人教版九年级下册27.2.1 相似三角形的判定集体备课ppt课件

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相似三角形平行线分线段成比例平行线截三角形相似的定理三边关系判定三角形相似定理边角关系判定三角形相似定理角的关系判定三角形相似定理直角三角形相似的判定
1. 定义：如果在两个三角形中，三个角分别相等，三条边成比例，那么这两个三角形相似.
如图27.2-1，在△ ABC 和△ A′B′C′中，∠ A= ∠ A′，∠ B= ∠ B′，∠ C= ∠ C′，
△ABC ∽△A′B′C′.
特别提醒1.相似三角形具有传递性，即若△ ABC ∽△A′B′C′，△A′B′C′∽△A″B″C″，则△ABC∽△ A″ B″ C″ .2.相似三角形属于特殊的相似多边形，同样具有“对应角相等，对应边成比例”这个性质.
2. 相似三角形的表示方法：相似用符号“∽”表示，读作“相似于”. 如图27.2-1， △ ABC 与△ A ′B ′C ′相似， 记作“△ ABC ∽△ A′B′C′”，读作“△ ABC 相似于△ A′B′C′”.特别警示：用符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大写字母写在对应的位置上. △ ABC ∽△ A′B′C′表示顶点A 与A′，B 与B′，C 与C′分别对应.
3. 相似比：两个三角形相似，对应边的比叫做相似比.特别警示：相似三角形的相似比具有顺序性，即如果△ ABC 与△ A′B′C′的相似比为k，那么△ A′B′C′与△ ABC 的相似比为 .
如图27.2-2，已知△ ABC ∽△ ADE，∠ A=70°，∠ B=40°，AB=6，BC=6，AD=3.(1)求△ ABC 与△ ADE 的相似比；(2)求∠ AED 的度数和DE 的长.
解题秘方：紧扣“相似三角形定义中对应角相等，对应边成比例”求解.
解：(1)△ ABC 与△ ADE 的相似比为
(2)因为∠ A=70°，∠ B=40°，所以∠ C=70°.因为△ ABC ∽△ ADE，所以∠ AED= ∠ C=70° .因为△ ABC ∽△ ADE，所以又因为AB=6，BC=6，AD=3，所以 ，解得DE=3.
1-1.[中考· 武威] 若△ ABC ∽△ DEF，BC=6，EF=4， 则 =( )
1. 平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.数学表达式：如图27.2-3，∵ l3 ∥ l4 ∥ l5，
要点解读1. 所有的成比例线段是指被截直线上的线段, 与这组平行线上的线段无关；2. 利用平行线分线段成比例的基本事实写比例式时，一定要注意对应线段写在对应的位置上.
2. 平行线分线段成比例的基本事实的推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.
特别提醒1.本推论的实质是平行线分线段成比例的基本事实中一组平行线中的一条过三角形的一个顶点，一条在三角形一边上的特殊情况.2.当被截的两条直线相交时，其交点处可看作含一条隐形的平行线( 如图27.2-4).
数学表达式：如图27.2-5，若DE ∥ BC，则有
如图27.2-6，已知AB ∥ CD ∥ EF，AF 交BE 于点H. 下列结论中, 错误的是( )
解题秘方：利用平行线分线段成比例的基本事实解题.
解：∵ AB ∥ CD ∥ EF，∴故选项A，B，D 正确.∵ CD ∥ EF，∴ ，故选项C 错误.
2-1.[中考· 丽水] 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C 都在横线上．若线段AB=3，则线段BC 的长是( )A. B.1C. D.2
[中考·临沂] 如图27.2-7，已知AB ∥ CD，AD 与BC相交于点O. 若 ，AD=10，则AO=________ .
解题秘方：利用平行线分线段成比例的基本事实的推论解题.
解：∵ AB ∥ CD，解得AO=4.
技巧点拨：利用平行线分线段成比例的基本事实或推论求线段长的方法：先确定图中的平行线，再根据平行线截得的线段间的比例关系，写出一个含有待求线段和已知线段的比例式，构造出方程，解方程求出待求线段的长.
3-1. 如图，l1 ∥ l2 ∥ l3，AB=3，AD=2，DE=4，EF=9，求BC，BF 的长.
平行线截三角形相似的定理
1. 定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
“和其他两边相交”是指和其他两边所在直线相交.
数学表达式：如图27.2-8，∵ DE ∥ BC，∴△ ABC ∽△ ADE.
特别提醒●书写两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大写字母写在对应的位置上.●根据定理得到的相似三角形的三个基本图形中都有BC ∥ DE，图27.2-8 ①②很像大写字母A, 故我们称之为“A” 型相似；图27.2-8 ③很像大写字母X，故我们称之为“X”型相似( 也像阿拉伯数字“8”).
如图27.2-9 所示，已知在 ABCD 中，E 为AB 延长线上的一点，AB=3BE，DE 与BC 相交于点F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.
解题秘方：紧扣平行线截三角形相似的两种基本图形：“A”型和“X”型进行查找.
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥ CD，AD ∥ BC，AB=CD，∴△ BEF ∽△ CDF，△ BEF ∽△ AED.∴△ CDF ∽△ AED.∵ AB=CD，AB=3BE，∴ CD=3BE.
求相似比不仅要找准对应边，还需注意两个三角形的先后顺序，若顺序颠倒，则相似比成为原来相似比的倒数.
4-1.[中考· 玉林] 如图，AB ∥ EF ∥ DC，AD ∥ BC，EF 与AC 交于点G，则图中的相似三角形共有( )A. 3 对 B. 5 对C. 6 对 D. 8 对
如图27.2-10， 在ABCD 中，AE=EB，AF=2， 则FC=_____ .
解题秘方：判断是用平行线截线段成比例，还是用平行线截三角形相似的对应边成比例是解题关键.
解：在ABCD 中，AB ∥ CD，AB=CD，∴△ AEF ∽△ CDF. ∴ ∵ AE ＝ EB，AB=CD，∴又∵ AF=2，∴ CF=4.
5-1.[中考· 宜宾] 如图， △ ABC 中， 点E，F 分别在边AB，AC 上，∠ 1= ∠ 2． 若BC=4，AF = 2 ， CF = 3， 则EF=_________.
三边关系判定三角形相似定理
1. 相似三角形的判定定理：三边成比例的两个三角形相似.
特别提醒由三边成比例判定两三角形相似与由三边对应相等判定两三角形全等的方法类似，只需把三边对应相等改为三边成比例即可.
2. 数学表达式：如图27.2-11 所示，在△ ABC 和△ DEF 中，∴△ ABC ∽△ DEF.
图27.2-12、图27.2-13 中小正方形的边长均为1，则图27.2-13 中的哪一个三角形(阴影部分)与图27.2-12 中的△ ABC 相似？
解题秘方：利用网格的特征用勾股定理求三角形各边的长，紧扣“三边成比例的两个三角形相似”，用计算比较法判断.
解：易知AC= ，BC=2，AB= .图27.2-13 ①中，三角形的三边长分别为1， ，2 ；图27.2-13 ②中，三角形的三边长分别为1， ， ；图27.2-13 ③中，三角形的三边长分别为 ， ，3；图27.2-13 ④中，三角形的三边长分别为2， ， .∵ ，∴图27.2-13 ②中的三角形与△ ABC 相似.
6-1. 如图，在4×4 的正方形网格中，△ ABC 和△ DEF 的顶点都在边长为1 的小正方形的顶点上.
(1)填空： ∠ ABC=_____°，AC=_____ ；
(2)判断 ：△ABC与△DEF是否相似， 并证明你的结论.
边角关系判定三角形相似定理
1. 相似三角形的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
特别提醒运用该定理证明两三角形相似时，一定要注意边角的关系，相等的角一定是成比例的两组对应边的夹角. 类似于判定三角形全等的SAS 的方法.
2. 数学表达式：如图27.2-14 所示，在△ ABC 和△ DEF 中，∵ ，且∠ B= ∠ E，∴△ ABC ∽△ DEF.
如图27.2-15，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的一点，且BP=3PC，Q 是CD 的中点.求证：△ ADQ ∽△ QCP.
解题秘方：紧扣“边角关系判定三角形相似定理”证明即可.
证明：设正方形ABCD 的边长为4a，则AD=CD=BC=4a.∵ Q 是CD 的中点，BP=3PC，∴ DQ=CQ=2a，PC=a.∴又∵∠ D= ∠ C=90°，∴△ ADQ ∽△ QCP.
技巧点拨：利用两边成比例且夹角相等证两三角形相似的方法先找出两个三角形中相等的那个角；再分别找出两个三角形中夹这个角的两条边，并按大小排列找出对应边；最后证明这两组对应边成比例.
7-1. 如图，在△ ABC 中，D，E 分别在AB 与AC上， 且AD=5，DB=7，AE=6，EC=4. 求证：△ ADE ∽△ ACB.
角的关系判定三角形相似定理
1. 相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似.
特别提醒由两组角分别相等判定两个三角形相似，其关键是找准对应角. 一般地，相等的角是对应角． 如： 公共角、对顶角、同角(等角) 的余角( 补角)、同弧所对的圆周角等都是相等的角，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件.
2. 数学表达式：如图27.2-16 所示，在△ ABC 和△ DEF 中，∵∠ A= ∠ D，且∠ B= ∠ E，∴△ ABC ∽△ DEF.
3. 常见的相似三角形的类型：(1)平行线型： 如图27.2-17 ①， 若DE ∥ BC， 则△ ADE ∽△ ABC.(2)相交线型： 如图27.2-17 ②， 若∠ AED= ∠ B， 则△ AED ∽△ ABC.
(3)“子母”型：如图27.2-17 ③，若∠ ACD= ∠ B，则△ ACD ∽△ ABC.(4)“K”型：如图27.2-17 ④，若∠ A= ∠ D= ∠ BCE=90°，则△ ACB ∽△ DEC，整体像一个横放的字母K，所以称为“K”型相似.
如图27.2-18，在△ ABC 中，AD 是∠ BAC 的平分线，AD 的垂直平分线交AD 于点E，交BC 的延长线于点F.求证：△ ABF ∽△ CAF.
解题秘方：紧扣“两组对应角相等的两个三角形相似”，由于∠ BFA 是公共角，因此只需利用图形的相关性质说明∠ B= ∠ 4 即可证明.
证明：∵ EF 垂直平分AD，∴ AF=DF. ∴∠ FAD = ∠ 3.∵ AD 是∠ BAC 的平分线，∴∠ 1 = ∠ 2.又∵∠ B = ∠ 3 － ∠ 1，∠ 4 = ∠ FAD－∠ 2，∴∠ B = ∠ 4.又∵∠ BFA = ∠ AFC，∴△ ABF ∽△ CAF.
8-1. 如图，已知在四边形ABCD 中， ∠ ADB =∠ ACB， 延长AD， BC相交于点E.
求证：(1)△ ACE ∽△ BDE；
(2)BE·CD=AB·DE.
8-2.[中考·怀化] 如图，点A，B，C，D 在⊙ O 上，AB = CD ．求证：(1)AC=BD；
证明：∵AB=CD,∴AC=BD，∴AC=BD.
(2)△ ABE ∽△ DCE.
证明：∵∠A=∠D,∠B=∠C，∴ △ABE= △DCE.
1. 直角三角形相似的判定定理：(1)一组锐角相等的两直角三角形相似；(2)两组直角边对应成比例的两直角三角形相似；(3)斜边与一组直角边对应成比例的两直角三角形相似.
2. 数学表达式：如图27.2-19，在Rt △ ABC 和Rt △ A′B′C′中，
(1)∵∠ C = ∠ C′=90°，∠ A = ∠ A′，∴ Rt △ ABC ∽ Rt △ A′B′C′.(2)∵∠ C = ∠ C′=90°， ∴ Rt △ ABC ∽ Rt △ A′B′C′.(3)∵∠ C= ∠ C′=90°，∴ Rt △ ABC ∽ Rt △ A′B′C′.
思路点拨判定两三角形相似的思路：1. 存在平行于三角形一边的直线，找两个三角形；2. 已知一组角对应相等，找另一组角对应相等，或夹这组角的两边对应成比例；3. 已知两组边对应成比例，找夹角相等，或第三组边对应成比例.
在Rt △ ABC 和Rt △ DEF 中，∠ C = ∠ F=90°，下列条件中, 不能判定这两个三角形相似的是( )A. ∠ A=55°，∠ D=35°B. AC=9，BC=12，DF=6，EF=8C. AC=3，BC=4，DF=6，DE=8D. AB=10，AC=8，DE=15，EF=9
解题秘方：紧扣“判定直角三角形相似的思路”一一进行验证.
解：A. ∵∠ A=55°，∴∠ B=90° －55° =35° .∵∠ D=35°，∴∠ B = ∠ D.又∵∠ C = ∠ F=90°，∴△ ABC ∽△ EDF.B. ∵ AC=9，BC=12，DF=6，EF=8，∴又∵∠ C = ∠ F=90°，∴△ ABC ∽△ DEF.
C. 由题干知∠ C = ∠ F=90°，但由已知条件不能得出两组对应边成比例，故不能判定两三角形相似.D. ∵ AB=10，AC=8，∴由勾股定理可得BC=6.又∵ DE=15，EF=9，∴又∵∠ C = ∠ F=90°，∴△ ABC ∽△ DEF.
9-1. 如图，在Rt △ ABC中， ∠ ACB=90 °，CD⊥ AB 于点D，图中共有哪几对相似三角形？并选择其中一对进行证明.
解：图中共有3对相似三角形，分别为△ACD∽△ABC, △CDB∽△ACB, △ACD∽△CBD.(选择不唯一)证明△ACD∽△ABC如下：∵ ∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠ACD＝90°， ∴∠B＝∠ACD.又 ∵∠ACB＝∠ADC＝90°，∴△ACD∽△ABC.
9-2. 如图，在Rt △ ABC中， ∠ C=90 °，D 是边BC 上一点，CD=1，AD= ，AB=2 ， 求证：Rt △ ADC ∽ Rt △ BAC.