圆 （试题）2023年中考数学专题复习 人教版

这是一份圆 （试题）2023年中考数学专题复习 人教版，共29页。
2023年中考数学专题复习--圆
一．选择题（共10小题）
1．如图，点C是⊙O的优弧上一点，∠AOB＝80°，则∠ACB的度数为（　　）

A．40° B．140° C．80° D．60°
2．正方形的外接圆与内切圆的周长比为（　　）
A．：1 B．2：1 C．4：1 D．3：1
3．如图，在⊙O中，∠ABC＝50°，则∠ACO等于（　　）

A．55° B．50° C．45° D．40°
4．若⊙O的半径是3，点P在圆外，则点OP的长可能是（　　）
A． B．3 C．2 D．
5．如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝6，∠ABC＝60°，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点D，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．9﹣3π B． C． D．
6．如图，AB是O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN＝2，则△PMN周长的最小值为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
7．如图，AB是半圆O的直径，C、N为半圆上的两点，且＝，过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于M，若∠M＝40°，则∠BON的度数（　　）

A．30° B．25° C．20° D．22.5°
8．在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球在操场地上砸出一个直径为6cm、深2cm的小坑，则该铅球的直径为（　　）
A．cm B．6cm C．cm D．8cm
9．如图所示的工件槽的两个底角均为90°．尺寸如图（单位：cm），将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有A，B，E三个接触点，则该球的半径是（　　）cm

A．8 B．6 C．12 D．10
10．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标（6，a）（a＞5），半径为5，函数y＝x的图象被截得的弦AB的长为8，则a的值为（　　）

A．6 B．6+ C．3 D．6+3
二．填空题（共5小题）
11．如图，以原点O为圆心的圆过点A（4，0），圆内一个固定点B（﹣1，2），过点B作直线，交圆于M，N两点，求MN的最小值为 　 　．

12．如图，在⊙O中，点D为弧BC的中点，∠COD＝40°，则∠BAD＝　 　．

13．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为 　 　．

14．如图，△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，弧AE＝CP，则AD的最小值为 　 　．

15．如图，△ABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，若D是与点C在直线AB异侧的一个动点，且∠ADB＝45°，则CD的最大值为 　 　．

三．解答题（共6小题）
16．如图，AB为⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E，若∠C＝23°，试求∠EOB的度数．

17．[概念引入]
在一个圆中，圆心到该圆的任意一条弦的距离，叫做这条弦的弦心距．
[概念理解]
（1）如图1，在⊙O中，半径是5，弦AB＝8，则这条弦的弦心距OC长为 　 　．
（2）通过大量的做题探究；小明发现：在同一个圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的弦心距也相等．但是小明想证明时却遇到了麻烦．请结合图2帮助小明完成证明过程如图2，在⊙O中，AB＝CD，OM⊥AB，ON⊥CD，求证：OM＝ON．
[概念应用]如图3，在⊙O中AB＝CD＝16，⊙O的直径为20，且弦AB垂直于弦CD于E，请应用上面得出的结论求OE的长．


18．如图，△ABC的三个顶点在⊙O上，⊙O的半径为5，∠A＝60°，求弦BC的长．

19．如图，已知等边△ABC中，AB＝12．以AB为直径的半⊙O与边AC相交于点D．过点D作DE⊥BC，垂足为E；过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求EF的长．

20．如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若BC＝16，⊙O的半径为10．求△ABC的面积．

21．如图，四边形ABCD是⊙O内正方形，P是圆上一点（点P与点A，B，C，D不重合），连接PA，PB，PC．
（1）若点P是上一点，
①∠BPC度数为 　 　；
②求证：PA+PC＝PB；
小明的思路为：这是线段和差倍半问题，可采用截长补短法，请按小明思路完成下列证明过程（也可按自己的想法给出证明）．
证明：在PC的延长线上截取点E．使CE＝PA，连接BE．
（2）探究当点P分别在，，上，求PA，PB，PC的数量关系，直接写出答案，不需要证明．



2023年中考数学专题复习--圆
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，点C是⊙O的优弧上一点，∠AOB＝80°，则∠ACB的度数为（　　）

A．40° B．140° C．80° D．60°
【分析】根据圆周角定理求解即可．
【解答】解：∵∠AOB＝2∠ACB，∠AOB＝80°，
∴∠ACB＝40°，
故选：A．
【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
2．正方形的外接圆与内切圆的周长比为（　　）
A．：1 B．2：1 C．4：1 D．3：1
【分析】根据题意画出图形，再由正方形及等腰直角三角形的性质求解即可．
【解答】解：如图所示，
连接OA、OE，
∵AB是小圆的切线，
∴OE⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AE＝OE，
∴△AOE是等腰直角三角形，
设AE＝x，
则OA＝＝＝，
故＝＝，
即正方形的外接圆与内切圆的周长比为：：1．
故选：A．

【点评】本题考查的是正方形的性质及勾股定理．根据题意画出图形，利用数形结合求出答案是解答此题的关键．
3．如图，在⊙O中，∠ABC＝50°，则∠ACO等于（　　）

A．55° B．50° C．45° D．40°
【分析】根据圆周角定理得到∠AOC＝100°，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：∵∠AOC＝2∠ABC，∠ABC＝50°，
∴∠AOC＝100°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO＝×（180°﹣100°）＝40°，
故选：D．
【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
4．若⊙O的半径是3，点P在圆外，则点OP的长可能是（　　）
A． B．3 C．2 D．
【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．
【解答】解：∵⊙O的半径是3，点P在圆外，
∴OP的长大于3．
故选：A．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．
5．如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝6，∠ABC＝60°，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点D，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．9﹣3π B． C． D．
【分析】连接AD，根据等边三角形的性质得到AD＝AB＝3，∠ADB＝60°，根据勾股定理得到AC＝＝3，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接AD，
∵AB＝BD＝3，∠ABC＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD＝AB＝3，∠ADB＝60°，
∵BC＝6，
∴CD＝3，
∴AD＝CD，
∴∠C＝∠CAD，
∵∠C+∠CAD＝∠ADB＝60°，
∴∠C＝30°，
∴∠BAC＝90°，
∴AC＝＝3，
∴图中阴影部分的面积＝AB•AC﹣＝3×﹣＝﹣，
故选：D．

【点评】本题考查了扇形面积的进行，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，推出△ABD是等边三角形是解题的关键．
6．如图，AB是O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点．若MN＝2，则△PMN周长的最小值为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据轴对称的性质得到：点N关于AB的对称点N′，连接MN′交AB于P，此时PM+PN最小，即△PMN周长的最小，利用圆心角、弧、弦的关系以及轴对称的性质进行计算即可．
【解答】解：如图，作点N关于AB的对称点N′，则点N′在⊙O上，连接MN′交AB于P，此时PM+PN最小，即PM+PN＝MN′，
∵点N是 的中点，∠BAM＝20°，
∴＝＝，
∴∠BAN′＝10°，
∴∠MAN′＝20°+10°＝30°，
∴∠MON′＝60°，
∴△MON′是正三角形，
∴OM＝ON′＝MN′＝AB＝4，
又∵MN＝2，
∴△PMN周长的最小值为2+4＝6，
故选：B．

【点评】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系以及轴对称，掌握圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系以及轴对称的性质是解决问题的关键．
7．如图，AB是半圆O的直径，C、N为半圆上的两点，且＝，过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于M，若∠M＝40°，则∠BON的度数（　　）

A．30° B．25° C．20° D．22.5°
【分析】连接OC，根据＝，可得∠CON＝∠BON，根据MC为半圆O的切线，可得∠OCM＝90°，再根据直角三角形两个锐角互余即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OC，

∵＝，
∴∠CON＝∠BON，
∵MC为半圆O的切线，
∴∠OCM＝90°，
∵∠M＝40°，
∴∠COM＝50°，
∴∠BON＝COM＝25°，
故选：B．
【点评】本题主要考查圆周角定理、切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．
8．在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球在操场地上砸出一个直径为6cm、深2cm的小坑，则该铅球的直径为（　　）
A．cm B．6cm C．cm D．8cm
【分析】由题意画出图形，设出未知数，由勾股定理列出方程，解方程，即可解决问题．
【解答】解：如图，由题意知，AB＝6cm，CD＝2cm，OD是半径，且OC⊥AB，
∴AC＝CB＝AB＝3（cm），
设铅球的半径为rcm，则OC＝（r﹣2）cm，
在Rt△AOC中，根据勾股定理得：OC2+AC2＝OA2，
即（r﹣2）2+32＝r2，
解得：r＝，
则铅球的直径为：2r＝（cm），
故选：A．

【点评】本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
9．如图所示的工件槽的两个底角均为90°．尺寸如图（单位：cm），将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有A，B，E三个接触点，则该球的半径是（　　）cm

A．8 B．6 C．12 D．10
【分析】设圆心为O点，连接OE，交AB于C，则OE⊥AB，由垂径定理得AC＝BC＝8cm，设⊙O的半径为Rcm，则OC＝（R﹣4）cm，然后在Rt△OAC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：设圆心为O点，连接OA、AB、OE，OE交AB于C，如图，
由题意得：AB＝16cm，CE＝4cm，E为的中点，
则OE⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝8（cm），
设⊙O的半径为Rcm，则OC＝（R﹣4）cm，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：OA2＝AC2+OC2，
即R2＝82+（R﹣4）2，
解得R＝10，
即该球的半径是10cm．
故选：D．

【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
10．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标（6，a）（a＞5），半径为5，函数y＝x的图象被截得的弦AB的长为8，则a的值为（　　）

A．6 B．6+ C．3 D．6+3
【分析】PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，由于OC＝6，PC＝a，易得D点坐标为（6，6），则△OCD为等腰直角三角形，△PED也为等腰直角三角形．由PE⊥AB，根据垂径定理得AE＝BE＝AB＝4，在Rt△PBE中，利用勾股定理可计算出PE＝3，则PD＝PE＝3，所以a＝6+3．
【解答】解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，如图，

∵⊙P的圆心坐标是（6，a），
∴OC＝6，PC＝a，
把x＝6代入y＝x得y＝6，
∴D点坐标为（6，6），
∴CD＝6，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴△PED也为等腰直角三角形，
∵PE⊥AB，
∴AE＝BE＝AB＝×8＝4，
在Rt△PBE中，PB＝5，
∴PE＝＝3，
∴PD＝PE＝3，
∴a＝6+3．
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．
二．填空题（共5小题）
11．如图，以原点O为圆心的圆过点A（4，0），圆内一个固定点B（﹣1，2），过点B作直线，交圆于M，N两点，求MN的最小值为 　2　．

【分析】可知当MN⊥OB时，MN最小，根据勾股定理求出BM＝＝＝，再根据垂径定理得MN＝2BM＝2即可．
【解答】解：如图，连接OB，OM，可知当MN⊥OB时，MN最小，

∵B（﹣1，2），
∴OB2＝12+22＝5，
∵OM＝OA＝4，
∴BM＝＝＝，
∵MN⊥OB，
∴MN＝2BM＝2，
∴MN的最小值为2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了垂径定理，正确作出图形是关键．
12．如图，在⊙O中，点D为弧BC的中点，∠COD＝40°，则∠BAD＝　20°　．

【分析】根据题意推出＝，再根据圆周角定理求解即可．
【解答】解：∵点D为弧BC的中点，
∴＝，
∴∠BAD＝∠COD，
∵∠COD＝40°，
∴∠BAD＝20°，
故答案为：20°．
【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
13．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为 　40°　．

【分析】连接OA、OB，先根据圆周角定理求出∠AOB，根据切线的性质得到∠OAP＝∠OBP＝90°，然后根据四边形内角和可计算出∠P的度数．
【解答】解：连接OA、OB，如图，
∵∠ACB＝70°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝140°，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣140°＝40°，
故答案为：40°．

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
14．如图，△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，弧AE＝CP，则AD的最小值为 　1　．

【分析】根据＝得∠ACB＝∠CDP．再由∠ACB＝45°可得到∠BDC＝135°，于是点D在以BC为弦，∠BDC＝135°的圆弧上运动，再由∠BMC＝90°可证明∠ACM＝90°，从而算出AM＝5，再由当A、D、M三点共线时，AD最小，求出此时AD的长即可．
【解答】解：∵＝，
∴∠ACB＝∠CDP．
∵∠ACB＝45°，
∴∠CDP＝45°，
∴∠BDC＝180°﹣45°＝135°，
∴点D在以BC为弦，∠BDC＝135°的圆弧上运动，
如图，设D点运动的圆弧圆心为M，取优弧BC上一点N，

连接MB，MC，NB，NC，AM，MD，
则∠BNC＝180°﹣∠BDC＝45°，
∴∠BMC＝90°，
∵BM＝CM，
∴△BMC为等腰直角三角形，
∴∠MCB＝45°，MC＝BC＝4，
∵∠ACB＝45°，
∴∠ACM＝90°，
∴AM＝＝＝5，
∴当A、D、M三点共线时，AD最小，
此时，AD＝AM﹣MD＝5﹣4＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了三角形的外接圆，圆周角定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形三边关系，解决此题的关键是证明出∠BDC＝135°，分析出D在以BC为弦，∠BDC＝135°的圆弧上运动．
15．如图，△ABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，若D是与点C在直线AB异侧的一个动点，且∠ADB＝45°，则CD的最大值为 　6+6　．

【分析】以AB为底边，在AB的下方作等腰直角三角形AOB，则OA＝AC＝6，根据点与圆的位置关系可知，当CD过圆心时，CD最大，利用勾股定理求出CO的长即可．
【解答】解：以AB为底边，在AB的下方作等腰直角三角形AOB，则OA＝AC＝6，

∵∠ADB＝45°，
∴点D在以O为圆心，6为半径的圆上运动，
当CD过圆心时，CD最大，
∵AC＝AO＝6，∠CAO＝90°，
∴CO＝6，
∴CD的最大值为6+6，
故答案为：6+6．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，圆周角定理，利用定边定角确定点D的运动路径是解题的关键．
三．解答题（共6小题）
16．如图，AB为⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E，若∠C＝23°，试求∠EOB的度数．

【分析】利用半径相等和等腰三角形的性质求得∠EDO，从而利用三角形的外角的性质求解．
【解答】解：∵CD＝OA＝OD，∠C＝23°，
∴∠ODE＝2∠C＝46°，
∵OD＝OE，
∴∠E＝∠EDO＝46°，
∴∠EOB＝∠C+∠E＝46°+23°＝69°．
【点评】本题考查了圆的认识及等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形外角性质是关键．
17．[概念引入]
在一个圆中，圆心到该圆的任意一条弦的距离，叫做这条弦的弦心距．
[概念理解]
（1）如图1，在⊙O中，半径是5，弦AB＝8，则这条弦的弦心距OC长为 　3　．
（2）通过大量的做题探究；小明发现：在同一个圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦的弦心距也相等．但是小明想证明时却遇到了麻烦．请结合图2帮助小明完成证明过程如图2，在⊙O中，AB＝CD，OM⊥AB，ON⊥CD，求证：OM＝ON．
[概念应用]如图3，在⊙O中AB＝CD＝16，⊙O的直径为20，且弦AB垂直于弦CD于E，请应用上面得出的结论求OE的长．


【分析】[概念理解]（1）连接OB，在Rt△BOC中，应用勾股定理求解即可；
（2）连接BO、OC，证明Rt△BOM≌Rt△CON（HL）即可；
[概念应用]过点O作OG⊥CD交于G，过点O作OH⊥AB交于H，连接DO，根据（2）的结论，得到四边形GEHO是正方形，在Rt△GOD中，用勾股定理求出GO＝6，在等腰Rt△GOE中，求出EO＝6．
【解答】[概念理解]（1）解：连接OB，
∵CO⊥AB，
∴BC＝AC，∠BCO＝90°，
∵AB＝8，
∴BC＝4，
∵BO＝5，
∴CO＝＝3，
故答案为：3；
（2）证明：连接BO、OC，
∵OM⊥AB，
∴BM＝AM，∠BMO＝90°，
∵ON⊥CD，
∴CN＝DN，∠CNO＝90°，
∵AB＝CD，
∴BM＝CN，
∵BO＝CO，
∴Rt△BOM≌Rt△CON（HL），
∴OM＝ON；
[概念应用]解：过点O作OG⊥CD交于G，过点O作OH⊥AB交于H，连接DO，
∵AB＝CD＝16，
∴GO＝OH，
∵AB⊥CD，
∴∠GEH＝90°，
∴四边形GEHO是正方形，
∴GE＝GO，
∵CD＝16，
∴DG＝8，
∵⊙O的直径为20，
∴DO＝10，
∴GO＝＝6，
∴GE＝GO＝6，
∴EO＝6．

【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握垂径定理，勾股定理，三角形全等的判定及性质，正方形的性质是解题的关键．
18．如图，△ABC的三个顶点在⊙O上，⊙O的半径为5，∠A＝60°，求弦BC的长．

【分析】连接CO并延长交⊙O于D，根据圆周角定理得到∠D＝∠A＝60°，∠CBD＝90°，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：连接CO并延长交⊙O于D，连接BD，
则∠D＝∠A＝60°，∠CBD＝90°，
∵⊙O的半径为5，
∴CD＝10，
∴BD＝CD＝5，
∴BC＝＝＝5，
故弦BC的长为5．

【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
19．如图，已知等边△ABC中，AB＝12．以AB为直径的半⊙O与边AC相交于点D．过点D作DE⊥BC，垂足为E；过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求EF的长．

【分析】（1）连接OD，证明OD∥BC，根据平行线的性质得到DE⊥OD，根据切线的判定定理证明结论；
（2）求出CD＝6，进而求出CE，即可求出BE，根据正弦的定义求出EF．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠C，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠C，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知，OD∥BC，
∵OA＝OB，
∴AD＝CD，
∵AC＝12，
∴CD＝6，
在Rt△CDE中，∠C＝60°，
∴∠CDE＝30°，
∴CE＝CD＝3，
∴BE＝BC﹣CE＝9，
在Rt△BEF中，∠B＝60°，
∴EF＝BE•sinB＝9×＝．

【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定、切线的判定、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、锐角三角函数，正确作出辅助线是解本题的关键．
20．如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若BC＝16，⊙O的半径为10．求△ABC的面积．

【分析】（1）根据垂径定理可得，根据等弧所对的弦相等，即可证明；
（2）连接OB，勾股定理求得OD，继而得出AD，根据三角形面积公式进行计算即可求解．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴，
∴AB＝AC；
（2）解：连接OB，
∵AD⊥BC，
∴BD＝BC＝8，
在Rt△OBD中，BO＝10，BD＝8，
∴OD＝＝6，
∴AD＝AO+OD＝10+6＝16，
∴S△ABC＝BC•AD＝×16×16＝128．

【点评】本题考查了垂径定理，弧与弦的关系，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
21．如图，四边形ABCD是⊙O内正方形，P是圆上一点（点P与点A，B，C，D不重合），连接PA，PB，PC．
（1）若点P是上一点，
①∠BPC度数为 　45°　；
②求证：PA+PC＝PB；
小明的思路为：这是线段和差倍半问题，可采用截长补短法，请按小明思路完成下列证明过程（也可按自己的想法给出证明）．
证明：在PC的延长线上截取点E．使CE＝PA，连接BE．
（2）探究当点P分别在，，上，求PA，PB，PC的数量关系，直接写出答案，不需要证明．


【分析】（1）①理由正方形的性质和圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半解答即可；
②在PC的延长线上截取点E．使CE＝PA，连接BE，利用全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质解答即可；
（2）利用截长补短法，依题意画出相应图形，按小明思路完成解答即可．
【解答】（1）①解：∠BPC＝45°，理由：
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴的度数为90°，
∴∠BPC＝90°＝45°，
故答案为：45°；
②证明：在PC的延长线上截取点E，使CE＝PA．连接BE，如图，

∵四边形ABCD是⊙O内接正方形，
∴AB＝BC，
又∵点P在上，
∴四边形ABCP为⊙O内接四边形
∴∠PAB＝∠BCE．
在△PAB和△ECB中，
，
∴△PAB≌△ECB（SAS），
∴PB＝PE，∠ABP＝∠CBE，
∵∠ABP+∠PBC＝90°，
∴∠PBC+∠CBE＝90°
∴∠PBE＝90°，
∴△PBE为等腰直角三角形，
∴PE＝PB，
∴PA+PC＝CE+PC＝PE＝PB；
（2）当点P在上时，PC﹣PA＝PB；
在PC上取点E，使CE＝PA，连接BE，如图，

∵四边形ABCD是⊙O内接正方形，
∴AB＝BC，
在△PAB和△ECB中，
，
∴△PAB≌△ECB（SAS），
∴PB＝PE，∠ABP＝∠CBE，
∵∠ABE+∠EBC＝90°，
∴∠PBA+∠ABE＝90°，
∴∠PBE＝90°，
∴△PBE为等腰直角三角形，
∴PE＝PB，
∴PC﹣PA＝PC﹣EC＝PE＝PB；
当点P在上时，PA﹣PC＝PB，
在PA上取点E，使AE＝PC，连接BE，如图，

∵四边形ABCD是⊙O内接正方形，
∴AB＝BC，
在△ABE和△BCP中，
，
∴△ABE≌△BCP（SAS），
∴BE＝BP，∠ABE＝∠CBP，
∵∠ABE+∠CBE＝90°，
∴∠CBE+∠CBP＝90°，
∴∠EBP＝90°，
∴△EBP为等腰直角三角形，
∴PE＝PB，
∴PA﹣PC＝PA﹣AE＝PE＝PB；
当点P在上时，PA+PC＝PB，理由：
在PA的延长线上截取点E，使AE＝PC，连接BE，如图，

∵四边形ABCD是⊙O内接正方形，
∴AB＝BC，
又∵点P在上，
∴四边形ABCP为⊙O内接四边形
∴∠EAB＝∠BCP．
在△EAB和△PCB中，
，
∴△EAB△PCB（SAS），
∴BE＝BP，∠ABE＝∠PBC．
∵∠ABP+∠PBC＝90°，
∴∠ABP+∠ABE＝90°，
∴∠EBP＝90°．
∴△EBP为等腰直角三角形，
∴PE＝PB，
∴PA+PC＝PA+AE＝PE＝PB．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，本题是阅读型题目，理解并熟练应用截长补短法，构造恰当的辅助线解答是解题的关键．