幂函数、指数函数、对数函数比较大小专项训练

这是一份幂函数、指数函数、对数函数比较大小专项训练，共10页。试卷主要包含了比较大小，指数与对数的有关运算等内容，欢迎下载使用。

幂函数、指数函数、对数函数比较大小专项训练
一、比较大小
1．若，则a，b，c，d的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c＞d B．b＞a＞d＞c C．b＞a＞c＞d D．a＞b＞d＞c
2．三个数a＝0.32，b＝1.90.3，c＝20.3之间的大小关系是（　　）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a
3．已知幂函数f（x）＝xa满足2f（2）＝f（16），若a＝f（log42），b＝f（ln2），c＝f（），则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．b＞c＞a
4．已知幂函数f（x）＝（m﹣1）xn的图象过点（m，8）．设a＝f（20.3），b＝f（0.32），c＝f（log20.3），则a，b，c的大小关系是（　　）
A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a
5．设，则a，b，c的大小顺序是（　　）
A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a
6．比较，，的大小（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b
7．设a＝40.7，，c＝0.80.7，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．b＜c＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a
8．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a
9．设，a＝cos2θ，b＝2cosθ，c＝log2cosθ，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b
10．已知a＝log25，b＝1.2﹣0.2，c＝30.4，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c
11．设a＝log20.3，b＝log0.4，c＝0.40.3，则a、b、c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b
12．设，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
13．若m＝0.33.1，n＝3.10.3，p＝log0.33.1，则m，n，p的大小关系为（　　）
A．m＜n＜p B．n＜p＜m C．p＜m＜n D．p＜n＜m
二、指数与对数的有关运算
14．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（　　）
A． B． C． D．
15．已知a＞0，则a•＝（　　）
A． B． C．a2 D．a3
16．设a＞0，下列计算中正确的是（　　）
A． B． C． D．
17．若a＝，b＝，则a+b等于（　　）
A．﹣10 B．10 C．﹣2 D．2
18．设，且，则m＝（　　）
A．6 B． C． D．
19．已知a+＝4，则等于（　　）
A．2 B． C．﹣ D．±
20．已知x＞0，化简＝　 　．
21．＝　 　．
22．若，则的值为 　 　．
分段函数的应用
23．据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（单位：h）的函数图象如图所示，设t时刻沙尘暴所经过的路程为S（t）．
（Ⅰ）当t＝10时，求S（t）的值；
（Ⅱ）求函数S（t）的解析式；
（Ⅲ）若N城位于M地正南方向，且距M地750km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．




24．小张经营某一消费品专卖店，已知该消费品的进价为每件40元，该店每月销售量y（百件）与销售单价x（元/件）之间的关系为：y＝
职工每人每月工资为1000元，该店还应交付的其它费用为每月10000元．
（1）当销售价为每件50元时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；
（2）若该店只有20名职工，问销售单价定为多少元时，该专卖店月利润最大？并求出最大利润（利润＝收入﹣支出）



25．在2014年南京“青奥会”来临之际，某礼品加工厂计划加工一套“青奥会”纪念礼品投入市场，已知每加工一套这样的纪念品的原料成本为30元，且每套礼品的加工费用为6元，若该纪念品投放市场后，每套礼品出厂价格为x（60≤x≤100）元，根据市场调查可知，这种纪念品的日销量q与成反比，当每套礼品的出厂价为81元时，日销量为200个．
（1）若每天加工产品个数根据销量而定，使得每天加工的产品恰好销售完，求该礼品加工厂生产这套“青奥会”纪念品每日获得的利润y元与该纪念品出厂价格x元的函数关系；
（2）若在某一段时间为了增加销量，计划将每套纪念品在每天获得最大利润的基础上降低t元进行销售，但保证每日的利润不低于9000元，求t的取值范围．






26．某工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：万元）与日产量x（单位：吨）满足函数关系式C＝3+x，每日的销售额S（单位：万元）与日产量x的函数关系式：S＝，已知每日的利润L＝S﹣C，且当x＝2时，L＝3．
（1）求k的值；
（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．

2022年07月22日李煜程的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共19小题）
1．若，则a，b，c，d的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c＞d B．b＞a＞d＞c C．b＞a＞c＞d D．a＞b＞d＞c
【分析】由题意根据幂函数的单调性，得出结论．
【解答】解：∵，函数y＝是（0，+∞）上的增函数，
3＞2＞＞，∴b＞a＞c＞d，
故选：C．
【点评】本题主要考查幂函数的单调性，属于基础题．
2．三个数a＝0.32，b＝1.90.3，c＝20.3之间的大小关系是（　　）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【分析】利用幂函数和指数函数的单调性即可求解．
【解答】解：∵幂函数y＝x0.3在（0，+∞）上为增函数，
∴20.3＞1.90.3＞1.90，即c＞b＞1，
∵a＝0.32＜0.30＝1，
∴c＞b＞a，
故选：B．
【点评】本题考查了幂函数的单调性、指数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
3．已知幂函数f（x）＝xa满足2f（2）＝f（16），若a＝f（log42），b＝f（ln2），c＝f（），则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．b＞c＞a
【分析】根据题意求出幂函数f（x）的解析式，判断f（x）是定义域上的单调增函数，再比较log42、ln2和的大小，即可得出结论．
【解答】解：幂函数f（x）＝xa中，2f（2）＝f（16），
所以2×2a＝16a，即2a+1＝24a，
所以a+1＝4a，解得a＝，
所以f（x）＝，
所以f（x）是定义域为R上的单调增函数；
又a＝f（log42），b＝f（ln2），c＝f（），
且log42＝，ln2＞ln＝，＝＜，
所以＜log42＜ln2，
即f（）＜f（log42）＜f（ln2），
所以b＞a＞c．
故选：C．
【点评】本题考查了幂函数的定义与应用问题，也考查了利用函数的单调性判断大小问题，是基础题．
4．已知幂函数f（x）＝（m﹣1）xn的图象过点（m，8）．设a＝f（20.3），b＝f（0.32），c＝f（log20.3），则a，b，c的大小关系是（　　）
A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a
【分析】利用幂函数的定义，先求出f（x）的解析式，可得a、b、c的值，从而判断a，b，c的大小关系．
【解答】解：∵幂函数f（x）＝（m﹣1）xn的图象过点（m，8），
∴m﹣1＝1，且mn＝8，
求得m＝2，n＝3，故f（x）＝x3．
∵a＝f（20.3）＝20.9＞1，b＝f（0.32）＝0.36∈（0，1），c＝f（log20.3）＝＜0，
∴a＞b＞c，
故选：D．
【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
5．设，则a，b，c的大小顺序是（　　）
A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a
【分析】先判断b＞1，再化a、c，利用幂函数的性质判断a、c的大小．
【解答】解：a＝＝＜1，
b＝＞1，
c＝＝＜1；
且0＜＜＜1，函数y＝在（0，+∞）上是单调增函数，
所以＜，
所以c＜a；
综上知，c＜a＜b．
故选：A．
【点评】本题考查了利用函数的性质比较大小的问题，是基础题．
6．比较，，的大小（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b
【分析】先构造函数得到＜lnx＜﹣（x＞1），再结合分析法求解即可．
【解答】解：设f（x）＝lnx﹣（x＞1），
则f′（x）＝﹣＝＞0，
∴f（x）在（1，+∞）上为增函数，
∴f（x）＞f（1）＝0，即lnx＞（x＞1），
设g（x）＝﹣﹣lnx（x＞1），
则g′（x）＝+﹣＝＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上为增函数，∴﹣＞lnx（x＞1），
＞⇔ln＞ln＝（ln+ln）
⇔（﹣）ln＞ln⇔＞＝2+，①
∵＞＝＝＞2+，∴①显然成立，
＞⇔ln＞ln＝ln+ln⇔（﹣1）ln＞ln⇔＞＝，②
∵＞＝＝＞，∴②显然成立，
∴c＞a＞b，
故选：D．
【点评】本题考查了利用构造函数的单调性比较大小，属于中档题．
7．设a＝40.7，，c＝0.80.7，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．b＜c＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a
【分析】由指数运算化简b，再比较大小．
【解答】解：∵＝40.8，
而0.80.7＜1＜40.7＜40.8，
∴c＜a＜b，
故选：B．
【点评】本题考查了指数运算及指数函数单调性的应用，属于基础题．
8．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a
【分析】利用幂函数的单调性求出a＞c，利用指数函数的单调性求出c＞b即可．
【解答】解：∵幂函数y＝在（0，+∞）上为增函数，＞，∴a＞c，
∵指数函数y＝在R上为减函数，＞，∴c＞b，
∴a＞c＞b，
故选：B．
【点评】本题考查了幂函数，指数函数的单调性，属于基础题．
9．设，a＝cos2θ，b＝2cosθ，c＝log2cosθ，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b
【分析】先得到0＜cosθ＜1，再利用对数函数和指数函数的性质求解．
【解答】解：∵，∴0＜cosθ＜1，
∴0＜a＝cos2θ＜1，b＝2cosθ＞20＝1，
c＝log2cosθ＜log21＝0，
∴c＜a＜b，
故选：D．
【点评】本题考查余弦函数的图像与性质，对数函数和指数函数的单调性，属于基础题．
10．已知a＝log25，b＝1.2﹣0.2，c＝30.4，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c
【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．
【解答】解：a＝log25＞log24＝2，
0＜b＝1.2﹣0.2＜1.20＝1，
∵30＜30.4＜30.5＝＜2，∴1＜c＜2，
∴b＜c＜a，
故选：A．
【点评】本题考查三个数大小的比较，需注意对数函数和指数函数性质的合理运用，属基础题．
11．设a＝log20.3，b＝log0.4，c＝0.40.3，则a、b、c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b
【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．
【解答】解：∵a＝log20.3＜log21＝0，
b＝log0.4＝log2＞log22＝1，
0＜c＝0.40.3＜0.40＝1，
∴a＜c＜b，
故选：D．
【点评】本题考查三个数大小的比较，注意对数函数和指数函数性质的合理运用．
12．设，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
【分析】计算可得a＝2，再分析即可判断．
【解答】解：由题意，，
故b＜a＜c，
故选：B．
【点评】本题考查对数值的大小比较，考查学生的运算能力，属于基础题．
13．若m＝0.33.1，n＝3.10.3，p＝log0.33.1，则m，n，p的大小关系为（　　）
A．m＜n＜p B．n＜p＜m C．p＜m＜n D．p＜n＜m
【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．
【解答】解：∵0＜m＝0.33.1＜0.30＝1，
n＝3.10.3＞3.10＝1，
p＝log0.33.1＜log0.31＝0，
∴p＜m＜n，
故选：C．
【点评】本题考查三个数大小的比较，注意对数函数和指数函数性质的合理运用．
14．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据指数幂的运算法则化简判断即可．
【解答】解：对于A：﹣＝﹣x，故A不成立；
对于B：＝（x＞0），故B成立；
对于C：＝|y|，故C不成立；
对于D：[]＝（﹣x））＝（﹣x），x＜0，故D不成立．
故选：B．
【点评】本题考查了指数幂的运算，属于基础题．
15．已知a＞0，则a•＝（　　）
A． B． C．a2 D．a3
【分析】根据指数幂的运算法则即可求出．
【解答】解：a＞0，则a•＝a•a＝a＝a．
故选：B．
【点评】本题考查了指数幂的运算，属于基础题．
16．设a＞0，下列计算中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据指数幂的运算性质分别判断即可．
【解答】解：对于A：•＝≠a，故A错误，
对于B：÷＝≠a，故B错误，
对于C：＝a，故C正确，
对于D：＝a﹣1＝，故D错误，
故选：C．
【点评】本题考查了指数幂的运算性质，是基础题．
17．若a＝，b＝，则a+b等于（　　）
A．﹣10 B．10 C．﹣2 D．2
【分析】利用有理数指数幂的运算性质求解．
【解答】解：a＝＝﹣4，b＝＝6，
∴a+b＝2，
故选：D．
【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，是基础题．
18．设，且，则m＝（　　）
A．6 B． C． D．
【分析】推导出a＝，b＝log3m，从而＝＝＝2，由此能求出m的值．
【解答】解：设，则a＝，b＝log3m，
∵，
∴＝＝＝2，
∴m2＝，解得m＝．
故选：D．
【点评】本题考查实数值的求法，考查有理数指数幂、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19．已知a+＝4，则等于（　　）
A．2 B． C．﹣ D．±
【分析】推导出（）2＝a+﹣2，由此能求出的值．
【解答】解：∵a+＝4，
∴（）2＝a+﹣2＝4﹣2＝2，
∴＝．
故选：D．
【点评】本题考查指数式化简求值，考查指数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
二．填空题（共3小题）
20．已知x＞0，化简＝　x　．
【分析】由已知结合幂的运算性质即可求解．
【解答】解：＝x＝x．
故答案为：x．
【点评】本题主要考查了指数幂的运算性质，属于基础题．
21．＝　3　．
【分析】利用有理数指数幂的运算性质化简即可求解．
【解答】解：原式＝[（）3]﹣＝+1＝2+1＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了有理数指数幂以及根式的运算性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．
22．若，则的值为 　2　．
【分析】先把指数式化为对数式，再利用对数的运算性质求解即可．
【解答】解：∵，∴a＝，b＝，
∴＝＝+＝＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，属于基础题．
三．解答题（共5小题）
23．据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（单位：h）的函数图象如图所示，设t时刻沙尘暴所经过的路程为S（t）．
（Ⅰ）当t＝10时，求S（t）的值；
（Ⅱ）求函数S（t）的解析式；
（Ⅲ）若N城位于M地正南方向，且距M地750km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．

【分析】（Ⅰ）先求出线段OA的解析式为v＝4t，然后把t＝10直接代入求出此时的速度，即可求出S（t）的值；
（Ⅱ）先分段求出速度v与时间t的函数函数关系，再分别乘以时间即可求得对应的函数S（t）的解析式；
（Ⅲ）先由分段函数的解析式以及对应的定义域可以求得其最大值，发现其最大值大于750，即可下结论会侵袭到N城，再把S（t）＝750代入即可求出对应的t．
【解答】解：（Ⅰ）线段OA的解析式为v＝4t（0≤t≤10）
当t＝10时，v＝40，则S＝×10×40＝200（km）；（3分）
（Ⅱ）线段OA的解析式为v＝4t（0≤t≤10），则S＝×t×4t＝2t2（5分）
线段AB的解析式为v＝40（10＜t≤20），
则S＝×10×40+40（t﹣10）＝40t﹣200，（7分）
线段BC的解析式为v＝﹣4（t﹣30）（20＜t≤30）
S＝800﹣×（t﹣30）[﹣4（t﹣30）]＝﹣2（t﹣30）2+800（9分）
所以S（t）＝（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知函数S（t）的最大值．
因为S（t）max＝800（km），所以这场沙尘暴会侵袭到N城；（12分）
由S（t）＝750求得t＝25，所以在沙尘暴发生25小时后它将侵袭到N城．（13分）
【点评】本题主要考查分段函数的应用以及函数在生活中的应用问题，是数学与实际生活的结合，属于中档题目．
24．小张经营某一消费品专卖店，已知该消费品的进价为每件40元，该店每月销售量y（百件）与销售单价x（元/件）之间的关系为：y＝
职工每人每月工资为1000元，该店还应交付的其它费用为每月10000元．
（1）当销售价为每件50元时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；
（2）若该店只有20名职工，问销售单价定为多少元时，该专卖店月利润最大？并求出最大利润（利润＝收入﹣支出）
【分析】（1）当销售价为每件50元时，从而可得y＝40（百件），从而求职工人数；
（2）设销售单价定为x元时，该专卖店月利润为f（x）元，从而得到f（x）＝；从而分别求最值即可得到最值．
【解答】解：（1）当销售价为每件50元时，
y＝﹣2×50+140＝40（百件），
该店月销售收入为（50﹣40）×40×100＝40000元，
故该店的职工人数为＝30人；
（2）设销售单价定为x元时，该专卖店月利润为f（x）元，
则f（x）＝（x﹣40）•y×100﹣20×1000﹣10000
＝；
当40≤x≤60时，
当x＝55时有最大值，f（55）＝15000；
当60＜x≤80时，
当x＝70时有最大值，f（70）＝15000；
故当销售单价定为55元或70元时，该专卖店月利润最大，最大利润为15000元．
【点评】本题考查了分段函数在实际问题中的应用，属于中档题．
25．在2014年南京“青奥会”来临之际，某礼品加工厂计划加工一套“青奥会”纪念礼品投入市场，已知每加工一套这样的纪念品的原料成本为30元，且每套礼品的加工费用为6元，若该纪念品投放市场后，每套礼品出厂价格为x（60≤x≤100）元，根据市场调查可知，这种纪念品的日销量q与成反比，当每套礼品的出厂价为81元时，日销量为200个．
（1）若每天加工产品个数根据销量而定，使得每天加工的产品恰好销售完，求该礼品加工厂生产这套“青奥会”纪念品每日获得的利润y元与该纪念品出厂价格x元的函数关系；
（2）若在某一段时间为了增加销量，计划将每套纪念品在每天获得最大利润的基础上降低t元进行销售，但保证每日的利润不低于9000元，求t的取值范围．
【分析】（1）根据已知条件，代入求出比例系数，进而可得纪念品每日获得的利润y元与该纪念品出厂价格x元的函数关系；
（2）根据（1）中函数解析式，求出每套纪念品在每天获得最大利润的定价，再求出每日的利润不低于9000元的定价范围，可得答案．
【解答】解：（1）∵纪念品的日销量q与成反比，
∴设q＝，
又∵当每套礼品的出厂价为81元时，日销量为200个．
故200＝，解得：k＝1800，
∴q＝，
则每日获得的利润y元与该纪念品出厂价格x元的函数关系为：y＝（x﹣30﹣6）＝（x﹣36），（60≤x≤100），
（2）∵y＝（x﹣36）＝1800﹣，（60≤x≤100）为增函数，
故当x＝100时，函数取最大值，
（x﹣36）≥9000，即，即，
解得：，
即：81≤x≤100；
则t∈[0，19]
【点评】本题考查的知识点是函数的应用，根据已知得到函数的解析式，是解答的关键，解答时一定要注意自变量的取值范围．
26．某工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：万元）与日产量x（单位：吨）满足函数关系式C＝3+x，每日的销售额S（单位：万元）与日产量x的函数关系式：S＝，已知每日的利润L＝S﹣C，且当x＝2时，L＝3．
（1）求k的值；
（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．
【分析】（1）结合已知中C＝3+x，S＝，L＝S﹣C，当x＝2时，L＝3，构造关于k的方程，解得答案．
（2）结合二次函数的图象和性质，分析利润的最大值，可得答案．
【解答】解：（1）∵当x＝2时，L＝S﹣C＝﹣5＝3，解得k＝18，
（2）由（1）得：L＝S﹣C＝，
当0＜x＜6时，L＝，
L′＝2+，
令L′＝0，则x＝5，或x＝11（舍去），
当0＜x＜5时，L′＞0，L为增函数，当5＜x＜6时，L′＜0，L为减函数，
故当x＝5时，L取最大值6；
当x≥6时，L＝的图象是开口朝下，且以直线x＝8为对称轴的抛物线，
故当x＝8时，函数取最大值：，
综上所述，当x＝5时，L取最大值6；
即日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大，最大值为6万元．
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，分段函数的最值，二次函数的图象和性质，难度中档．
27．（1）已知2x﹣2﹣x＝3，求4x+4﹣x的值；
（2）化简并计算．
【分析】（1）利用指数幂的运算性质即可得出．
（2）利用指数幂的运算性质，对数的运算法则求解即可．
【解答】解：（1）∵2x﹣2﹣x＝3，
∴4x+4﹣x＝（2x﹣2﹣x）2+2＝9+2＝11．
（2）原式＝+﹣lg24﹣2lg5+1＝2+﹣2（lg2+lg5）+1＝2+﹣2+1＝．
【点评】本题考查了指数幂的运算性质，对数的运算法则，属于基础题．
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