高中数学教学论文-点击圆锥曲线中的最值问题

点击圆锥曲线中的最值问题最值问题是圆锥曲线中的典型问题，它是教学的重点也是历年高考的热点。解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义，而且要善于综合应用代数、平几、三角等相关知识。以下从五个方面予以阐述。一．求距离的最值例1.设AB为抛物线y=x2的一条弦，若AB=4，则AB的中点M到直线y+1=0的最短距离为           ，解析：抛物线y=x2的焦点为F（0 ，），准线为y=，过A、B、M准线y=的垂线，垂足分别是A1、B1、M1，则所求的距离d=MM1+=(AA1+BB1) +=(AF+BF) +≥AB+=×4+=,当且仅当弦AB过焦点F时，d取最小值，评注：灵活运用抛物线的定义和性质，结合平面几何的相关知识，使解题简洁明快，得心应手。二．求角的最值例2．M，N分别是椭圆的左、右焦点，l是椭圆的一条准线，点P在l上，则∠MPN的最大值是         . 解析：不妨设l为椭圆的右准线，其方程是，点，直线PM和PN倾斜角分别为.∵∴于是 ∵     ∴   即∠MPN的最大值为.评注：审题时要注意把握∠MPN与PM和PN的倾斜角之间的内在联系.三、求几何特征量代数和的最值例3.点M和F分别是椭圆上的动点和右焦点，定点B(2,2).⑴求|MF|+|MB|的最小值. ⑵求|MF|+|MB|的最小值.解析：易知椭圆右焦点为F(4,0)，左焦点F′(-4,0)，离心率e=，准线方程x=±.⑴|MF| + |MB| = 10―|MF′ | + |MB| =10―（|MF′|―|MB|）≥10―|F′B|=10―2.  故当M，B，F′三点共线时，|MF|+|MB|取最小值10―2.⑵过动点M作右准线x=的垂线，垂足为H，则.于是|MF|+|MB|=|MH|+|MB|≥|HB|=.可见，当且仅当点B、M、H共线时，|MF|+|MB|取最小值.评注：从椭圆的定义出发，将问题转化为平几中的问题，利用三角形三边所满足的基本关系，是解决此类问题的常见思路。 例4．点P为双曲线的右支上一点，M，N分别为和上的点，则PM－PN的最大值为         .解析：显然两已知圆的圆心分别为双曲线的左焦点和右焦点.对于双曲线右支上每一个确定的点P，连结PF1，并延长PF1交⊙F1于点Mo.则PM0为适合条件的最大的PM，连结PF2,交⊙F2于点No.则PN0为适合条件的最小的PN.于是故PM－PN的最大值为6.评注：仔细审题，合理应用平面几何知识，沟通条件与所求结论的内在联系，是解决本题的关键.例5．已知e1，e2分别是共轭双曲线和的离心率，则e1+e2的最小值为        .解析： 考虑到，故得.  即e1+e2的最小值为.评注：解题关键在于对圆锥曲线性质的准确理解，并注意基本不等式等代数知识的合理应用.四、求面积的最值例6．已知平面内的一个动点P到直线的距离与到定点的距离之比为，点，设动点P的轨迹为曲线C.⑴求曲线C的方程；⑵过原点O的直线l与曲线C交于M，N两点.求△MAN面积的最大值.解析：⑴设动点P到l的距离为d，由题意根据圆锥曲线统一定义，点P的轨迹C为椭圆.∵,    可得  ∴故椭圆C的方程为：⑵若直线l存在斜率，设其方程为l与椭圆C的交点  将y=kx代入椭圆C的方程并整理得.  ∴ 于是             又 点A到直线l的距离  故△MAN的面积  从而       ①当k=0时，S2=1得S=1    ②当k>0时，S2<1得S<1    ③当k<0时，  得    若直线l不存在斜率，则MN即为椭圆C的短轴，所以MN=2.  于是△MAN的面积.    综上，△MAN的最大值为.评注：本题将△MAN的面积表示为l的斜率k的函数，其过程涉及弦长公式和点到直线距离等解析几何的基础知识，在处理所得的面积函数时，运用了分类讨论的思想方法。当然，也可以将该面积函数转化为关于k的一元二次方程，由△≥0求得面积S的最大值。五.求最值条件下的曲线方程例7.已知椭圆的焦点F1(―3,0)、F2(3,0)且与直线x―y+9=0有公共点，求其中长轴最短的椭圆方程.解法1：设椭圆为=1与直线方程x―y+9=0联立并消去y得：(2 a2― 9) x2 + 18 a2 x + 90 a2―a4= 0， 由题设△=(18 a2)2―4(2 a2―9) (90 a2―a4) ≥0a4―54 a2 + 405 ≥0a2≥45或a2≤9.∵a2－9> 0, ∴a2≥45, 故amin=3，得（2a）min=6,此时椭圆方程为.解法2：设椭圆=1与直线x―y+9=0的公共点为M(acosα,)，则acosα―+9=0有解.∵=―9cos(α+)=，∴||1≥9a2≥45,  ∴amin=3，得（2a）min=6,此时椭圆的方程.解法3：先求得F1(―3，0)关于直线x―y+9=0的对称点F(―9,6)，设直线x―y+9=0与椭圆的一个交点为M，则2a=|MF1|+|MF2| =|MF| +|MF2|≥|FF2|=6，于是(2a)min=6,此时易得： a2=45, b2=36，于是椭圆的方程为.   评注：本题分别从代数、三角、几何三种途径寻求解决。由不同角度进行分析和处理，有利于打开眼界，拓宽思路，训练思维的发散性。解决圆锥曲线中的最值问题，要熟练准确地掌握圆锥曲线的定义、性质，在此基础上，灵活合理地运用函数与方程、转化与划归及数形结合等思想方法，仔细审题，挖掘隐含，寻求恰当的解题方法。此外，解题过程力争做到思路清晰、推理严密、运算准确、规范合理。