湖北省高中名校联盟2023届高三上学期第二次联合测评数学试题

这是一份湖北省高中名校联盟2023届高三上学期第二次联合测评数学试题，共10页。试卷主要包含了已知，，则，15，下列叙述正确的是等内容，欢迎下载使用。

本试题共4页，22题。满分150分。考试用时120分钟。考试时间：2022年11月15日下午15：00-17：00
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用签字笔或钢笔将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，集合，则（ ）
A.B.C.D.
2.设复数，则（ ）
A.z的虚部为B.C.z的实部为D.
3.已知x，y是任意实数，则p：是q：且的（ ）
A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
4.已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
5.已知，，则（ ）
A.B.-7C.7D.
6.已知，，则在方向上的投影向量的坐标为（ ）
A.B.C.D.
7.2022年10月16日中国共产党二十大报告中指出“我们经过接续奋斗，实现了小康这个中华民族的千年梦想，打赢人类历史上规模最大的脱贫攻坚战，历史性地解决绝对贫困问题，为全球减贫事业作出了重大贡献”，为进一步了解和巩固脱贫攻坚成果，某县选派7名工作人员到A，B，C三个乡镇进行调研活动，每个乡镇至少去1人，恰有两个乡镇所派人数相同，则不同的安排方式共有（ ）
A.1176B.2352C.1722D.1302
8.在A、B、C三个地区爆发了流感，这三个地区A、B、C分别有6%、5%、4%的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为5：7：8，现从这三个地区中任意选取一个人.则下列叙述正确的是（ ）
A.这个人患流感的概率为0.15
B.此人选自A地区且患流感的概率为0.0375
C.如果此人患流感，此人选自Ａ地区的概率为
D.如果从这三个地区共任意选取100人，则平均患流感的人数为4人
二、多项选择题（每小题有多于一个的正确选项，全答对得5分，部分答对得2分，有错误选项的得0分）
9.下列叙述正确的是（ ）
A.的最小值为
B.命题p：，的否定为：，
C.8个数据148、148、154、154、146、142、156、158的中位数为151
D.设随机变量X服从正态分布且，则
10.如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点（包括端点）.则下列结论正确的是（ ）
A.当点P在线段上运动时，三棱锥的体积为定值
B.记过点P平行于平面的平面为，截正方体截得多边形的周长为
C.当点P为中点时，异面直线与所成角为
D.当点P为中点时，三棱锥的外接球表面积为
11.已知抛物线C：过点，焦点为F，准线与x轴交于点T，直线l过焦点F且与抛物线C交于P，Q两点，过P，Q分别作抛物线C的切线，两切线相交于点H，则下列结论正确的是（ ）
A.B.抛物线C的准线过点H
C.D.当取最小值时，
12.已知函数（），（），则下列说法正确的是（ ）
A.若有两个零点，则
B.若且，则
C.函数在区间有两个极值点
D.过原点的动直线l与曲线相切，切点的横坐标从小到大依次为：，，…，.则
三、填空题（每小题5分，共20分，把正确答案填写在答题卡相应位置上.）
13.的展开式中的系数为_______________.
14.设双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，若过点且斜率为的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则该双曲线的离心率的取值范围为_______________.
15.已知数列满足，，且，则______________.
16.若不等式对任意恒成立，则a的取值范围是_______________.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知等差数列中，首项，公差，，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，设数列的前n项和为，，求正整数n的最大值.
18.（12分）
中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，.
（1）求角B；
（2）若边上的点D满足，，求的面积.
19.（12分）
如图1，在直角梯形中，，，，，沿、、将，，折起，使得、、三点重合在一起，得到图2所示三棱锥.
（1）求三棱锥的体积；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
20.（12分）
国庆节期间某商场开展了一项促销活动，凡在商场消费金额满200元的顾客可以免费抽奖一次，抽奖的规则如下：箱子内装有10张大小、形状、材质完全相同的卡片，其中写有“喜”“迎”“国”“庆”的卡片各两张，另两张是没有写汉字的空白卡片；顾客抽奖时，一次性抽取4张卡片，抽完后卡片放回，记抽出的四张卡片上的汉字的个数为n（若出现两个相同的汉字，则只算一个，如抽出“迎”“迎”“国”“庆”，则），若则中一等奖，则中二等奖，则中三等奖，时没有奖励。商场规定：一等奖奖励20元购物券，二等奖奖励10元购物券，三等奖奖励5元购物券.
（1）求某位顾客中一等奖的概率；
（2）若某位顾客可以抽奖2次，记2次抽奖所获购物券的总金额为X，求X的数学期望.
21.（12分）
已知椭圆：（）的离心率为，的长轴的左、右端点分别为、，与圆上点的距离的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）一条不垂直坐标轴的直线交于C、D两点（C、D位于x轴两侧），设直线、、、的斜率分别为、、、，满足，问直线是否经过定点，若过定点，求出该定点，否则说明理由.
22.（12分）
已知函数，
（1）时，求函数在上的单调区间；
（2）时，试讨论在区间上的零点个数.
湖北省高中名校联盟2023届高三第二次联合测评
数学试题参考答案与评分细则
一、选择题：
二、填空题：
13.40 14. 15.2550 16.
8.【详解】记事件D：选取的这个人患了流感，记事件E：此人来自A地区，记事件F：此人来自B地区，记事件G：此人来自C地区，
则，且D、E、F彼此互斥，
由题意可得，，，
，，，
A.由全概率公式可得；A错误；
B.，，选自A地区且患流感的概率为0.0150；B错误；
C.由条件概率公式可得.C正确.
D.从这三个地区中任意选取一个人患流感的概率为0.0485，任意选取100个人，患流感的人数设为X，则，即；D错误.
12.【详解】A.，则，令，解得，当，，在单调递减，当，，在单调递增，所以是的极小值点同时也是最小值点，即，当时，，即时，因为，所以在只有一个零点，又因为，只需证明恒成立，即可得到在内只有一个零点，所以在R上有两个零点，A正确；
B.∵
∴
∴即，.
C.结合图像知为端点，不是极值点；
D.∵，，则，设切点坐标为，则切线斜率为，则，
即，D正确.
16.【详解】∵恒成立
∴
∴
∵函数在单调递减，在单调增.
∴ ∴即.
17.【详解】（1）由题意可知：，解得
∴ ∴4分
（2）由题意可知6分
∴8分
∵解得
∴n的最大整数为161710分
18.【详解】（1）在中，由正弦定理可得：
∵ ∴
∴2分
∵ ∴
化简可得：∴ ∵ ∴4分
∴ ∴5分
备注：过程中未交代角度的范围扣1分.
（2）∵
∴
两边平方得：
∴③
在中，由余弦定理：
化简得：④，8分
由③④可得：
∴或10分
当时，，∴；
当时，，，∴；12分
19.【详解】（1），，由翻折问题的性质可得：
，，，，面
∴面 ∵，，交于一点
∴，，，根据余弦定理可得
∴5分
备注：此处未证明线面垂直直接计算结果正确扣2分.
（2）过点P在平面内作的垂线，∵面，∴以P为原点，垂线为x轴，为y轴，为x轴建立如图所示坐标系：
，，，，7分
设平面法向量为，
取，取平面的法向量11分
所以，所以二面角的余弦值为12分
20.解：（1）由题意设获一等奖的概率为P，则3分
（2）设一次抽奖所获奖励为Y，则Y的可能取值为20，10，5，0
∴，
，
9分
所以Y的分布列为：
∴11分
因为两次抽奖相互独立，所以12分
21.解：设，由题意知：，
又∵，∴
∴椭圆方程为：.4分
（2）设直线的方程为：联立方程得：
，设、，
∴，6分
∵
∴，同理
∵
∴
∴
∵
∴8分
∴即
∴
∴
∴
∴
∴或.11分
显然直线不过点
所以直线过定点12分
22.解：（1）时，，∴1分
而在上单调递增，而
∴，.
∴在上单调递减4分
（2）当时：
①时，， ∴ ∴在区间上无零点6分
②时，方程的解等价于方程的解.
时，在单调递增，
而
∴唯一使得且在单调递减，单调递增
而，
∴在上有两个零点8分
③时，，，
令，则在上单调递减
，，
唯一使得
∴在单调递增，上单调递减
而，，
∴唯一使得
∴在单调递增，上单调递减
而，
∴在上无零点.10分
④时
∴在单调递减
而，
∴唯一使得11分
综上所述：时，在区间有三个零点12分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
B
C
B
B
C
A
C
BC
ACD
ABD
ABD
Y
20
10
5
0
P