高中数学 三角函数多选压轴小题（有答案）

三角函数多选压轴小题

一.图像类

1．函数图象与轴交于点，且为该图像最高点，则（    ）

A．

B．的一个对称中心为

C．函数图像向右平移个单位可得图象

D．是函数的一条对称轴

2．函数的图象如图所示，则（    ）

A．

B．

C．f（x）的一条对称轴为

D．f（x）的图像向左平移个单位可得到的图像

二.平移类

3．已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则（    ）

A．的图象关于轴对称 B．的最小正周期是

C．的图象关于点对称 D．在上单调递减

4．已知函数，下列说法正确的是（    ）

A．函数的图像可以由的图像向右平移个单位得到

B．函数的一条对称轴是

C．函数的对称中心是

D．函数的单调递增区间是

三.零点相关

5．已知函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值可以为（    ）

A． B． C．1 D．2

6．已知函数，ω>0．若函数在上恰有2个零点，则ω的可能值是（    ）

A． B． C． D．

四.最值类

7．若函数在区间内不存在最小值，则的值可以是（    ）

A． B． C． D．

8．函数的图象在上恰有两个最大值点，则可能为（    ）

A．2π B． C．3π D．

五.实际应用型

9．衢州市柯城区沟溪乡余东村是中国十大美丽乡村，也是重要的研学基地，村口的大水车，是一道独特的风景.假设水轮半径为4米（如图所示），水轮中心O距离水面2米，水轮每60秒按逆时针转动一圈，如果水轮上点P从水中浮现时（图中）开始计时，则（    ）

A．点P第一次达到最高点，需要20秒

B．当水轮转动155秒时，点P距离水面2米

C．在水轮转动的一圈内，有15秒的时间，点P距水面超过2米

D．点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为

10．水车是我国劳动人民创造发明的一种灌溉工具，作为中国农耕文化的组成部分，充分体现了中华民族的创造力，见证了中国农业文明．水车的外形酷似车轮，在轮的边缘装有若干个水斗，借助水势的运动惯性冲动水车缓缓旋转，将水斗内的水逐级提升．如图，某水车轮的半径为米，圆心距水面的高度为米，水车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动圈，当其中的一个水斗到达最高点时开始计时，设水车转动（分钟）时水斗距离水面的高度（水面以上为正，水面以下为负）为（米），下列选项正确的是（    ）

A． B．

C．若水车的转速减半，则其周期变为原来的 D．在旋转一周的过程中，水斗距离水面高度不低于米的时间为秒

六.奇偶性相关

11．已知函数，则（    ）

A．函数的最小正周期是

B．函数的最小值是2

C．函数是奇函数

D．函数在(，)上单调递增

12．已知函数，关于函数说法正确的是（    ）

A．函数为偶函数 B．函数的定义域为

C．函数的值域为 D．函数为周期函数

七.交点个数类

13．函数，对于任意的，方程仅有一个实数根，则m的取值可以为（    ）

A． B． C． D．

14．函数的图像与直线有且只有两个不同的交点，则的取值不可能是（   ）

A．1 B．2 C．3 D．-1

八.含绝对值型

15．已知函数，则有（    ）

A．是的一个对称中心

B．的最小正周期为

C．的图像关于直线对称

D．在区间上单调递减

16．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．是以为周期的周期函数

B．在上单调递减

C．的值域为

D．存在两个不同的实数，使得为偶函数

答案

1．函数图象与轴交于点，且为该图像最高点，则（    ）

A．

B．的一个对称中心为

C．函数图像向右平移个单位可得图象

D．是函数的一条对称轴

【答案】AB

【分析】利用待定系数法分别求出，注意，从而可求出函数的解析式，再利用代入检验法结合正弦函数的对称性即可判断BD；根据平移变换的原则即可判断C.

【详解】解：因为为该图像最高点，

所以，

又函数的图象与轴交于点，

则，

又，所以，

则

，

则，

所以，

由图可知，所以，

所以，

所以，故A正确；

对于B，因为，所以的一个对称中心为，故B正确；

对于C，函数图像向右平移个单位可得图象，故C错误；

对于D，不是最值，所以不是函数的一条对称轴，故D错误.

故选：AB.

2．函数的图象如图所示，则（    ）

A．

B．

C．f（x）的一条对称轴为

D．f（x）的图像向左平移个单位可得到的图像

【答案】ABD

【分析】首先根据图象求出解析式，然后逐一判断即可.

【详解】由题图可得，解得，A正确.

∴，把（，1）代入得，∵，∴，B正确.

，不是整数，C错

f（x）的图像向左平移个单位可得，D正确

故选：ABD

3．已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则（    ）

A．的图象关于轴对称 B．的最小正周期是

C．的图象关于点对称 D．在上单调递减

【答案】BCD

【分析】根据余弦函数图象的平移变换可得的解析式，结合余弦函数的奇偶性、周期、对称性以及单调性一一判断各选项，即可得答案.

【详解】将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，则,

该函数不是偶函数，最小正周期为，则A错误，B正确.

令，，解得，，当时，，

即的图象关于点对称，则C正确.

令，，解得，，

当时，即得在上单调递减，则D正确.

故选：BCD.

4．已知函数，下列说法正确的是（    ）

A．函数的图像可以由的图像向右平移个单位得到

B．函数的一条对称轴是

C．函数的对称中心是

D．函数的单调递增区间是

【答案】BD

【分析】由三角函数图象变换与性质对选项逐一判断，

【详解】对于A，的图像可以由的图像向右平移个单位得到，故A错误，

对于B，，为最大值，故B正确，

对于C，由得，

函数的对称中心是，故C错误，

对于D，由得，

函数的单调递增区间是，故D正确，

故选：BD

5．已知函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值可以为（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】BD

【分析】根据正弦函数的零点，结合的取值范围，即可容易求得结果.

【详解】令，则，解得，

又因为，故，

故，

又函数在区间上有且仅有一个零点，

故当时，，或当时，；

结合选项可知：可以为或.

故选：BD.

6．已知函数，ω>0．若函数在上恰有2个零点，则ω的可能值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】由题设知上恰好有2个零点，根据正弦函数的性质得求范围，进而判断可能值.

【详解】时，上恰好有2个零点，

∴，则，故B、C、D中的对应值在内.

故选：BCD

7．若函数在区间内不存在最小值，则的值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】先求函数的最小值点，由区间内不存在最小值，判断区间端点与最近的最小值点的大小，解出的取值范围，最后根据范围选择可能的取值即可.

【详解】令，得为函数的最小值点，

当时，是区间右侧第一个最小值点，

因为区间内不存在最小值，

所以，满足条件的的值有，.

故选：CD.

8．函数的图象在上恰有两个最大值点，则可能为（    ）

A．2π B． C．3π D．

【答案】BC

【分析】根据的取值范围，求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得.

【详解】解：函数，

，．

又函数在上恰有两个最大值点，

，解得．

故选：BC．

9．衢州市柯城区沟溪乡余东村是中国十大美丽乡村，也是重要的研学基地，村口的大水车，是一道独特的风景.假设水轮半径为4米（如图所示），水轮中心O距离水面2米，水轮每60秒按逆时针转动一圈，如果水轮上点P从水中浮现时（图中）开始计时，则（    ）

A．点P第一次达到最高点，需要20秒

B．当水轮转动155秒时，点P距离水面2米

C．在水轮转动的一圈内，有15秒的时间，点P距水面超过2米

D．点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为

【答案】ABD

【分析】先根据题意求出点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式，再从解析式出发求解ABC选项.

【详解】如图所示，过点O作OC⊥水面于点C，作OA平行于水面交圆于点A，过点P作PB⊥OA于点B，则因为水轮每60秒按逆时针转动一圈，故转动的角速度为（），且点P从水中浮现时（图中）开始计时，t（秒）后，可知，又水轮半径为4米，水轮中心O距离水面2米，即m，m，所以，所以，因为m，所以，故，D选项正确；

点P第一次达到最高点，此时，令，解得：（s），A正确；

令，解得：，，当时，（s），B选项正确；

，令，解得：，故有30s的时间点P距水面超过2米，C选项错误；

故答案为：ABD

10．水车是我国劳动人民创造发明的一种灌溉工具，作为中国农耕文化的组成部分，充分体现了中华民族的创造力，见证了中国农业文明．水车的外形酷似车轮，在轮的边缘装有若干个水斗，借助水势的运动惯性冲动水车缓缓旋转，将水斗内的水逐级提升．如图，某水车轮的半径为米，圆心距水面的高度为米，水车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动圈，当其中的一个水斗到达最高点时开始计时，设水车转动（分钟）时水斗距离水面的高度（水面以上为正，水面以下为负）为（米），下列选项正确的是（    ）

A． B．

C．若水车的转速减半，则其周期变为原来的 D．在旋转一周的过程中，水斗距离水面高度不低于米的时间为秒

【答案】AD

【分析】根据余弦函数，结合三角函数的性质依次判断选项即可.

【详解】由题意得，如图，轴，，

点经过分钟后到达点，则为点到水面的距离，且，

因为每分钟转2圈，所以，得角速度，

故，又，

所以，所以，

即.故A正确，B错误；

若水车的转速减半，则每分钟转动圈，所以周期变为原来的倍，因此C错误；

令，得，

解得或，Z，

当时，或，

即旋转一周的过程中(30s)，有s，水斗A距离水面高度低于7米，

所以有s的时间不低于7米，故D正确.

故选：AD.

11．已知函数，则（    ）

A．函数的最小正周期是

B．函数的最小值是2

C．函数是奇函数

D．函数在(，)上单调递增

【答案】AC

【分析】由题可得，根据三角函数的性质可判断AC，利用特值可判断BD.

【详解】因为的定义域为关于原点对称，

又，

所以函数的最小正周期是，函数是奇函数，故AC正确；

取，可得，故B错误；

因为，，故D错误.

故选：AC.

12．已知函数，关于函数说法正确的是（    ）

A．函数为偶函数 B．函数的定义域为

C．函数的值域为 D．函数为周期函数

【答案】ACD

【分析】结合函数的定义域、奇偶性、值域、周期性的知识求得正确答案.

【详解】依题意，

由于，

所以，故的定义域为（），B选项错误.

，为偶函数，A选项正确.

当时，，，

所以函数的值域为，C选项正确.

由于，是周期函数，D选项正确.

故选：ACD

13．函数，对于任意的，方程仅有一个实数根，则m的取值可以为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【分析】把转化为，利用的图像和性质解得，对照四个选项，得到正确答案.

【详解】由可得：.

因为，所以.

因为，所以.

因为对于任意的，方程仅有一个实数根，

所以，解得：.

对照四个选项，只有A、C在.

故选：AC

14．函数的图像与直线有且只有两个不同的交点，则的取值不可能是（   ）

A．1 B．2 C．3 D．-1

【答案】ACD

【分析】先把函数化简，得到利用图像法得到，对照四个选项，即可得到答案.

【详解】因为，

所以

所以函数的图像如图所示：

所以当函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点时, .

所以k的取值不可能是1,3,-1.

故选：ACD

15．已知函数，则有（    ）

A．是的一个对称中心

B．的最小正周期为

C．的图像关于直线对称

D．在区间上单调递减

【答案】BC

【分析】根据二倍角公式得到，然后利用正弦函数的图象和性质判断对称中心、最小正周期、对称轴和单调区间即可.

【详解】因为，没有对称中心，故A错；

最小正周期，故B正确；

令，得，故C正确；

令，根据得，函数在上不单调，故D错；

故选：BC.

16．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．是以为周期的周期函数

B．在上单调递减

C．的值域为

D．存在两个不同的实数，使得为偶函数

【答案】BD

【分析】A选项，验证，得到A错误

B选项，根据时，，得到，换元后得到，利用复合函数单调性求出答案；

C选项，令，此时得到，换元后得到，由求出值域；

D选项，由得到只需且，从而得到且，结合，解不等式，得到相应的：且，且，验证后得到答案.

【详解】

，所以函数的周期不为，故选项A错误；

时，，

故，令，

则，

因为，所以，故，

且t在单调递减，

又，故，开口向下，对称轴为，

故在单调递增，

由复合函数满足同增异减可知：在单调递减，B正确；

令，

若，，即，时，

，

两边平方得：，

故，

若，，即，时，

此时，

两边平方得：

此时，

综上：对于，均有，

所以变形为，

因为，所以当时，取得最大值，最大值为1，

其中，，

因为，故最小值为，

综上：的值域为，C错；

，

则，

假设为偶函数，则，

即，

只需且，

由可得：，①，或②，

其中由①得：，，不能对所有恒成立，舍去；

由②得：，

由可得：③，

由③得：，

故需要保证与同时成立，

令，解得：且，

令，解得：且，故，

取，此时，此时令，解得：，符合要求，

取，此时，此时令，解得：，舍去，

取，此时，此时令，解得：，符合要求，

综上：存在两个不同的实数，使得为偶函数，

，就是这两个实数，D正确．

故选：BD．

【点睛】三者的关系如下：

，，

，

当题目中同时出现三者或三者中的两者时，通常用换元思想来解决.