培优专题14 旋转中常见的几何模型-【核心考点突破】2022-2023学年九年级数学上册精选专题培优讲与练（人教版）

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专题14 旋转中常见的几何模型


◎类型一：“手拉手”模型
模型特征：两个等边三角形或等腰直角三角形或正方形共顶点。
模型说明：如图1，▲ABE，▲ACF都是等边三角形，可证▲AEC≌▲ABF。
如图2，▲ABD，▲ACE都是等腰直角三角形，可证▲ADC≌▲ABE
如图2，四边形ABEF，四边形ACHD都是正方形，可证▲ABD≌▲AFC

1．（2022·全国·九年级专题练习）【探究发现】（1）如图1，在四边形中，对角线，垂足是O，求证：．
【拓展迁移】（2）如图2．以三角形的边、为边向外作正方形和正方形，求证：．
（3）如图3，在（2）小题条件不变的情况下，连接，若，，，则的长_____________．（直接填写答案）


【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．
【分析】（1）根据，利用勾股定理分别求出和即可证明结论；
（2）利用正方形的性质证明△CAE≌△GAB（SAS），可得∠CEA＝∠GBA，根据∠GBA＋∠ANB＝90°等量代换求出∠EMN＝90°即可；
（3）利用勾股定理分别求出AE、CG和BE，然后利用（1）中结论求出BC即可．
【详解】解：（1）∵，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠COD＝∠BOC＝90°，
由勾股定理得：，，
∴；
（2）∵在正方形和正方形中，AC＝AG，AE＝AB，∠CAG＝∠EAB＝90°，
∴∠CAG＋∠GAE＝∠EAB＋∠GAE，即∠CAE＝∠GAB，
∴△CAE≌△GAB（SAS），
∴∠CEA＝∠GBA，
∵∠GBA＋∠ANB＝90°，∠ANB＝∠MNE，
∴∠CEA＋∠MNE＝90°，
∴∠EMN＝90°，
∴；
（3）如图3，连接CG，BE，
∵，，，
∴AC＝8，AE＝，
∴AB＝10，
∴CG＝，BE＝，
∵，
∴由（1）可知：，即，
∵BC＞0，
∴．
故答案为：．


【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理是解答此题的关键．
2．（2022·四川自贡·九年级专题练习）问题：如图1，在等边三角形ABC内，点P到顶点A、B、C的距离分别是3，4，5，求∠APB的度数？
探究：由于PA、PB、PC不在同一个三角形中，为了解决本题，我们可以将△ABP绕点A逆时针旋转60°到△ACP′处，连结P P′，这样就将三条线段转化到一个三角形中，从而利用全等的知识，求出∠APB的度数．请你写出解答过程：
应用：请你利用上面的方法解答：如图2，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点，且∠EAF=45°，求证：

【答案】探究：∠APB=150°，应用：见解析
【分析】探究：运用旋转的性质，以及全等三角形的性质得对应角相等，对应边相等，得出∠PAP′＝60°，再利用等边三角形的判定得出△APP′为等边三角形，即可得出∠APP′的度数，即可得出答案；
应用：利用已知首先得出△AEG≌△AFE，即可把EF，BE，FC放到一个直角三角形中，从而根据勾股定理即可证明．
【详解】探究：解：将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，
∴△BAP≌△CAP′，
∴AB＝AC，AP＝AP′，∠BAP＝∠CAP′，
∴∠BAC＝∠PAP′＝60°，
∴△APP′是等边三角形，
∴∠APP′＝60°，
因为BPP′不一定在一条直线上，
∴P′C＝PB＝4，PP′＝PA＝3，P′C＝PC＝5，
∴∠PP′C＝90°，
∴△PP′C是直角三角形，
∴∠APB＝∠AP′C＝∠APP′+∠P′PC＝60°+90°＝150°，
∴∠BPA＝150°；
应用：证明：把△ACF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG．连接EG．
则△ACF≌△ABG．
∴AG＝AF，BG＝CF，∠ABG＝∠ACF＝45°．
∵∠BAC＝90°，∠GAF＝90°．
∴∠GAE＝∠EAF＝45°，
在△AEG和△AFE中，
，
∴△AEG≌△AFE（SAS）．
∴EF＝EG，
又∵∠GBE＝90°，
∴BE2+BG2＝EG2，
即BE2+CF2＝EF2．

【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键．
3．（2022·重庆巴蜀中学一模）在等边中，点D在AB上，点E在BC上，将线段DE绕点D逆时针旋转60°得到线段DF，连接CF．


(1)如图（1），点D是AB的中点，点E与点C重合，连接AF．若，求AF的长；
(2)如图（2），点G在AC上且，求证：；
(3)如图（3），，，连接AF．过点F作AF的垂线交AC于点P，连接BP、DP．将沿着BP翻折得到，连接QC．当的周长最小时，直接写出的面积．
【答案】(1)AF=3
(2)见解析
(3)，详见解析

【分析】（1）由旋转知△DCF为等边三角形，再证明△BCD≌△ACF得AF=BD，求解即可；
（2）将线段CF绕C顺时针旋转60°得CH，连接EF、EH、FH，证明△CDF≌△EFH得CD=EH；再在AC上截取QP=BE，证明△ECH≌△CPD，得CH=DP，由全等及等量代换得∠DPG=∠DGP，即DP=DG，等量代换即可；
（3）过D作DH⊥BC于H，利用三角函数得EH=AD，证明△DEH≌△DAF，得∠DAF=90°，设CE=x，利用勾股定理得到△ADP周长的表达式为6+，求出最小值时对应的x值，用三角形面积公式求值即可．
(1)
解：∵△ABC为等边三角形，
∴BC=AC，∠BCA=60°，
由旋转知，∠CDF=60°，CD=CF，
∴△DCF为等边三角形，
∴CD=CF，∠DCF=60°，
∴∠DCB=∠ACF，
∴△BCD≌△ACF，
∴AF=BD，
∵D为AB中点，AB=6，
∴BD=3，
∴AF=3．
(2)
解：将CF绕C顺时针旋转60°得CH，连接CH，FH，EF，EH，CD，
在AC上截取AP=BE，连接DP，设CD交EH于M，
如图所示，


由旋转知，△DEF、△CFH为等边三角形，
∴DF=EF，CF=FH，∠DFE=∠CFH=60°，
∴∠DFC=∠EFH，
∴△DCF≌△BHF，
∴EH=CD，∠DCF=∠EHF，
由三角形内角和知，∠HMC+∠EHF=∠DCF+∠HFC，
∴∠HMC=∠HFC=60°，
∴∠DCE+∠HEC=60°，
∵∠DCP+∠DCE=60°，  
∴∠CEH=∠DCP，
∵AC=BC，AP=BE，
∴CP=CE，
∴△ECH≌△CPD，
∴CH=DP，∠DPC=∠HCE，
又∠HCE=60°+∠2，
∴∠DPC=60°+∠2，
由∠1+∠FCG=∠2+∠FCG=60°，知∠1=∠2，
又∠AGD=60°+∠1，
∴∠AGD=∠DPG，  
∴DP=DG，
∵CH=CF，
∴CF=DG．
(3)
：过D作DH⊥CB于H，连接EF，如图所示，


∵△ABC为等边三角形，
∴∠DBH=60°，∠BDH=30°，
∴BD=2BH，DH=，
∵BD=2CE，
∴BH=CE，
设BH=CE=x，则BD=2x，EH=6－2x，AD=6－2x，
由旋转知，△DEF为等边三角形，∠EDF=60°，
∴∠1+∠3=90°，DE=DF，
又∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3，
∴△ADF≌△HED，
∴∠DAF=∠DHE=90°，∠PAF=30°，AF=DH=，
∵∠AFP=90°，
∴PF=x，AP=2x，
过P作PM⊥AD于M，
则AM=x，DM=6－3x，PM=，
在Rt△PDM中，由勾股定理得：
PD=，
故△ADP周长=AD+AP+PD=6－2x+2x+=6+，
∴当x=时，周长取最小值，最小值为9，此时DP=3，
∴BD=AP=3，即D为AB中点，P为AC中点，
∴直线BP是等边△ABC对称轴，
如图所示，△BDP沿BP折叠后，Q点落在BC中点处，
则△PCQ面积=×△ABC面积=××=．
【点睛】本题考查了等边三角形性质与判定、全等三角形证明、配方法求最值、勾股定理等知识点，利用题干画出辅助线，创造三角形全等条件，是解题难点．题目综合性很强，将题目中的角度关系转化为线段间的关系是常用的解题思路．


◎类型二： “半角”模型
模型特征：大角含半角+有相等的边，通过旋转“使相等的边重合，拼 出特殊角”
模型说明：
（1）如图，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，将▲ADF绕点A顺时针旋转90°，得到▲ABG可证▲AEF≌AEG，所以可到DF+BE=EF

（2）如图，在等腰直角▲ABC中，∠MAN=45°，将▲ACN绕点A顺时针旋转90°，得到▲ABQ，可证▲AMN≌▲AMQ，所以可得CN²+BM²=MN²

（3）如图，等腰▲ABC中，AB=BC，∠DBE=将▲CBD绕点B逆时针旋转∠CBA的度数得到▲ABD’可证▲DBE≌▲D’BE。

4．（2022·河北邢台·九年级期末）学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题：
“如图1，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，求证：EF＝BE＋DF．”
小明同学的思路：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°．
把△ABE绕点A逆时针旋转到的位置，然后证明，从而可得．
，从而使问题得证．


(1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题：
如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，，直接写出EF，BE，DF之间的数量关系．
(2)【应用】如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，，求证：EF＝BE＋DF．
(3)【知识迁移】如图4，四边形ABPC是的内接四边形，BC是直径，AB＝AC，请直接写出PB＋PC与AP的关系．
【答案】(1)BE＋DF＝EF
(2)证明见解析
(3)

【分析】（1）将△ABE绕A点逆时针旋转，旋转角等于∠BAD得△，证明△AEF≌△，等量代换即得结论；
（2）将△ABE绕点A逆时针旋转，旋转角等于∠BAD，先证明∠EAF=，再证明△AEF≌△，等量代换即得结论；
（3）将△ABP绕点A逆时针旋转90°得到，先利用圆内接四边形的性质证明P，C，在同一直线上，再证明△为等腰直角三角形，等量代换即得结论．
(1)
解：结论：BE＋DF＝EF，理由如下：
证明：将△ABE绕点A逆时针旋转，旋转角等于∠BAD，使得AB与AD重合，点E转到点的位置，如图所示，


可知，
∴．
由∠ADC+∠=180°知，C、D、共线，
∵，
∴∠BAF+∠DAF=∠EAF，
∴∠+∠DAF=∠EAF=，
∴△AEF≌△，
∴EF==BE+DF．
(2)
证明：将△ABE绕点A逆时针旋转，旋转角等于∠BAD，使得AB与AD重合，点E转到点的位置，如图所示，


由旋转可知，
∴，，，．
∵∠B＋∠ADC＝180°，
∴，
∴点C，D，在同一条直线上．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵AF＝AF，
∴，
∴，即BE＋DF＝EF．
(3)
结论：，理由如下：
证明：将△ABP绕点A逆时针旋转90°得到，使得AB与AC重合，如图所示，


由圆内接四边形性质得：∠AC+∠ACP=180°，
即P，C，在同一直线上．
∴，，
∵BC为直径，
∴∠BAC=90°=∠BAP+∠PAC=∠CA+∠PAC=，
∴△为等腰直角三角形，
∴，
即．
【点睛】本题考查了旋转与全等三角形的综合应用、直径所对的圆周角是直角、圆内接四边形的性质、等腰直角三角形的判定及性质等知识点．解题关键是利用旋转构造全等三角形．
5．（2022·江苏·八年级专题练习）问题情境
在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．

特例探究
如图1，当DM＝DN时，
（1）∠MDB＝　 　度；
（2）MN与BM，NC之间的数量关系为　 　；
归纳证明
（3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明．
拓展应用
（4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为　 　．
【答案】（1）30；（2）MN＝BM+NC；（3）MN＝BM+NC，证明见解析；（4）
【分析】（1）先证明△MDN是等边三角形，则MN＝DM＝DN，再证明Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），得∠BDM＝∠CDN＝30°；
（2）由（1）得DM＝2BM，可得结论MN＝2BM＝BM+NC；
归纳证明：先证△DBM≌△DCE（HL），得DM＝DE，∠BDM＝∠CDE，再证△MDN≌△EDN（SAS），得MN＝NE，可得结论MN＝BM+CN；
拓展应用：
（3）首先根据题意利用SAS证明△DBM≌△DCE，然后证明△MDN≌△EDN，根据全等三角形对应相等通过线段之间的转化即可得到MN＝BM+NC；
（4）由（3）得到MN＝BM+NC，则△AMN的周长＝2AB，△ABC的周长＝3AB，即可得出结论．
【详解】特例探究：
解：（1）∵DM＝DN，∠MDN＝60°，
∴△MDN是等边三角形，
∴MN＝DM＝DN，
∵∠BDC＝120°，BD＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠DBM＝∠DCN＝90°，
∵BD＝CD，DM＝DN，
∴Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），
∴∠MDB＝∠NDC＝30°，
故答案为：30；
（2）由（1）得：DM＝2BM，DM＝MN，Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），
∴BM＝CN，
∴DM＝MN＝2BM＝BM+NC，
即MN＝BM+NC；
归纳证明
（3）解：猜想：MN＝BM+NC，证明如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD＝CD，∠BDC＝120°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∴∠MBD＝∠NCD＝90°．
∴∠MBD＝∠ECD＝90°，
又∵BD＝CD，BM＝CE，
∴△DBM≌△DCE（SAS），
∴DM＝DE，∠MDB＝∠EDC，
∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，
∴∠MDB+∠NDC＝60°，
∴∠EDN＝∠NDC+∠EDC＝∠MDB+∠NDC＝60°，
∴∠EDN＝∠MDN，
又∵DN＝DN，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN＝EN＝EC+NC＝BM+NC；
拓展应用
（4）解：由（1）（2）得：MN＝BM+NC，
∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+BM+NC+AN＝AB+AC＝2AB，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC的周长＝3AB，
∴△AMN的周长与△ABC的周长的比为＝，
故答案为：．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质的，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质．
6．（2022·江苏·八年级课时练习）（1）如图①，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：__________；

（2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请画出图形（除图②外），并直接写出线段，，之间的数量关系．
【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）图形见解析，
【分析】（1）延长EB到G，使BG=DF，连接AG．证明△AGE和△AEF全等，则EF=GE，则EF=BE+DF，证明△ABE和△AEF中全等，那么AG=AF，∠1=∠2，∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．从而得出EF=GE；
（2）思路和作辅助线的方法同（1）；
（3）根据（1）的证法，我们可得出DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BE-BG=BE-DF．
【详解】（1）延长至，使，连接，

∵，，
∴≌，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴≌，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
（）（）中的结论仍成立，
证明：延长至，使，

∵，，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴，,
∵，
∴，
∴即，
在和中，
，
∴≌，
∴，即．
（），
证明：在上截取使，
连接，

∵，，
∴，
∵在和中，
，
∴≌，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴，
∵，
∴．
【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定与性质，通过全等三角形来实现线段的转换是解题关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联的全等三角形.

◎类型三：构造旋转模型解题
方法指导：若一个图形中含有相等的线段和特殊的角度，通常是以等线段的公共端点为旋转中心进行旋转，使得相等的边重合，得出特殊的图形.
常见图形旋转：“等边三角形”的旋转
方法归纳：将等边三角形内的一个小三角形，旋转60度，从而使小三角形的一边与原等边三角形的边重合，连接小三角形的钝角顶点，得三角形．通过旋转将不相关的线段转化到同一个三角形中，将分散的已知条件集中起来，使问题得以解决．
7．（2021·辽宁葫芦岛·八年级期末）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
（1）如图1，若点D在边BC上，直接写出CE，CF与CD之间的数量关系；
（2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由；
（3）如图3，若点D在边CB的延长线上，请直接写出CE，CF与CD之间的数量关系．

【答案】（1）CE＋CF＝CD；（2）CF＝CE＋CD，理由见解析；（3）CD＝CE＋CF
【分析】（1）在CD上截取CH=CE，易证CEH是等边三角形，得EH=EC=CH，证明DEH≌FEC，得DH=CF，即可得出结论；
（2）先证GCE为等边三角形，再证EGD≌ECF，得到GD＝CF，又因为GD＝CG＋CD，得CF＝CG＋CD，则CF＝CE＋CD；
（3）先证GCE为等边三角形，再证CG＝CE＝EG， ∠GEC＝60°，ED＝EF，∠DEG＝∠FEC，得EGD≌ECF，则GD＝CF，即可得到CE +CF＝CD．
【详解】（1）证明：CE+CF=CD，
理由如下：在CD上截取CH=CE，连接EH，如图1所示：

∵ABC是等边三角形，
∴∠ECH=60°，
∴CEH是等边三角形，
∴EH=EC=CH，∠CEH=60°，
∵DEF是等边三角形，
∴DE=FE，∠DEF=60°，
∴∠DEH+∠HEF=∠FEC+∠HEF=60°，
∴∠DEH=∠FEC，
在DEH和FEC中，，
∴DEH≌FEC（SAS），
∴DH=CF，
∴CD=CH+DH=CE+CF，
∴CE+CF=CD；
（2）解：CF＝CE＋CD
理由如下：
∵ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，
作，交BC于点G，如图2所示

∴∠EGC＝∠B＝60°，∠GEC＝∠A＝60°，
∴∠EGC＝∠GEC＝∠ACB＝60°，
∴GCE为等边三角形，
∴CG＝CE＝EG，
∵EDF为等边三角形，
∴ED＝EF，∠DEF＝60°，
∴∠DEG＝∠FEC，
∴EGD≌ECF（SAS），
∴GD＝CF，
又GD＝CG＋CD
∴CF＝CE＋CD．
（3）∵ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
作，交BC于点G，如图所示

∴∠EGC＝∠ABC＝60°，∠GEC＝∠A＝60°，
∴∠EGC＝∠GEC＝∠ACB＝60°，
∴GCE为等边三角形，
∴CG＝CE＝EG， ∠GEC＝60°
∴∠GEC＝∠GEF +∠FEC ＝60°
∵EDF为等边三角形，
∴ED＝EF，∠DEF＝60°，
∴∠DEF＝∠GEF +∠DEG＝60°
∴∠DEG＝∠FEC，
∴EGD≌ECF（SAS），
∴GD＝CF，
又∵GD＝CD-CG，CG＝CE
∴CE +CF＝CD
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；作辅助线构建等边三角形是解题的关键，属于中考常考题型．
8．（2021·广东广州·九年级期中）如图，等边中，分别交、于点、．
（1）求证：是等边三角形；


（2）将绕点顺时针旋转（），设直线与直线相交于点．
①如图，当时，判断的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由；
②若，，当，，三点共线时，求的长．


【答案】（1）见解析；（2）①的度数是定值，为60°；②或8．
【分析】（1）根据等边三角形的性质，可得，再由 ，可得到，，从而得到 ，即可求证；
（2）根据题意，可证得，从而得到，再根据三角形的内角和等于180°，即可求解；
（3）分两种情况讨论：当，，三点共线，且在BC上方时，当，，三点共线，且在BC下方时，即可求解．
【详解】证明：（1）是等边三角形，
∴，
∵ ，
∴，，
，
∴是等边三角形；
（2）解：①的度数是定值，理由如下：
是等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE， ，
∴ ，
在和中，
，
∴ ，
∴，
又∵ ，
∴，
即的度数是定值，为60°；
②当，，三点共线，且在BC上方时，过点作，


∵是等边三角形，，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
在中，，
；
当，，三点共线，且在BC下方时.


，
综上所述，或8．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
9．（2014·甘肃兰州·中考真题）给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
（1）在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；
（2）如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．
①求证：△BCE是等边三角形；
②求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．

【答案】(1)正方形、矩形、直角梯形均可；(2)①证明见解析②证明见解析
【分析】（1）根据定义和特殊四边形的性质，则有矩形或正方形或直角梯形；
（2）①首先证明△ABC≌△DBE，得出AC=DE，BC=BE，连接CE，进一步得出△BCE为等边三角形；
②利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解．
【详解】解：（1）正方形、矩形、直角梯形均可；
（2）①∵△ABC≌△DBE，
∴BC=BE，
∵∠CBE=60°，
∴△BCE是等边三角形；
②∵△ABC≌△DBE，
∴BE=BC，AC=ED；
∴△BCE为等边三角形，
∴BC=CE，∠BCE=60°，
∵∠DCB=30°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△DCE中，
DC2+CE2=DE2，
∴DC2+BC2=AC2．
考点：四边形综合题．