质和题目中的数据，平行四边形的性质，可以计算出AB的长；
②根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可以计算出△EBC的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BA∥CD，
∴∠E＝∠FCD，∠EAF＝∠CDF，
∴△AEF∽△DCF；
（2）解：①由（1）知△AEF∽△DCF，
∴，
∵AF：DF＝1：2，AE＝，
∴，
∴DC＝2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，
∴AB＝2；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△EAF∽△EBC，
∴＝（）2，
∵S△AEF＝，AB＝2，AE＝，
∴EB＝EA+AB＝3，
∴＝＝，
∴，
解得S△EBC＝6，
即△EBC的面积是6．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18．如图，在矩形ABCD中，E为CD边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F处．
（1）求证：△ABF∽△FCE；
（2）若，求EC的长．

【分析】（1）利用同角的余角相等，先说明∠BAF＝∠EFC，再利用相似三角形的判定得结论；
（2）先利用勾股定理求出BF，再利用相似三角形的性质得方程，求解即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°．
∵△ADE沿AE翻折得到△AFE，
∴∠D＝∠AFE＝90°．
∵∠BAF+∠AFB＝180°，∠AFB+∠EFC＝90°，
∴∠BAF＝∠EFC．
又∵∠B＝∠C，
∴△ABF∽△FCE．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3．
∵△ADE沿AE翻折得到△AFE，
∴AD＝AF＝6，DE＝EF．
在Rt△ABF中，
BF＝＝3．
设CE的长为x，则DE＝EF＝3﹣x．
∵△ABF∽△FCE，
∴＝．
∴CE•AF＝BF•EF，
即x×6＝3×（3﹣x）．
∴x＝，即EC＝．
【点评】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定和性质，掌握“矩形的四个角都是直角、矩形的对边相等”、“折叠前后的两个图形全等”、“两角对应相等的两个三角形相似”及“相似三角形的对应边的比相等”是解决本题的关键．
19．如图1，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝8，BC＝10．点D是边BC上一动点，过点D作DE⊥BC交射线CA于点E，把△CDE沿DE翻折，点C落在点G处，AD和GE相交于点F．
（1）若点G和点B重合，请在图2中画出相应的图形，并求CE的长．
（2）在（1）的条件下，求证：△AFB∽△EFD．
（3）是否存在这样的点D，使得△ABG是等腰三角形？若存在，请直接写出这时∠CAD的正切值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）先由勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，再证明△CDE∽△CAB，得＝，则CE＝＝；
（2）由DE垂直平分BC，得BE＝CE，则∠DEF＝∠DEC，由△CDE∽△CAB，得∠DEC＝∠ABC，由AD＝BD＝BC，得∠ABC＝∠BAF，则∠BAF＝∠DEF，而∠AFB＝∠EFD，即可证明△AFB∽△EFD；
（3）作DI⊥AC于点I，先由△DIC∽△BAC，求得ID：IC：DC＝3：4：5，再分四种情况分别求出DC的长，并且求出相应的ID和AI的长，即可由tan∠CAD＝，求出∠CAD的正切值，一是△ABG是等腰三角形，且AG＝AB＝6，作AH⊥BC于点H，由×10AH＝×6×8＝S△ABC，求得AH＝，再由勾股定理求得GH＝BH＝，则CD＝；二是△ABG是等腰三角形，且BG＝AB＝6，则CD＝×（10﹣6）＝2；三是△ABG是等腰三角形，且BG＝AG，则CG＝AG＝BG＝BC＝5，所以CD＝CG＝；四是△ABG是等腰三角形，点G在CB的延长线上，且BG＝AB＝6，DC＝×（10+6）＝8．
【解答】（1）解：∵AB＝6，AC＝8，BC＝10，
∴AB2+AC2＝BC2＝100，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，
由翻折得DG＝DC，
∵DE⊥BC，
∴∠GDE＝∠CDE＝∠BDE＝90°，
∴点G在射线CB上，
如图2，点G和点B重合，则DB＝DC＝BC＝5，
∵∠CDE＝∠CAB＝90°，∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAB，
∴＝，
∴CE＝＝＝，
∴CE的长是．
（2）证明：如图2，
∵DE垂直平分BC，
∴BE＝CE，
∴∠DEF＝∠DEC，
∵△CDE∽△CAB，
∴∠DEC＝∠ABC，
∴AD＝BD＝BC，
∴∠ABC＝∠BAF，
∴∠BAF＝∠ABC＝∠DEC＝∠DEF，
∵∠AFB＝∠EFD，
∴△AFB∽△EFD．
（3）解：存在，
作DI⊥AC于点I，则∠DIC＝∠AID＝∠BAC＝90°，
∵∠C＝∠C，
∴△DIC∽△BAC，
∴＝＝，
∴＝＝＝，＝＝＝，
∴ID：IC：DC＝3：4：5，
如图3，△ABG是等腰三角形，且AG＝AB＝6，
作AH⊥BC于点H，则∠AHB＝90°，
∵×10AH＝×6×8＝S△ABC，
∴AH＝，
∴GH＝BH＝＝，
∴DC＝CG＝×（10﹣2×）＝，
∴ID＝DC＝×＝，IC＝DC＝×＝，
∴AI＝8﹣＝，
∴tan∠CAD＝＝＝；
如图4，△ABG是等腰三角形，且BG＝AB＝6，
∴CD＝×（10﹣6）＝2，
∴ID＝×2＝，IC＝×2＝，
∴AI＝8﹣＝，
∴tan∠CAD＝＝＝；
如图5，△ABG是等腰三角形，且BG＝AG，则∠GAB＝∠B，
∵∠GAC+∠GAB＝90°，∠C+∠B＝90°，
∴∠GAC＝∠C，
∴CG＝AG＝BG＝BC＝5，
∴CD＝CG＝，
∴ID＝×＝，IC＝×＝2，
∴AI＝8﹣2＝6，
∴tan∠CAD＝＝＝；
如图6，△ABG是等腰三角形，点G在CB的延长线上，且BG＝AB＝6，
∴DC＝×（10+6）＝8，
∴ID＝×8＝，IC＝×8＝，
∴AI＝8﹣＝，
∴tan∠CAD＝＝＝3，
综上所述，∠CAD的正切值为或或或3．





【点评】此题重点考查勾股定理及其逆定理的应用、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等角的余角相等、线段的垂直平分线的性质、根据面积等式求线段的长度、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
20．定义：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P'所在的直线都经过同一点O，且有OP'＝k⋅OP（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心，
（1）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6cm．点P在AB上，点Q在AC上，以PQ为边作菱形PQMN，点N在线段PB上且∠APQ＝120°，在△ABC及其内部，以点A为位似中心，请画出菱形PQMN的位似菱形P'Q'M'N'，且使菱形P'Q'M'N'的面积最大（不要求尺规作图）；
（2）求（1）中作出的菱形P'Q'M'N'的面积；
（3）如图，四边形ABCD、AEFG是全等的两个菱形，CD、EF相交于点M，连接BG、CF．请用定义证明：△ABG与△MCF位似．


【分析】（1）根据定义画出图形即可；
（2）当M'点在BC上时，菱形P'Q'M'N'的面积最大，判定出△M'BN'是等边三角形，在Rt△CM'Q'中求出BM'的长，再求菱形的面积即可；
（3）延长GF、BC交于O点，连接AO，先求出OF＝OC，OG＝BO，连接OM，通过证明△MOF≌△MOC（SAS），得∠FOM＝∠COM，△AGO≌△ABO（SAS），得∠FOA＝∠BOA，证明出A、M、O三点共线，即GF、BC、AM的延长线交于一点O，再由平行线的性质得到＝＝，即可证明△ABG与△MCF位似．
【解答】解：（1）如图：

（2）∵四边形P'Q'M'N'在△ABC内，
∴当M'点在BC上时，菱形P'Q'M'N'的面积最大，
∵四边形PQMN是菱形，四边形P'Q'M'N'是菱形，
∴Q'M'∥AB，M'N'∥PQ，
∵∠APQ＝120°，
∴∠QPB＝∠M'N'B＝60°，
∵∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，
∴∠B＝60°，
∴△BM'N'是等边三角形，
∴M'B＝M'N'＝Q'M'，
∵AB＝6cm，
∴BC＝3cm，
∴CM'＝3﹣BM'，
在Rt△CM'Q'中，∠CQ'M'＝30°，
∴Q'M'＝2CM'，
∴BM'＝2（3﹣BM'），
解得BM'＝2，
在△BM'N'中，过点M'作M'E⊥BN'交于点E，
∵BM'＝2，∠B＝60°，
∴M'E＝，
∴菱形P'Q'M'N'的面积＝2；
（3）延长GF、BC交于O点，连接AO，
∵四边形ABCD、AEFG是全等的两个菱形，
∴AG＝AB，∠AGF＝∠ABC，
∴∠OGB＝∠OBG，
∴OG＝BO，
∵GF＝BC，
∴OF＝OC，
∴＝，
连接OM，
∵∠GFE＝∠BCD，
∴∠MFO＝∠MCO，
∵∠OFC＝∠FCO，
∴∠MCF＝∠FCM，
∴CM＝FM，
∴△MOF≌△MOC（SAS），
∴∠FOM＝∠COM，
∵AG＝AB，∠AGO＝∠ABO，GO＝BO，
∴△AGO≌△ABO（SAS），
∴∠FOA＝∠BOA，
∴MO与AO重合，
∴A、M、O三点共线，
∴GF、BC、AM的延长线交于一点O，
∴MF∥AG，
∴＝，
∵CM∥AB，
∴＝，
∴＝＝，
∴△ABG与△MCF位似．

【点评】本题考查相似的综合应用，掌握位似图形的定义，平行线的定义，菱形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质是解题的关键．
21．如图，l1∥l2∥l3，AB＝7，DE＝6，EF＝12，求AC的长．

【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，把已知数据代入比例式计算即可．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
即，
∴BC＝14，
∴AC＝AB+BC＝7+14＝21．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．