数学人教版27.2.3 相似三角形应用举例教课内容课件ppt

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利用影子测量物体的高度利用标杆测量物体的高度利用镜子的反射测量物体的高度利用相似测量宽度
利用影子测量物体的高度
1. 测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，在有太阳光的前提下，通常将参照物高及其影长、被测物高及其影长构造相似三角形模型，利用“相似三角形对应边成比例”的原理解决.
2. 测量方法：在同一时刻测量出太阳光下参照物和被测物体的影长，再根据参照物的高度和“在同一时刻太阳光下物体的高度与影长成比例”的原理计算出被测物体的高度.
特别提醒运用此测量方法时，要符合下列两个条件：1. 被测物体的底部能够到达；2. 由于影长可能着太阳的运动而变化，因此要在同一时刻测量参照物与被测物体的影长.
某一时刻，身高1.6 m的小明在太阳光下的影长是0.4 m，同一时刻同一地点，测得某旗杆的影长是5 m，则该旗杆的高度是( )A. 1.25 m B.10 mC. 20 m D. 8 m
解：设该旗杆的高度是x m，根据题意，得1.6 ∶ 0.4=x ∶ 5，解得x=20，即该旗杆的高度是20 m.
解题秘方：建立相似三角形的模型，用“在同一时刻太阳光下物体的高度与影长成比例”求解.
1-1. [ 中考·杭州] 某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB 的高度， 把标杆DE直立在同一水平地面上(如图)．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72 m，EF=2.18 m． 已知B，C，E，F 在同一直线上，AB ⊥ BC，DE ⊥ EF，DE=2.47 m， 则AB ＝_______m．
利用标杆测量物体的高度
1. 测量原理：用标杆与被测物体平行构造相似三角形.2. 测量方法：
特别提醒利用标杆测量物体的高度是生活中经常采用的方法，使用这种方法时，观测者的眼睛、标杆顶端和被测物体顶端必须“三点共线”， 注意标杆与地面要垂直，同时被测物体底部必须可到达.
(1)测量出标杆的长度、观测者眼睛到地面的高度；(2)让标杆竖直立于地面，调整观测者的位置，使观测者的眼睛、标杆顶端和被测物体顶端恰好在一条直线上，测量出观测者的脚距标杆底端的距离和距被测物体底端的距离；(3)根据标杆与被测物体平行推导出两个三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例求出被测物体的高度.
如图27.2-47，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上. 已知纸板的两条直角边DE=40 cm，EF=20 cm，测得边DF 离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB= ______m.
解：∵∠ DEF = ∠ BCD=90°，∠ D = ∠ D，∴△ DEF ∽△ DCB. ∴∵ DE=40 cm=0.4 m，EF=20 cm=0.2 m，CD=8 m，∴ ∴ BC=4 m.∴ AB=AC+BC=1.5+4=5.5(m).
解题秘方：本题关键是找出相似三角形，然后根据对应边的比相等列出方程求解.
2-1. 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF 来测量操场旗杆AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF 与地面保持平行， 并使直角边DE 与旗杆顶点A 在同一直线上.
已知DE=0.5 m，EF=0.25m，测得点D 到地面的距离DG=1.5 m，到旗杆的水平距离DC=20 m，则旗杆的高度为( )A. 10 mB.(10 +1.5)mC. 11.5 mD. 10 m
利用镜子的反射测量物体的高度
1. 测量原理：利用镜子的反射，先根据反射角等于入射角的原理构造相似三角形，再计算所求物体的高度.2. 测量方法：
特别提醒●测量时被测物体与人之间不能有障碍物，且镜子要水平放置.●利用物理学中的“反射角等于入射角”及“等角的余角相等”的知识可以知道，反射光线和入射光线与镜面的夹角相等. 找到一组锐角对应相等，创造相似条件.
(1)在观测者与被测物体之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记；(2)测出观测者眼睛到地面的高度；(3)观测者看着镜子来回走动，直至看到被测物体顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，此时测出镜子上的标记位置到观测者脚底的距离及到被测物体底端的距离；(4)根据两角分别对应相等推导出两个三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例求出被测物体的高度.
如图27.2-48 是一名同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P 处水平放一平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好照到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥ BD，CD ⊥ BD， 测得AB=2 米，BP=3 米，PD=12 米，求该古城墙CD 的高度.
解题秘方：由反射原理及AB ⊥ BD，CD ⊥ BD，可得△ ABP ∽△ CDP，利用相似三角形的性质即可求出CD 的长.
解： 如图27.2-48， 由题意可得∠ CPE= ∠ APE，∴∠ CPD = ∠ APB.∵ AB ⊥ BD，CD ⊥ BD，∴∠ ABP = ∠ CDP=90°，∴△ ABP ∽△ CDP，∴∵ AB=2 米，BP=3 米，PD=12 米，∴∴ CD=8 米.答：该古城墙CD 的高度为8 米.
3-1. 如图，小明为测量学校旗杆AB 的高度，在E 处放置一面镜子，然后退到C 处站立， 刚好从镜子中看到旗杆的顶部B. 已知小明的眼睛D 离地面的高度CD=1.5 m，他与镜子的水平距离CE=0.5 m， 镜子E 与旗杆的底部A 处的距离AE=2 m，且A，E，C 三点在同一水平直线上，则旗杆AB 的高度为( )A.4.5 m B.4.8 mC.5.5 m D.6 m
1. 测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造相似三角形，利用相似三角形的性质计算两点间的距离.
2. 常见的测量方式：(1)构造“A”型相似，如图27.2-49.(2)构造“X”型相似，如图27.2-50.
特别解读利用相似三角形测量高度、宽度等的一般步骤：1. 利用平行线、标杆等构造相似三角形；2. 测量与表示未知量的线段相对应的边长以及另外任意一组对应边的长度；3. 画出示意图，利用相似三角形的性质，列出以上包括未知量在内的四个量的比例式，解出未知量；4. 检验并得出答案.
如图27.2-51，我们想要测量河两岸相对的两点A，B之间的距离(即河宽). 方案：先从B 点出发向与AB 成90°角的方向走50 m 到O 处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m 到C 处，在C 处向右转90°，沿CD 方向再走17 m 到D 处，使得点A，O，D在同一条直线上，那么点A，B之间的距离是多少？
解题秘方：根据测量过程中的数据建立几何(相似三角形)模型，利用相似三角形对应边成比例求解.
解：由题意知∠ ABO = ∠ DCO=90° .又 ∵∠ AOB = ∠ DOC，∴△ AOB ∽△ DOC. ∴∵ BO=50 m，CO=10 m，CD=17 m，∴ ∴ AB=85 m.∴点A，B 之间的距离是85 m.
4-1. 如图，身高为1.6 m的小李AB 站在河的一岸，利用树的倒影去测对岸一棵树CD 的高度，CD 的倒影是C′D，点B，E，D 在同一水平线上，且A，E，C′在一条视线上，河宽BD=12 m， 且BE=2 m，求树CD 的高度.