2022-2023学年山东省淄博市张店区八年级（上）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省淄博市张店区八年级（上）期中数学试卷（五四学制）

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 若分式有意义，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 分式与的最简公分母是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 如图是甲、乙两人次投篮测试每次投篮个成绩的统计图，甲、乙两人测试成绩方差分别记作、，则下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D. 无法确定

5. 如图，边长为，的长方形的周长为，面积为，则的值为(    )
    

A.  B.  C.  D.

6. 下列各式从左到右的变形正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，例如，由图可得等式：将图所示的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式分解因式为(    )
    

A.  B.  C.  D.

8. 甲、乙两人分两次在同一粮店内买粮食，两次的单价不同，甲每次购粮千克，乙每次购粮元．若规定：谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就合算．那么这两次购粮(    )

A. 甲合算 B. 乙合算
C. 甲、乙一样 D. 要看两次的价格情况

9. 篮子里有若干苹果，可以平均分给名同学，也可以平均分给名同学为大于的正整数，用代数式表示苹果数量不可能的是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 若关于的分式方程无解，则的值为(    )

A. 或 B. 或
C. 或或 D. 或

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）

11. 当______时，分式．
12. 分解因式：______．
13. 若关于的方程有增根，则的值是______．
14. 为了解学生的睡眠状况，调查了一个班名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间条形统计图如图所示，则所调查学生睡眠时间的众数和中位数分别为______和______．
     
15. 通过对分式与分式方程一章的学习，我们知道用分式方程解决实际问题的一般步骤：请根据所给分式方程，联系生活实际，编写一个能通过列出此分式方程进行解决的实际问题：
    ______要求题目完整，题意清楚，不要求解方程
     

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    先化简，然后再从，，，，中选一个合适的数作为的值代入求值．
17. 本小题分
    解方程：
    ；
    ．
18. 本小题分
    某校为了提开初中学生学习数学的兴趣，举办“玩转数学”比赛．现有甲、乙两个小组进入决赛，评委从准备工作、研究报告、小组展示、答辩四个方面为各小组打分，各项成绩均按百分制记录，甲、乙两个小组各项得分如下表：

计算各小组的平均成绩，哪个小组的成绩高？
如果按：：：的比来计算，求各小组的成绩，哪个小组的成绩高？

19. 本小题分
    阅读下列材料：
    常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：
    
    这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
    分解因式：；
    已知的三边、、满足，判断的形状并说明理由．
20. 本小题分
    某中学在党的二十大胜利召开之际，举行“同声放歌心向党，携手欢庆二十大”唱红歌大赛，向党的二十大献礼，信心满怀向未来．八年级和九级据级部初赛成绩各选出名选手参加复赛，两个年级各选出的名选手的复赛成绩如图所示．
     

根据图示填写上表中的______，______；
结合两分年级复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个年级的复赛成绩较好；
计算两个年级复赛成绩的方差，并说明哪个年级的成绩较稳定．

21. 本小题分
    乘法公式的探究及应用．
    如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，如图，通过比较图、图阴影部分的面积，可以得到整式乘法公式：______；
    可以被和之间某两个整数整除，则这两个数分别为______．
    计算：．
     
22. 本小题分
    【阅读学习】阅读下面的解题过程：
    已知：，求的值．
    解：由知，所以，即，
    所以，故的值为．
    【类比探究】
    上题的解叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：已知，求的值．
    【拓展延伸】
    已知，，，求的值．
23. 本小题分
    为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成，已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的倍，乙公司安装间教室比甲公司安装同样数量的教室多用天．
    求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？
    已知甲公司安装费每天元，乙公司安装费每天元，现需安装教室间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过元，则最多安排甲公司工作多少天？
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：分式有意义，
则，
解得：．
故选：．
直接利用分式有意义则分母不为零，进而得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握分式有意义的条件是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，等式的左边不是一个多项式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B.，是整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.，等式的右边不是整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D.，把一个多项式转化成几个整式积的形式，属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：．
根据因式分解的意义和因式分解的方法逐个判断即可．
本题考查了因式分解的意义和如何因式分解，能熟记因式分解的定义和灵活运用因式分解的方法分解因式是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，因式分解的方法有提公因式法，公式法平方差公式和完全平方公式，十字相乘法等．
 

3.【答案】 

【解析】解：分式与的最简公分母是．
故选：．
根据最简公分母的定义即可求出答案．
本题考查了分式的最简公分母的确定方法，解题的关键是正确地对分母分解因式．
 

4.【答案】 

【解析】解：由图象可知：乙偏离平均数大，甲偏离平均数小，
所以乙波动大，不稳定，方差大，即．
故选：．
根据数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定，方差越大；数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，方差越小进行判断．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，，
；
故选：．
由长方形的周长和面积得出，，再把多项式分解因式，然后代入计算即可．
本题考查了分解因式、长方形的周长和面积的计算；利用整体法求代数式的值是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：．，故本选项不符合题意；
B.，故本选项不符合题意；
C.，故本选项不符合题意；
D.，故本选项符合题意；
故选：．
根据分式的基本性质逐个判断即可．
本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的基本性质是解此题的关键，注意：分式的基本型性质是：分式的分子和分母都乘或除以同一个不等于的整式，分式的值不变．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
画出图形，根据图形因式分解即可．
本题考查因式分解的应用，能够根据所给的单项式画出几何图形，利用等积法进行因式分解是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设第一次购粮时的单价是元千克，第二次购粮时的单价是元千克，
甲两次购粮共花费：，一共购买了粮食：千克，甲购粮的平均单价是：；
乙两次购粮共花费：元，一共购买粮食：千克，乙购粮的平均单价是：；
甲乙购粮的平均单价的差是：，
即，
所以甲购粮的平均单价高于乙购粮的平均单价，乙的购粮方式更合算，故选B．
分别算出两次购粮的平均单价，用做差法比较即可．
比较两个分式的大小，通常采用做差法，注意一个数的平方为非负数的应用．
 

9.【答案】 

【解析】解：

，
能被、整除，选项不符合题意；
不能分解成含有因式和的形式，选项符合题意；
能整除、，选项不符合题意；

，
能被、整除，选项不符合题意；
故选：．
利用整式的整除来判断即可．
本题考查了整式的除法，解题的关键是熟练掌握因式分解，整式的整除．
 

10.【答案】 

【解析】解：当时，或，
原分式方程可化为：，
去分母，得，
整理得，
分式方程无解，
，
，
把或，分别代入，
得或，
综上所述：的值为或或，
故选：．
首先最简公分母为，求出增根，在把分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程，字母系数为，满足这两个条件求出的值．
本题考查分式方程的解，掌握在本题中分式方程无解满足的两个条件：一次项系数为，最简公分母为，是解决此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：分式，
，
解得．
故答案为：．
根据分式的值为的条件列出关于的不等式组，求出的值即可．
本题考查的是分式的值为的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式，
，
故答案为：．
根据提公因式法，可得完全平方公式，根据完全平方公式，可得答案．
本题考查了分解因式，利用提公因式法得出完全平方公是解题关键，注意分解要彻底．
 

13.【答案】 

【解析】解：去分母，得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程，可得：．
故答案为：．
首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出的值，代入整式方程求出的值即可．
此题主要考查了分式方程的解法，分式方程的增根问题，解答此题的关键是要明确：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
 

14.【答案】   

【解析】解：出现了次，出现的次数最多，
所调查学生睡眠时间的众数是；
共有名学生，中位数是第、个数的平均数，
所调查学生睡眠时间的中位数是．
故答案为：，．
直接利用众数以及中位数的概念分别分析求出即可．
本题主要考查条形图的知识，熟练掌握条形统计图，中位数，众数的知识是解题的关键．
 

15.【答案】某工厂安排甲、乙两人分别生产个零件的任务，乙每天生产的零件个数是甲每天生产的零件个数的倍，且乙比甲提前天完成任务，求甲、乙每天各生产多少个零件？答案不唯一 

【解析】解：某工厂安排甲、乙两人分别生产个零件的任务，乙每天生产的零件个数是甲每天生产的零件个数的倍，且乙比甲提前天完成任务，求甲、乙每天各生产多少个零件？
故答案为：某工厂安排甲、乙两人分别生产个零件的任务，乙每天生产的零件个数是甲每天生产的零件个数的倍，且乙比甲提前天完成任务，求甲、乙每天各生产多少个零件？
由分式方程里面的数量关系编写题目即可．
此题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确编写符合题意的分式方程是解题的关键．
 

16.【答案】解：


，
，，
当时，原式． 

【解析】先算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
去分母，得．
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
的系数化为，得．
检验：当，．
这个分式方程的解是．
，
去分母，得．
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
的系数化为，得．
检验：当，．
是这个分式方程的增根．
这个分式方程无解． 

【解析】通过去分母、去括号、移项、合并同类项、的系数化为、检验、总结解决此题．
通过去分母、去括号、移项、合并同类项、的系数化为、检验、总结解决此题．
本题主要考查分式方程，熟练掌握解分式方程的解法是解决本题的关键．
 

18.【答案】解：甲组的平均值为：；
乙组的平均值为：；
所以甲组的成绩高；
甲组的成绩为：；
乙组的成绩为：，
故乙组的成绩高． 

【解析】根据算术平均数的定义列式计算可得；
根据加权平均数的定义列式计算可得．
此题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的求法是解本题的关键．
 

19.【答案】解：；


；
为等腰三角形，
理由如下：
，
，
，
或，
，，为的三边，
，
，即，
为等腰三角形． 

【解析】根据分组分解法分解题目中的因式即可解决；
根据分组分解法可以分解题目中的式子，根据三角形三边关系即可得到该三角形的形状．
本题考查分组分解法及三角形形状的判定，正确分组是求解本题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：由图可知八年级名选手的复赛成绩为：、、、、，
九年级班名选手的复赛成绩为：、、、、，
八年级名选手的复赛成绩的中位数是分，故，
九年级的众数为分，故，
故答案为：，；
八年级班成绩好些，因为八年级班的平均数和九年级班的平均数相同，但八年级班的中位数高，所八年级班成绩好些．
八年级班的方差是：；
九年级班的方差是：．
因为，
所以八年级班成绩稳定些．
观察图分别写出八年级班和九年级班名选手的复赛成绩，然后根据中位数的定义和众数的定义求解即可；
在平均数相同的情况下，中位数高的成绩较好；
根据方差公式计算即可．
本题考查了中位数、众数以及平均数的求法，同时也考查了方差公式，解题的关键是牢记定义并能熟练运用公式．
 

21.【答案】  ， 

【解析】解：在图中，阴影部分的面积是大正方形的面积小正方形的面积，即，
图中阴影部分是矩形其面积是，
所以得到乘法公式；
故答案为：



，
所以可以被和之间和两个数整除；
故答案为，．
原式






利用图中，阴影部分的面积与图中矩形面积相等，列式求解即可；
对进行计算时，可逆用乘法公式，进行运算即可；
把变成然后直接连续运用乘法公式，进行运算即可．
本题是一探究题，主要考查利用图形面积推导平方差公式，并利用平方差公式进行计算求值，解题的关键是熟练掌握平方差公式，灵活运用逆用平方差公式．
 

22.【答案】由 知，所以，
即：．
．




．
故的值为．
，，，
，
．
，
． 

【解析】利用“倒数法”取已知等式的倒数，整理得到；将所求分式取倒数，利用配方法和整体代入的方法求得式子的值，最后取倒数即可得出结论；
将已知三个等式的左右两边分别相加得到的值，将所求的分式取倒数计算出结果，利用中的方法即可得出结论．
本题主要考查了分式的加减法，倒数的意义，分式的乘除法，配方法，本题是阅读型题目，理解并熟练运用题干中的解题思想与方法是解题的关键．
 

23.【答案】解：设乙公司每天安装间教室，则甲公司每天安装间教室，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，
则，
答：甲公司每天安装间教室，乙公司每天安装间教室；
设安排甲公司工作天，则乙公司工作  天，
根据题意得：，
解得：，
答：最多安排甲公司工作天． 

【解析】设乙公司每天安装间教室，则甲公司每天安装间教室，由题意：乙公司安装间教室比甲公司安装同样数量的教室多用天．列出分式方程，解方程即可；
设安排甲公司工作天，则乙公司工作  天，由题意：甲公司安装费每天元，乙公司安装费每天元，想尽快完成安装工作且安装总费用不超过元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，列出分式方程；找出不等关系，列出一元一次不等式．