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初中数学第八章 二元一次方程组8.3 实际问题与二元一次方程组教学课件ppt
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这是一份初中数学第八章 二元一次方程组8.3 实际问题与二元一次方程组教学课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了逐点导讲练，课堂小结，作业提升，学习目标，课时讲解，课时流程，知识点，感悟新知，例10，例11等内容，欢迎下载使用。
列二元一次方程组解应用题的基本步骤列方程组解应用题的常见题型建立二元一次方程组的模型对实际问题进行判断或方案设计
列二元一次方程组解应用题的基本步骤
1. 基本思想方法：(1)列方程组解应用题是把“未知”转化成“已知”的过程；它的关键是把未知量与已知量联系起来，找出题目中的等量关系列方程组.
(2)一般情况下，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等 .
2. 列二元一次方程组解应用题的一般步骤：(1)审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题；(2)设：分析已知量和未知量，并用字母表示其中的两个未知量(设元)；(3)找：找出能表示题意的两个等量关系；(4)列：根据等量关系列出方程组；(5)解：解这个方程组，求出未知数的值；(6)答：检验所求解是否符合实际意义，写出答案.
特别解读找等量关系的方法：1. 抓住题目中的关键词，常见的关键词有：“比”“是”“等于”等；2.根据常见的数量关系，如体积公式、面积公式等，找等量关系；3. 挖掘题目中的隐含条件，如飞机沿同一航线航行，顺风航行与逆风航行的路程相等；4. 借助列表格、画线段示意图等方法找等量关系.
某船的载质量为300 吨，容积为1 200 立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6 立方米，乙种货物每吨体积为2 立方米，要充分利用这艘船的载质量和容积，甲、乙两种货物应各装多少吨？
解题秘方：分析题目中已知量和未知量，找准题目中的等量关系，列出方程组解决问题.
解：设甲种货物应装x 吨，乙种货物应装y 吨.由题意，得 解得答：甲、乙两种货物应各装150 吨.
1-1. 某校决定组织全校600 名师生去郊游，租用10 辆大客车和8辆小客车，恰好全部坐满. 已知每辆大客车的座位数比每辆小客车多15 个. 若设每辆大客车有x 个座位，每辆小客车有y 个座位，则可列方程组为________________ .
列方程组解应用题的常见题型
根据在实际问题中等量关系的不同类型，归纳出应用题几种常见题型：(1)和、差、倍、分问题；(2)数字问题；(3)配套问题；(4)销售问题；(5)行程问题；(6)百分比问题；(7)古代算术问题；(8)几何图形问题.
特别提醒不同类型的问题中都有各自的代表性词语，如配套问题中的“配套”，销售问题中的“售价”“标价”“折扣”等等.
某中学七年级甲、乙两班共有93 人，其中参加数学课外兴趣小组的共有27 人，已知甲班有 的学生、乙班有 的学生参加数学课外兴趣小组，求这两个班各有多少人.
解题秘方：紧扣人数之间的数量关系，关键是和、差、倍、分关系，建立已知量与未知量的等量关系.
解： 设甲班有x 人， 乙班有y 人， 根据题意， 得 解得答：甲班有48 人，乙班有45 人.
2-1. 某学校举行的知识竞赛共有60 道题，曾浩同学答对了x 道题，答错了y 道题(不答视为答错)，且答对题数比答错题数的7 倍还多4 道，那么下面列出的方程组中正确的是( )
有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小45；又知原百位数字的9 倍比原三位数去掉百位数字后的两位数小3，求原三位数.
解题秘方：设出数位上的数字，利用数位上的数字表示出数，根据题目中的等量关系列出方程组.
解：设原百位数字为x，原三位数去掉百位数字后的两位数为y，由题意得 解得 则4×100+39=439.答：原三位数为439.
3-1. 一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是5，若这个两位数加上9，所得的两位数的数字顺序与原来两位数的数字顺序恰好颠倒，求原两位数.
某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2 m 的某种布料可做衣身3 个或衣袖5 只，现计划用132 m 这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？
解题秘方：紧紧扣配套规则列方程，如本题衣身与衣袖(恰好配套)的数量比是1 ∶ 2.
解：设用x m 布料做衣身，用y m 布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.根据题意，得 解得答：用60 m 布料做衣身，用72 m 布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.
4-1. 某车间有技术工人85 人，平均每人每天可加工甲种部件16 个或乙种部件10 个，2 个甲种部件和3 个乙种部件配成一套，问：各安排多少人才能使每天加工的甲、乙两种部件刚好配套？
某商场购进甲、乙两种商品后，甲商品加价50%、乙商品加价40% 作为标价，适逢元旦，商场举办促销活动，甲商品打八折销售，乙商品打八五折销售. 某顾客购买甲、乙商品各1 件，共付款538 元，已知商场共盈利88 元，求甲、乙两种商品的进价各是多少元.
解题秘方：紧扣销售问题中，每个量的意义及各个量之间的数量关系列出方程组，解决问题.
解：设甲商品的进价为x 元，乙商品的进价为y 元，根据题意，得化简，得 解得答：甲商品的进价为250 元，乙商品的进价为200 元.
5-1. 一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%，如果按定价打八折出售每件可以盈利10元. 问：此商品每件的定价是多少？
张明沿公路匀速前进，每隔4 min 就迎面开来一辆公共汽车，每隔6 min 就有一辆公共汽车从背后超过他. 假定公共汽车的速度不变，而且迎面开来的相邻两车的距离和从背后开来的相邻两车的距离都是1 200 m，求张明前进的速度和公共汽车的速度.
解题秘方：分析相遇或追及问题中两者运动的路程与相隔路程之间的关系，列出方程组，解决问题.
解：设张明前进的速度是x m/min，公共汽车的速度是y m/min.根据题意，得 解得答：张明前进的速度是50 m/min，公共汽车的速度是250 m/min .
6-1. 育才中学新建的塑胶操场跑道的一圈长为400 m. 甲、乙两名运动员从同一起点同时出发，相背而跑，40 s 后首次相遇；从同一起点同时出发，同向而跑，200 s后甲首次追上乙. 求甲、乙运动员的速度.
某人骑自行车从A 地出发去B 地，先以每小时12 km的速度下坡，再以每小时9 km 的速度在平路上行驶至B 地，共用55 min；回来时他以每小时8 km 的速度通过平路后，再以每小时4 km 的速度上坡至A 地，共用1.5 h. 求A，B 两地之间的路程.
解题秘方：解决有上、下坡路程的往返问题时，虽然每段路程不变，但速度发生了改变. 根据时间总量列出方程组解决问题.
解：设从A 地到B 地的下坡路程为x km，平路路程为y km.由题意，得 解得 x+y=3+6=9.答：A，B 两地之间的路程为9 km.
7-1. 小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路每分钟走60 米，下坡路每分钟走80 米，上坡路每分钟走40 米，从家里到学校需10 分钟，从学校到家里需15 分钟.请问小华家离学校多远？
A，B 两码头相距140 km，一艘轮船在其间航行，顺水航行用了7 h，逆水航行用了10 h，求这艘轮船在静水中的速度和水流速度.
解题秘方：本题关键是找到各速度之间的关系：顺速= 静速+ 水速，逆速= 静速- 水速，再结合公式“路程= 速度×时间”列方程组求解.
解：设轮船在静水中的速度为x km/h，水流速度为y km/h.由题意，得 解得答：这艘轮船在静水中的速度为17 km/h，水流速度为3 km/h.
8-1. 一艘轮船从甲地到乙地顺流航行需4 h，从乙地到甲地逆流航行需6 h，那么一只木筏由甲地漂流到乙地需多长时间？
在当地农业技术部门的指导下，李明家增加种植菠萝的投资，使今年的菠萝喜获丰收. 如图8.3-1 是李明和他的爸爸、妈妈的一段对话.
请你用所学过的知识帮助李明算出他家今年菠萝的收入.
解题秘方：紧扣今年与去年的收入和投资之间的数量关系解题.
解：设李明家去年种植菠萝的收入为x 元，投资为y 元.由题意，得解得 所以(1+35%)x=1.35×12 000=16 200.答：李明家今年菠萝的收入为16 200 元.
9-1.[中考· 泰安] 泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A 种茶30 盒，B 种茶20 盒，共花费6 000 元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A 种茶20 盒，B 种茶15 盒， 共花费5 100 元．求第一次购进的A、B 两种茶每盒的价格.
列方程组解古算题：“巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧.三百六十四只碗，看看用尽不差争.三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹.请问先生明算者，算来寺内几多僧？”
解题秘方：先将古算题用通俗的文字叙述，然后再找等量关系，列方程组解决问题. 此题如果直接将僧人的人数设为x，那么求解较复杂，因此需采用间接设元法.
解：设饭碗有x 只，汤碗有y 只.由题意，得 解得所以3x=3×208=624.答：寺庙内共有624 位僧人.
10-1.[中考·连云港] 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八 ，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：今有几个人共同出钱购买一件物品．每人出8 钱，剩余3钱；每人出7 钱，还缺4钱．问人数、物品价格各是多少？请你求出以上问题中的人数和物品价格．
小敏做拼图游戏时发现：8 个一样大小的小长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图8.3-2 所示. 小颖看见了，也来试一试，结果拼成了如图8.3-3 所示的正方形，不过中间留下一个空白，恰好是一个边长为2 cm 的小正方形，你能算出每个小长方形的长和宽各是多少吗？
解题秘方：根据拼图方式找出小长方形的长和宽之间的数量关系.
解：设小长方形的长为x cm，宽为y cm.依题意，得 整理，得 ① ②①－② ×3 得y=6，将y=6 代入②得x=10.因此，这个方程组的解是答：每个小长方形的长为10 cm，宽为6 cm.
11-1. 刘强用8 个边长不全相等的正三角形拼成如图的图案，其中阴影部分是边长为1 cm 的正三角形. 试求出图中正三角形A、正三角形B 的边长分别是多少厘米.
建立二元一次方程组的模型对实际问题进行判断或方案设计
建立二元一次方程组的模型就是为了解决实际问题. 对某个问题要进行判断或设计方案时，关键之处在于：(1)要分析解决此问题时需要解决哪几个未知量，然后根据需要设未知数；(2)方程组的解是否符合实际问题的限制条件.
特别提醒设计方案问题应从不同角度去考虑，先考虑多种可能的方案，再根据结果合理地选择方案.
我市某超市举行店庆活动，对甲、乙两种商品实行打折销售. 打折前，购买3 件甲商品和1 件乙商品需要190 元；购买2 件甲商品和3 件乙商品需要220 元. 而店庆期间，购买10件甲商品和10 件乙商品仅需735 元，这比打折前少花多少钱？
解题秘方：分析解决问题的关键是求打折前甲、乙两商品的单价，采取间接设未知数的方法解决问题.
解：设打折前，甲商品的单价为x 元，乙商品的单价为y 元，由题意得 解得则打折前，购买10 件甲商品和10 件乙商品需要10×(50+40)=900(元).因为打折后实际花费735 元，所以这比打折前少花900－735=165 (元).
12-1. 某天，一蔬菜经营户用90 元钱从蔬菜批发市场批发了西红柿和豆角共40 kg 到菜市场去卖，西红柿和豆角这天的批发价与零售价如下表所示：
问：(1)批发的西红柿和豆角的质量各是多少？(列二元一次方程组求解)
(2)他当天卖完这些西红柿和豆角能赚多少钱？
解：他当天赚的钱＝(3.5－2.5)×30＋(2.8－1.5)×10＝43(元)．答：他当天卖完这些西红柿和豆角能赚43元．
某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1 000 元；经粗加工后销售，每吨利润可达4 500 元；经精加工后销售，每吨利润涨至7 500 元. 当地一家公司收购这种蔬菜140 吨，该公司的加工生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16 吨；
如果进行精加工，每天可加工6 吨，但两种加工方式不能同时进行，并且受季节条件的限制，公司必须在15 天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司设计了三种加工方案：
方案一：将蔬菜全部进行粗加工；方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，并将没有来得及加工的蔬菜在市场上全部销售；方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15 天内完成.你认为哪种方案获利最多？为什么？
解题秘方：分别求出三种方案的利润，进行比较选择，求利润时，找出与利润相关的未知量去设未知数.
方法点拨解决优化方案问题，首先要列举出所有可能的方案，再按题中的要求分别求出每种方案的具体结果，从中选择最优方案.
解：方案一：获利为4 500×140=630 000(元).方案二： 获利为7 500×6×15+1 000×(140－6×15)=725 000(元).方案三：设将x 吨蔬菜进行精加工，y 吨蔬菜进行粗加工.
由题意，得 解得所以获利为7 500×60+4 500×80=810 000（元）.因为630 000<725 000<810 000，所以方案三获利最多.
13-1. 一家商店进行装修，若请甲、乙两人同时施工，8 天可以完成，需付给两人费用共3 520元；若先请甲单独做6 天，再请乙单独做12 天可以完成，需付给两人费用共3 480 元，问：
(1)甲、乙两人单独工作一天，商店应各付费用多少元？
(2)已知甲单独完成需要12 天，乙单独完成需要24 天，单独请谁，商店应付费用较少？
解：请甲单独工作需付费用300×12＝3 600(元)，请乙单独工作需付费用140×24＝3 360(元)，因为3 600＞3 360.所以请乙单独做，商店应付费用较少．
(3)若装修完后，商店每天可盈利200 元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由.
解：①由(2)知，甲单独做12天完成，需付款3 600元，乙单独做24天完成，需付款3 360元，由于甲装修完比乙装修完商店早开张12天，12天可以盈利200×12＝2 400(元)，即选择甲装修相当于只付装修费用1 200元，所以选择甲单独工作比选择乙单独工作合算．
②由题知，甲、乙合作需8天完成，需付款3 520元，又比甲单独工作少用4天，4天可以盈利200×4＝800(元)，3 520－800＝2 720(元)，这又比甲单独工作12天合算．综上所述，选择甲、乙两人合作的方案最佳．
列二元一次方程组解应用题的基本步骤列方程组解应用题的常见题型建立二元一次方程组的模型对实际问题进行判断或方案设计
列二元一次方程组解应用题的基本步骤
1. 基本思想方法：(1)列方程组解应用题是把“未知”转化成“已知”的过程；它的关键是把未知量与已知量联系起来，找出题目中的等量关系列方程组.
(2)一般情况下，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等 .
2. 列二元一次方程组解应用题的一般步骤：(1)审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题；(2)设：分析已知量和未知量，并用字母表示其中的两个未知量(设元)；(3)找：找出能表示题意的两个等量关系；(4)列：根据等量关系列出方程组；(5)解：解这个方程组，求出未知数的值；(6)答：检验所求解是否符合实际意义，写出答案.
特别解读找等量关系的方法：1. 抓住题目中的关键词，常见的关键词有：“比”“是”“等于”等；2.根据常见的数量关系，如体积公式、面积公式等，找等量关系；3. 挖掘题目中的隐含条件，如飞机沿同一航线航行，顺风航行与逆风航行的路程相等；4. 借助列表格、画线段示意图等方法找等量关系.
某船的载质量为300 吨，容积为1 200 立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6 立方米，乙种货物每吨体积为2 立方米，要充分利用这艘船的载质量和容积，甲、乙两种货物应各装多少吨？
解题秘方：分析题目中已知量和未知量，找准题目中的等量关系，列出方程组解决问题.
解：设甲种货物应装x 吨，乙种货物应装y 吨.由题意，得 解得答：甲、乙两种货物应各装150 吨.
1-1. 某校决定组织全校600 名师生去郊游，租用10 辆大客车和8辆小客车，恰好全部坐满. 已知每辆大客车的座位数比每辆小客车多15 个. 若设每辆大客车有x 个座位，每辆小客车有y 个座位，则可列方程组为________________ .
列方程组解应用题的常见题型
根据在实际问题中等量关系的不同类型，归纳出应用题几种常见题型：(1)和、差、倍、分问题；(2)数字问题；(3)配套问题；(4)销售问题；(5)行程问题；(6)百分比问题；(7)古代算术问题；(8)几何图形问题.
特别提醒不同类型的问题中都有各自的代表性词语，如配套问题中的“配套”，销售问题中的“售价”“标价”“折扣”等等.
某中学七年级甲、乙两班共有93 人，其中参加数学课外兴趣小组的共有27 人，已知甲班有 的学生、乙班有 的学生参加数学课外兴趣小组，求这两个班各有多少人.
解题秘方：紧扣人数之间的数量关系，关键是和、差、倍、分关系，建立已知量与未知量的等量关系.
解： 设甲班有x 人， 乙班有y 人， 根据题意， 得 解得答：甲班有48 人，乙班有45 人.
2-1. 某学校举行的知识竞赛共有60 道题，曾浩同学答对了x 道题，答错了y 道题(不答视为答错)，且答对题数比答错题数的7 倍还多4 道，那么下面列出的方程组中正确的是( )
有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小45；又知原百位数字的9 倍比原三位数去掉百位数字后的两位数小3，求原三位数.
解题秘方：设出数位上的数字，利用数位上的数字表示出数，根据题目中的等量关系列出方程组.
解：设原百位数字为x，原三位数去掉百位数字后的两位数为y，由题意得 解得 则4×100+39=439.答：原三位数为439.
3-1. 一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是5，若这个两位数加上9，所得的两位数的数字顺序与原来两位数的数字顺序恰好颠倒，求原两位数.
某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2 m 的某种布料可做衣身3 个或衣袖5 只，现计划用132 m 这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？
解题秘方：紧紧扣配套规则列方程，如本题衣身与衣袖(恰好配套)的数量比是1 ∶ 2.
解：设用x m 布料做衣身，用y m 布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.根据题意，得 解得答：用60 m 布料做衣身，用72 m 布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.
4-1. 某车间有技术工人85 人，平均每人每天可加工甲种部件16 个或乙种部件10 个，2 个甲种部件和3 个乙种部件配成一套，问：各安排多少人才能使每天加工的甲、乙两种部件刚好配套？
某商场购进甲、乙两种商品后，甲商品加价50%、乙商品加价40% 作为标价，适逢元旦，商场举办促销活动，甲商品打八折销售，乙商品打八五折销售. 某顾客购买甲、乙商品各1 件，共付款538 元，已知商场共盈利88 元，求甲、乙两种商品的进价各是多少元.
解题秘方：紧扣销售问题中，每个量的意义及各个量之间的数量关系列出方程组，解决问题.
解：设甲商品的进价为x 元，乙商品的进价为y 元，根据题意，得化简，得 解得答：甲商品的进价为250 元，乙商品的进价为200 元.
5-1. 一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%，如果按定价打八折出售每件可以盈利10元. 问：此商品每件的定价是多少？
张明沿公路匀速前进，每隔4 min 就迎面开来一辆公共汽车，每隔6 min 就有一辆公共汽车从背后超过他. 假定公共汽车的速度不变，而且迎面开来的相邻两车的距离和从背后开来的相邻两车的距离都是1 200 m，求张明前进的速度和公共汽车的速度.
解题秘方：分析相遇或追及问题中两者运动的路程与相隔路程之间的关系，列出方程组，解决问题.
解：设张明前进的速度是x m/min，公共汽车的速度是y m/min.根据题意，得 解得答：张明前进的速度是50 m/min，公共汽车的速度是250 m/min .
6-1. 育才中学新建的塑胶操场跑道的一圈长为400 m. 甲、乙两名运动员从同一起点同时出发，相背而跑，40 s 后首次相遇；从同一起点同时出发，同向而跑，200 s后甲首次追上乙. 求甲、乙运动员的速度.
某人骑自行车从A 地出发去B 地，先以每小时12 km的速度下坡，再以每小时9 km 的速度在平路上行驶至B 地，共用55 min；回来时他以每小时8 km 的速度通过平路后，再以每小时4 km 的速度上坡至A 地，共用1.5 h. 求A，B 两地之间的路程.
解题秘方：解决有上、下坡路程的往返问题时，虽然每段路程不变，但速度发生了改变. 根据时间总量列出方程组解决问题.
解：设从A 地到B 地的下坡路程为x km，平路路程为y km.由题意，得 解得 x+y=3+6=9.答：A，B 两地之间的路程为9 km.
7-1. 小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路每分钟走60 米，下坡路每分钟走80 米，上坡路每分钟走40 米，从家里到学校需10 分钟，从学校到家里需15 分钟.请问小华家离学校多远？
A，B 两码头相距140 km，一艘轮船在其间航行，顺水航行用了7 h，逆水航行用了10 h，求这艘轮船在静水中的速度和水流速度.
解题秘方：本题关键是找到各速度之间的关系：顺速= 静速+ 水速，逆速= 静速- 水速，再结合公式“路程= 速度×时间”列方程组求解.
解：设轮船在静水中的速度为x km/h，水流速度为y km/h.由题意，得 解得答：这艘轮船在静水中的速度为17 km/h，水流速度为3 km/h.
8-1. 一艘轮船从甲地到乙地顺流航行需4 h，从乙地到甲地逆流航行需6 h，那么一只木筏由甲地漂流到乙地需多长时间？
在当地农业技术部门的指导下，李明家增加种植菠萝的投资，使今年的菠萝喜获丰收. 如图8.3-1 是李明和他的爸爸、妈妈的一段对话.
请你用所学过的知识帮助李明算出他家今年菠萝的收入.
解题秘方：紧扣今年与去年的收入和投资之间的数量关系解题.
解：设李明家去年种植菠萝的收入为x 元，投资为y 元.由题意，得解得 所以(1+35%)x=1.35×12 000=16 200.答：李明家今年菠萝的收入为16 200 元.
9-1.[中考· 泰安] 泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A 种茶30 盒，B 种茶20 盒，共花费6 000 元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A 种茶20 盒，B 种茶15 盒， 共花费5 100 元．求第一次购进的A、B 两种茶每盒的价格.
列方程组解古算题：“巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧.三百六十四只碗，看看用尽不差争.三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹.请问先生明算者，算来寺内几多僧？”
解题秘方：先将古算题用通俗的文字叙述，然后再找等量关系，列方程组解决问题. 此题如果直接将僧人的人数设为x，那么求解较复杂，因此需采用间接设元法.
解：设饭碗有x 只，汤碗有y 只.由题意，得 解得所以3x=3×208=624.答：寺庙内共有624 位僧人.
10-1.[中考·连云港] 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八 ，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：今有几个人共同出钱购买一件物品．每人出8 钱，剩余3钱；每人出7 钱，还缺4钱．问人数、物品价格各是多少？请你求出以上问题中的人数和物品价格．
小敏做拼图游戏时发现：8 个一样大小的小长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图8.3-2 所示. 小颖看见了，也来试一试，结果拼成了如图8.3-3 所示的正方形，不过中间留下一个空白，恰好是一个边长为2 cm 的小正方形，你能算出每个小长方形的长和宽各是多少吗？
解题秘方：根据拼图方式找出小长方形的长和宽之间的数量关系.
解：设小长方形的长为x cm，宽为y cm.依题意，得 整理，得 ① ②①－② ×3 得y=6，将y=6 代入②得x=10.因此，这个方程组的解是答：每个小长方形的长为10 cm，宽为6 cm.
11-1. 刘强用8 个边长不全相等的正三角形拼成如图的图案，其中阴影部分是边长为1 cm 的正三角形. 试求出图中正三角形A、正三角形B 的边长分别是多少厘米.
建立二元一次方程组的模型对实际问题进行判断或方案设计
建立二元一次方程组的模型就是为了解决实际问题. 对某个问题要进行判断或设计方案时，关键之处在于：(1)要分析解决此问题时需要解决哪几个未知量，然后根据需要设未知数；(2)方程组的解是否符合实际问题的限制条件.
特别提醒设计方案问题应从不同角度去考虑，先考虑多种可能的方案，再根据结果合理地选择方案.
我市某超市举行店庆活动，对甲、乙两种商品实行打折销售. 打折前，购买3 件甲商品和1 件乙商品需要190 元；购买2 件甲商品和3 件乙商品需要220 元. 而店庆期间，购买10件甲商品和10 件乙商品仅需735 元，这比打折前少花多少钱？
解题秘方：分析解决问题的关键是求打折前甲、乙两商品的单价，采取间接设未知数的方法解决问题.
解：设打折前，甲商品的单价为x 元，乙商品的单价为y 元，由题意得 解得则打折前，购买10 件甲商品和10 件乙商品需要10×(50+40)=900(元).因为打折后实际花费735 元，所以这比打折前少花900－735=165 (元).
12-1. 某天，一蔬菜经营户用90 元钱从蔬菜批发市场批发了西红柿和豆角共40 kg 到菜市场去卖，西红柿和豆角这天的批发价与零售价如下表所示：
问：(1)批发的西红柿和豆角的质量各是多少？(列二元一次方程组求解)
(2)他当天卖完这些西红柿和豆角能赚多少钱？
解：他当天赚的钱＝(3.5－2.5)×30＋(2.8－1.5)×10＝43(元)．答：他当天卖完这些西红柿和豆角能赚43元．
某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1 000 元；经粗加工后销售，每吨利润可达4 500 元；经精加工后销售，每吨利润涨至7 500 元. 当地一家公司收购这种蔬菜140 吨，该公司的加工生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16 吨；
如果进行精加工，每天可加工6 吨，但两种加工方式不能同时进行，并且受季节条件的限制，公司必须在15 天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司设计了三种加工方案：
方案一：将蔬菜全部进行粗加工；方案二：尽可能多地对蔬菜进行精加工，并将没有来得及加工的蔬菜在市场上全部销售；方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15 天内完成.你认为哪种方案获利最多？为什么？
解题秘方：分别求出三种方案的利润，进行比较选择，求利润时，找出与利润相关的未知量去设未知数.
方法点拨解决优化方案问题，首先要列举出所有可能的方案，再按题中的要求分别求出每种方案的具体结果，从中选择最优方案.
解：方案一：获利为4 500×140=630 000(元).方案二： 获利为7 500×6×15+1 000×(140－6×15)=725 000(元).方案三：设将x 吨蔬菜进行精加工，y 吨蔬菜进行粗加工.
由题意，得 解得所以获利为7 500×60+4 500×80=810 000（元）.因为630 000<725 000<810 000，所以方案三获利最多.
13-1. 一家商店进行装修，若请甲、乙两人同时施工，8 天可以完成，需付给两人费用共3 520元；若先请甲单独做6 天，再请乙单独做12 天可以完成，需付给两人费用共3 480 元，问：
(1)甲、乙两人单独工作一天，商店应各付费用多少元？
(2)已知甲单独完成需要12 天，乙单独完成需要24 天，单独请谁，商店应付费用较少？
解：请甲单独工作需付费用300×12＝3 600(元)，请乙单独工作需付费用140×24＝3 360(元)，因为3 600＞3 360.所以请乙单独做，商店应付费用较少．
(3)若装修完后，商店每天可盈利200 元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由.
解：①由(2)知，甲单独做12天完成，需付款3 600元，乙单独做24天完成，需付款3 360元，由于甲装修完比乙装修完商店早开张12天，12天可以盈利200×12＝2 400(元)，即选择甲装修相当于只付装修费用1 200元，所以选择甲单独工作比选择乙单独工作合算．
②由题知，甲、乙合作需8天完成，需付款3 520元，又比甲单独工作少用4天，4天可以盈利200×4＝800(元)，3 520－800＝2 720(元)，这又比甲单独工作12天合算．综上所述，选择甲、乙两人合作的方案最佳．
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