2022-2023学年广东省广州市海珠区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省广州市海珠区九年级（上）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省广州市海珠区九年级（上）期中数学试卷  第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）下列图形中，既是中心对称又是轴对称的图形是(    )A.  B.  C.  D. 下列函数中，二次函数是(    )A.  B.
C.  D. 用配方法解方程，配方正确的是(    )A.  B.  C.  D. 某种植基地年蔬菜产量为吨，预计年蔬菜产量达到吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为，则可列方程为(    )A.  B.
C.  D. 抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是(    )A. 先向左平移个单位，再向上平移个单位
B. 先向左平移个单位，再向下平移个单位
C. 先向右平移个单位，再向下平移个单位
D. 先向右平移个单位，再向上平移个单位关于二次函数，下列说法中正确的是(    )A. 图象的开口向上 B. 当时，随的增大而增大
C. 图象的顶点坐标是 D. 当时，有最小值是二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是(    )A.  B. 且 C.  D. 且如图，在同一平面内，将绕点逆时针旋转到的位置．若，，则的度数为(    )A.
B.
C.
D. 下列命题：若时，一元二次方程一定有实数根；若方程有两个不相等的实数根，则方程也一定有两个不相等实数根；若二次函数，当取、时，函数值相等，则当取时函数值为；若，则二次函数的图象与坐标轴的公共点的个数是或，其中正确结论的个数是(    )A. 个 B. 个 C. 个 D. 个如图，已知的顶点坐标分别为，，，若二次函数的图象与阴影部分含边界一定有公共点，则实数的取值范围是(    )
A.  B.  C.  D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）直角坐标系中，点绕原点顺时针旋转的对称点是______．若是二次函数，则______．已知方程的一根为，则方程的另一根为______．如图，四边形内接于，已知，则等于______ ．
 抛物线的图象为，关于轴对称的图象为，和组成的图象与直线有个公共点时，的范围或值是______．已知，二次函数在上有最小值，则______． 三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
解方程：
；
．本小题分
如图，三个顶点的坐标分别为，，．
请画出关于原点中心对称的，并写出，，的坐标；
请画出关于轴对称的，则与有什么位置关系？
本小题分
如图，在中，，，，弦，垂足为点，求的长度．
本小题分
如图，一次函数与二次函数的图象交于和．
直接写出两个函数的解析式；
点为直线下方抛物线上一个动点，过作轴与交于点，当为最大值时，求点坐标．
本小题分
如图，在一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图的无盖纸盒，若纸盒的底面积是，则纸盒的高是多少？
本小题分
已知抛物线：．
求证：无论为何值，与轴总有两个不同的交点，；
若，求的值；
若，请直接写出的值．本小题分
某企业设计了一款工艺品，每件的成本是元．据市场调查，销售单价是元时，每天的销售量是件，而销售单价每降低元，每天就可多售出件，但要求销售单价不得低于成本．现公司决定降价出售．
求出每天的销售利润元与销售单价元之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
如果该企业每天的总成本不超过元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？每天的总成本每件的成本每天的销售量本小题分
【阅读理解】
六中珠江中学初三数学学习小组，在做圆的课题学习探究时发现：
三角形有五心：重心、外心、内心、垂心、旁心，其中的外心、内心、旁心是我们现在学习的圆的“心”而找“心”所用的工具“垂直平分线”和“角平分线”是年级学习内容．小组同学做了以下摘要记录
重心：三角形三条中线的交点叫做三角形重心，它是力的平衡点，重心是中线的三等分点．
外心：三角形外接圆的圆心，外心为三角形三边的垂直平分线的交点，外心到三顶点距离相等．
内心：三角形内切圆的圆心，内心为三角形三条内角平分线的交点，内心到三角形三边距离相等．
【实践探究】
图，已知中，，，．
作出的角平分线交点尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；过作，垂足为不需尺规作图；以为圆心，为半径作出的内切圆．
求出的面积；
求出内切圆的半径的长度．
图，已知中，，，，
作出的三边垂直平分线的交点尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；连接；以为圆心，为半径作出的外接圆．
以为原点，所在的直线为轴点在点右方；建立直角坐标系，求点坐标．
求出外接圆的半径的长度．
 本小题分
已知抛物线与轴交于、两点，点在点的左边，与轴交于点．
求点、的坐标；
点是抛物线上一点，且，求点的坐标；
将抛物线向上平移个单位，交线段于点，，若，求的值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 2.【答案】 【解析】解：、是一次函数，故此选项不符合题意；
B、是二次函数，故此选项符合题意；
C、是一次函数，故此选项不符合题意；
D、不是二次函数，故此选项不符合题意．
故选：．
根据二次函数的定义：形如为常数且，逐一判断即可解答．
本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
 3.【答案】 【解析】解：，
，
，
故选：．
根据一元二次方程的配方法即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
 4.【答案】 【解析】解：依题意得：．
故选：．
利用该种植基地年蔬菜产量该种植基地年蔬菜产量蔬菜产量的年平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：抛物线向左平移个单位可得到抛物线，
抛物线，再向下平移个单位即可得到抛物线．
故平移过程为：先向左平移个单位，再向下平移个单位．
故选：．
根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
 6.【答案】 【解析】解：，
图象开口向下，有最大值，图象的对称轴是轴，顶点，
故选项A、、B错误，
当时，随的增大而减小，故选项C正确，符合题意；
故选：．
根据二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确．
本题考查二次函数的图象、性质、最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 7.【答案】 【解析】解：二次函数的图象与轴有交点，
方程有实数根，
即，，由于是二次函数，故，
则的取值范围是且．
故选：．
利用有实数根，根据判别式可求出取值范围．
本题考查二次函数与一元二次方程的关系．
 8.【答案】 【解析】解：将绕点逆时针旋转到的位置，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
由旋转的性质可得，，，由等腰三角形的性质可求，由三角形内角和定理可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：当时，，则方程一定有实数根，是真命题；
方程有两个不相等的实数根，若，则方程没有两个不相等实数根，原命题是假命题；
若二次函数，当取、时，函数值相等，则当取时函数值为，是假命题；
若，则二次函数的图象与坐标轴的公共点的个数是或，是真命题；
故选：．
利用一元二次方程的根的判别式等知识分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解一元二次方程的根的判别式等知识，难度不大．
 10.【答案】 【解析】解：抛物线与轴的交点为，

，
当与是对称点时，抛物线的对称轴的位置在最右边，
对称轴时，二次函数的图象与阴影部分含边界一定有公共点，
．
故选：．
因为，根据题意得出对称轴时，二次函数的图象与阴影部分含边界一定有公共点．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题时，利用了二次函数对称轴的位置列不等式来求的取值范围，并利用数形结合的思想．
 11.【答案】 【解析】解：如图，点的对应点的坐标为．

故答案为：．
利用旋转变换的性质作出点的对应点可得结论．
本题考查旋转变换，解题的关键是正确作出图形，属于中考常考题型．
 12.【答案】 【解析】解：由题意得：，且，
解得：，
故答案为：．
根据二次函数定义可得，且，再解出的值即可．
此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．、、是常数，也叫做二次函数的一般形式．
 13.【答案】 【解析】解：设方程的另一根为，
方程的一根为，
，
解得，
方程的另一个根为，
故答案为：．
设方程的另一根为，根据根与系数的关系可得，即可确定另一个根．
本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：四边形是的内接四边形，
，

．
．
故答案为：．
根据圆内接四边形的性质求得，利用圆周角定理，得．
此题主要考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，得出的度数是解题关键．
 15.【答案】或 【解析】解：由题意可知，当直线经过抛物线与轴的交点时，和组成的图象与直线有个公共点，当直线与抛物线有一个公共点时，和组成的图象与直线有个公共点，
抛物线与轴的交点为，
把代入得，；
令，整理得，
则，
解得，
综上，和组成的图象与直线有个公共点时，的值是或，
故答案为：或．
由题意可知，当直线经过抛物线与轴的交点时，和组成的图象与直线有个公共点，当直线与抛物线有一个公共点时，和组成的图象与直线有个公共点，把交点代入，求得，令，由，即可求得．
本题考查了二次函数图象与几何变换，一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，明确当直线经过抛物线与轴的交点时，和组成的图象与直线有个公共点，当直线与抛物线有一个公共点时，和组成的图象与直线有个公共点是解题的关键．
 16.【答案】或 【解析】解：配方得，故函数图象开口向上，且对称轴为．
当，即时，当时，，解得或舍；
当，即时，当时，，解得；
当时，当时，，即
，
此种情况不存在，．
综上所述，的值是或．
故答案是：或．
分析函数图象的开口方向和对称轴，进而可分析出函数在上的增减性，结合函数的最小值为，分类讨论可求出满足条件的值．
本题考查的知识点是二次函数在定区间上的最值问题，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．
 17.【答案】解：，
，
或，
所以，；
，
，
或，
所以，． 【解析】利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一元一次方程即可；
利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一元一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
 18.【答案】解：如图所示：，即为所求，、、；

如图所示：即为所求．
根据图形可知：与的位置关系是关于轴对称． 【解析】直接利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案．
此题主要考查了旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
 19.【答案】解：如图，过点作于点，过点作于点．

，，，，
，
，，
，，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
． 【解析】如图，过点作于点，过点作于点证明四边形是矩形，求出，，再利用勾股定理求解．
本题考查勾股定理垂径定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
 20.【答案】解：把代入，得，
解得：，
，
，
，
把、代入，得：，
解得：，
；
如图，设，则，

，
，
当时，有最大值，此时，点的坐标为 【解析】运用待定系数法即可求得答案；
设，则，可得，再运用二次函数的最值即可求得答案．
本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，属于中考常考题型．
 21.【答案】解：设纸盒的高是，根据题意得：
，
解得：，不合题意，舍去，
答：纸盒的高是． 【解析】设纸盒的高是，根据长方形的面积公式列出算式，再进行求解即可．
此题考查一元二次方程的实际运用，掌握长方形的面积计算公式是解决问题的关键．
 22.【答案】证明：由题意得：，
无论为何值，与轴总有两个不同的交点，；

解：令，解得，，
则，即，
解得：或；

解：当点在点的左侧时，
当点、均在轴右侧时，
，
，解得，
当点、在轴两侧时，
则，解得，
故或．
当点在点的右侧时，
同理可得：或；
综上，或． 【解析】由题意得：，即可求解；
由，即，即可求解；
分点、均在轴右侧，点、在轴两侧两种情况，分别求解即可．
主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，解答时，要分类讨论，以防漏解．
 23.【答案】解：由题意得：


，
每件工艺品的成本是元，且销售单价不得低于成本，
，
每天的销售利润与销售单价之间的函数关系式为；
该企业每天的总成本不超过元，
，
解得：，
由得，
，
，
抛物线开口向下，
对称轴直线为，
在对称轴的右侧，随的增大而减小，
而当时，该企业每天的总成本不超过元，
当时，有最大值，最大值为：元，
故当销售单价为元时，每天的销售利润最大，最大利润为元． 【解析】根据利润等于单件的利润乘以销售量列出函数关系式，并根据题意写出自变量的取值范围；
根据每天的总成本不超过元求出自变量的取值范围，再根据中解析式和函数的性质求最大值即可．
本题考查二次函数的应用，关键是找出等量关系，写出函数解析式．
 24.【答案】解：如图所示；
过作于，
，
，
，
，
的面积；
连接，
设与切于点，与切于点，
连接，，
则，，
，是的角平分线，
，
，
；
如图所示，点即为所求；
过作于，
，
，
解得，
，
点坐标为；
延长交于，连接，
则，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
外接圆的半径的长度为． 【解析】根据作角平分线的作法作出图形即可；
过作于，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论；
连接，设与切于点，与切于点，连接，，则，，根据角平分线的性质和三角形面积公式即可得到结论；
根据线段垂直平分线的作法作出图形即可；
过作于，根据勾股定理即可得到结论；
延长交于，连接，则，根据等腰直角三角形的判定和性质即可得到结论．
本题是圆的综合题，考查了三角形的外接圆与外心，三角形的内接圆与内心，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积的计算，正确地作出图形是解题的关键．
 25.【答案】解：，解得：，
故抛物线的表达式为：，
令，解得：或，
故点、的坐标分别为：、；
当点在下方时，
，则，
则直线的表达式为：，
联立并解得：或，
故点；
当点在上方时，
过点作交于点，交于点，

直线的表达式为：
则的表达式为：，
联立并解得：，故点，点的坐标为：，
则直线的表达式为：，
联立并解得：或舍去，
故点的坐标为：，
综上，点的坐标为：或；

如图，抛物线平移后的图象为虚线部分，

则抛物线的表达式为：，
设点、的坐标分别为：、、，
则，，，
，，
∽，
，
而，，，
即，
即，而，
故，
解得：不合题意的值已舍去． 【解析】，解得：，故抛物线的表达式为：，即可求解；
当点在下方时，，则，则直线的表达式为：，联立并解得：或，即可求解；当点在上方时，的表达式为：，点，点的坐标为：，即可求解；
证明∽，则，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图象的平移、三角形形似等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．