第一单元  倍数与因数

第1课时  因数、倍数

教学内容：

西师版义务教育课程标准实验教科书五年级（下册）1—4页例题及相关练习。

教学目标：

1、让学生能够结合具体情境初步理解倍数的因数的含义，初步理解倍数和因数之间是相互依存的关系。

2、依据倍数和因数的含义和已有的知识经验，自主探索找一个数倍数和因数的方法，并能总结它们各自的特点。

3、使学生在认识倍数和因数以及探索一个数的倍数或因数过程中，培养学生抽象、概括的能力,渗透事物之间相互联系、相互依存的辩证唯物主义的观点。

教学重难点：

1、认识倍数和因数的含义，理解它们之间是相互依存的关系。

2、自主探索并总结找一个数的倍数和因数的方法.

教具学具准备:

1、一张写有自己学号的卡片。

2、 教师准备多媒体课件。

教学过程：

一、创设情境,导入新课。

孩子们：看过或听过“韩信点兵”的故事吗？

教师讲述故事：（秦朝末年，楚汉相争。一次，韩信带兵1500名与楚军交战。苦战一场，楚军败退回营，汉军也死伤四五百人，于是，韩信也整兵返回大本营。当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军追来。只见远方尘土飞扬，杀声震天。汉军本已十分疲惫，顿时队伍大哗。韩信马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌军不足五百，我众敌寡，定能败敌。汉军本来就信服自己的统帅，这一来更认为韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”。于是士气大振。交战不久，楚军大败而逃。）

师：韩信厉害不？“韩信点兵”实际上也可以说是“点名”---数数，这里面可有大学问呢！想探究吗？（想）这节课我们将随着韩信点兵的故事进入第一单元的学习---倍数与因数。（板书课题）

二、师生合作，探究新知。

1. 揭示自然数的概念。

在以前的学习中，你在哪里见到过因数或倍数这两个词儿吗？（生答）今天我们要认识的因数与在乘法算式中见过的因数可有区别了，乘法算式中的因数是乘号前后两个数在算式中的名称，而今天要认识的因数是指数与数之间的联系，什么样的数之间会有怎样的联系呢？看！这里有一群数，（板书:0和1、2、3、4、5……）平时咱们都叫它们什么数来着？（整数）。在数学王国里它们还有一个特殊的名字叫——自然数（板书），本单元我们将在非零自然数中研究数与数之间许多非常有趣的联系。首先，我们一起去认识一下因数与倍数吧！

2.倍数与因数的意义。

师：请看大屏幕。（出示例1）

（1）同桌说一说：可以排成几排，每排几人？怎样列式？.

（2）抽生汇报。（师板书算式）

（3）选择一组算式揭示倍数和因数的概念。（板书）

（4）请学生选择你喜欢的一组算式说一说谁是谁的倍数，谁是谁的因数？

（5）谁也能列举一道乘法算式或除法算式说出谁是谁的倍数，谁是谁的因数？

（6）选择两个你最喜欢的数，说一说谁是谁的倍数，谁是谁的因数？学生自主选择两个数说关系并全班交流。教师提示学生能否只选一个数说关系和为什么不选0.2和4／5？

（注意强调倍数和因数都不能单独存在。）

3.找一个数的因数和倍数。

（1）找36的所有因数。

师：咱们认识了因数与倍数，接下来一起去探寻一下找一个数的因数和倍数的方法吧！看，老师在板书你们说的这些算式时，是不是讲究了一定的方法，你能说说算式排列的特点吗？（很有序）

那根据这些算式（指着黑板），你能很快说出36的所有因数吗？（学生说，老师板书）

共同总结：怎样找出36所有因数呢？一对一对地找是好法，要使得不遗漏不重复，可以用乘法看哪两个整数相乘得这个数，或用整除的方法用这个数依次尝试除以1、2、3、4……看是否得到整数商,从最小的自然数1找起，也就是从最小的因数找起，一直找到它的本身，找的过程中一对一对地找，写的时候从小到大写或一对一对地写。

（2）学生尝试找出18的所有因数。

师：已经有一些找因数的经验了，你能独立找出18的所有因数吗？试一试！

（3）抽生汇报。

（4）观察并总结因数特点。

师：通过找出36和18的所有因数，你对于一个数的因数有什么发现？揭示一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。

（5）找一个数的倍数。

师：孩子们学会了找一个数的因数的方法，会找一个数的倍数吗？先来解决这样一道题吧！（口答完成第3页试一试。）

师：请同学们观察两个例子（指着板书），看看一个数的倍数有什么特点？（先独立思考，再把自己的发现告诉同桌）

揭示一个数的倍数的个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大的倍数。

三、巩固练习。

我们已完成了今天所学的新知识，孩子们学得如何，老师想让你们大显身手，表现一下你们的学习效果。

1、想一想，说一说。

请同学们用2、4、5、7、8、9、11、20、22、54、88中的一些数，运用今天所学的知识说一句话。

2、下列说法对吗？为什么？

（1）8是倍数，2是因数。    （    ）（倍数和因数都不能单独存在）

（2）32是5的倍数。 （    ）（32不能被5整数，所以32不是5的倍数。）

（3）42能被7整除，42是7的倍数。（    ）（对）

（4）1是所有非0自然数的因数。（    ）（对）

3、游戏。

看谁反应快

游戏准备:学生按学号编成连续的自然数。(课前)

游戏规则:凡是学号符合以下要求的,请站起来,看谁反应快?

①谁的学号是30的因数？

②谁的学号是6的倍数？

③谁的学号是2的倍数？（借此激发学生后继学习兴趣的目的——探寻2、3、5的倍数特征。）

④谁的学号只有两个因数？（激发课外思考兴趣以及后继学习兴趣）

四、全课总结。

师：这节课我们一起学习了“倍数与因数”，说说你的收获？

五、回归课本。

找到所学内容并勾画重要内容。

六、课外作业布置：思考游戏中提出的问题。

七、板书设计：

第2课时  2、5的倍数特征

【教学目标】

    1、认识奇数和偶数，知道2，5的倍数特征，会判断一个数是不是2，5的倍数。

    2、经历探索2，5的倍数特征的过程和圈数、涂色、走迷宫等数学活动，培养观察、归纳、概括的能力，体验不完全归纳的数学思想。

【教学重点】

    探索2，5的倍数特征，认识奇数和偶数。

【教学难点】

    理解为什么2，5的倍数的特征与它们的个位有关。

【教学准备】

    学生搜集生活中的自然数：全校学生人数、班级人数、邮政编码、工资等。

【教学过程】

一、设疑引入

1、谈话引入

    教师：我们知道生活中的很多信息与数有关，例如全校学生人数是1876人，全年级有265人，本地区的邮政编码是400700……请同学们汇报一下课前所搜集到的生活中的自然数。

    教师根据学生的汇报板书：5，1，40，22，18，25，265，1395，1876，310016，400700，7220……

    教师：如果现在我们把黑板上的人数、邮政编码、工资都看成一个数,你们能不能马上判断出哪些数是2的倍数?哪些数是5的倍数？

    2、揭示课题

    教师：今天我们就来研究2，5的倍数究竟有什么特征。

    二、探究新知

    1、认识奇数和偶数(教学例1)

    教师：要研究2的倍数特征，就先找一些2的倍数来观察。请说说，2的倍数有哪些？(2,4，6,8，10……)2的倍数说不完，说明2的倍数有无数个。

    教师：观察2,4，6,8，10……它们是2的倍数，也就是能被2整除的数。知道这样的数叫什么吗？(偶数)偶数也就是平常所说的双数。偶数是几的倍数？偶数能被几整除？0是不是偶数呢？你是怎么想的呢？(0能被2整除,0是偶数。)

    教师：偶数有一个好朋友，知道是什么数吗？(奇数)怎样的数是奇数？(不能被2整除的数是奇数，也就是平常所说的单数。)

    试一试：哪些数是偶数？哪些数是奇数？

    16   21   34    58    70   87   92    99

    教师：判断一个数是奇数还是偶数，关键是看什么？(看这个数能不能被2整除，能被2整除就是偶数，否则就是奇数。)

    2、探索2的倍数特征

    教师：“试一试”中的2的倍数有什么特点？(个位上是0,2，4,6，8)个位上是1,3,5，7,9不行吗？请任意写一个个位上是单数的数,验证一下你们的结论。

    教师：看来2的倍数个位上一定是0，2，4，6或8。(板书:2的倍数特征是:个位上是0，2，4，6或8)

    3、探索5的倍数特征(教学例2)

    教师：5的最小倍数是多少？

    学生：是5。

    教师：你还能说出5的倍数有哪些吗？把5的倍数按从小到大的顺序排列，仔细观察，你有什么发现？

    学生：我发现这些数的个位上的数是0或5。

    教师：是不是任何自然数,只要是5的倍数,个位上一定是0或5?请同学们任意写一个5的倍数验证一下。

    小结：不管是几位数,5的倍数的个位上一定是0或5。(板书:5的倍数特征是:个位上是0或5)

    试一试(第5页)：下面哪些数含有因数5？它们是5的倍数吗？

    5    12     20     35     39

    三、课堂活动

    (1)(第5页)第1题：涂色找规律。

    按要求完成后，观察到同时涂上红色和绿色的格子里的数是10的倍数，也就是同时能被2和5整除的数。那么2和5共同的倍数有什么特点呢？(个位上是0)

    (2)(第6页)第2题：怎样才能走出迷宫？

    (3)猜一猜：一个自然数不是奇数就一定是偶数。对不对？为什么？

    得出：

    四、课堂总结

    今天这节课我们学了什么?你怎样学会的?

    五、作业

    练习二第1，2，3题。

第3课时  3的倍数特征

教学内容：

西师版数学五（下）第6—7页，课堂活动及练习二第7题

教学目标:

1、让学生经历探索3的倍数的特征的过程,掌握3的倍数的特征,能正确判断一个数是否是3的倍数.

2、让学生在探索3的倍数的特征的过程中,进一步培养观察、比较、分析、归纳、操作以及数学表达的能力。

3、感受数学思维的严谨性,激发学生学习兴趣。

教学重点:

经历探索过程，掌握3的倍数的特征。

教学难点:

探索3的倍数的特征

教学准备:

表格、圆片、多媒体等

教学过程:

一、复习引入

师：同学们，我们已经学了2和5的倍数特征，谁来说说2的倍数特征是怎样的？那5的倍数特征呢？我们要判断一个数是不是2或5的倍数，只需要看这个数的哪个部分就可以了？

师：那3的倍数特征会是怎样的呢？谁能大胆的猜测一下？（学生表达自己的看法）

预设一：

生1：个位上是3、6、9的数是3的倍数。

师：有意见吗？

（生2：不对，个位上是3、6、9的数不定是3的倍数，如l3、l6、19都不是3的倍数。

生3：另外，像60、12、24、27、18等数个位上不是3、6、9，但这些数都是3的倍数。

师：看来只观察个位不能确定是不是3的倍数，那么3的倍数到底有什么特征呢?今天我们就一起来探究3的倍数特征。揭示课题：3的倍数特征）

（师：没有意见呀，请你算一算：13、26是3的倍数吗？24、60是3的倍数吗？那只看个位能不能确定一个数就是3的倍数？那3的倍数会有什么样的特征呢?今天我们就一起来探究3的倍数特征。揭示课题：3的倍数特征）

预设二：

生：每个数位上的数字加起来能被3整除，这个数就是3的倍数。

师：你是怎么知道的呢？我们很多结论都是通过动手操作实践得出的，今天我们就通过动手操作来探究3的倍数特征。揭示课题：3的倍数特征）

二、探究新知

    1、动手操作

    师：要探究3的倍数特征，你有什么好的方法？（生发表自己的意见）

    师：用一些数来观察、比较，发现它们的规律，这种方法很好，下面我们就一起来摆数找规律。请看，老师在这个数位表上摆了一个数，是多少？想想，每个数位上最多能摆几个圆片，最少呢？待会同学们在摆的时候可以任意选择圆片的总个数摆出一位数或两位数，摆好后我们还要填写这个表格。一边摆思考：为什么组成的数有的是3的倍数，有的不是，这里面有什么规律？

（抽生汇报结果，学生说教师板书）

师：有没有用3个圆片摆的？你摆的数是几？它是3的倍数吗？有没有用4个圆片摆的……

师：观察表格，和小组的同学讨论，你有什么发现？

（抽生汇报）

生：圆片的个数是3的倍数，组成的数也是3的倍数，圆片的个数不是3的倍数，组成的数就不是3的倍数

（生若观察不出，师引导：我们来看看，组成的数是3的倍数的，用的圆片是几个？3，6，9这些数是不是3的倍数？那组成的数不是3的倍数的，那么，我们就可以说……）

师：还有什么发现？

生：用的圆片个数就是组成的数各个数位上的数字之和

师：你们听明白他的意思了吗？（生发表意见：①生：听明白了。师：那你说说他是什么意思？②生：不明白。师：那请这位同学来给我们解释一下吧）

（生若不知道，师引导：请看看圆片的个数和组成的数之间有什么联系？若再不知道，师再引导：想想21我们是怎样摆的？生：个位上摆1个圆片，十位上摆2个圆片，一共用了3个圆片。师：个位上的一个圆片代表什么？十位上的两个圆片呢？个位上的1加上十位上的2，就是……，所以这个3（教师手指）除了可以是圆片的个数，还可以是什么？生：3既是圆片的个数又是21十位上的数字和个位上数字之和）

师：你觉得什么样的数是3的倍数？

（十位上和个位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。）

2、验证结论

师：这位同学说十位上和个位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数，是不是这样的呢？下面我们一起来找找100以内3的倍数

①、请把方格中3的倍数圈起来

②、和屏幕上和对一对，你圈对了吗？

③、师抽生提问：你是怎样找到这些数的？

④、验证：同桌的一个同学随意找一个3的倍数，另一个同学把这个数个位和十位上的数字加起来，看是否是3的倍数。

⑤、汇报验证情况

师：刚才我们验证了两位数是把个位和十位上的数字加起来是3的倍数的，这个数就是3的倍数，那3位数呢？你认为应该把哪些加起来？请你随便写几个3位数来验证？（学生写数验证，汇报。）那4位数呢？

4、得出结论

师：同学们，通过刚才我们摆一摆的实验和试一试的验证，你能用完整的话说说3的倍数特征是什么？（一个数，如果各数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数）

师：那么怎样判断一个数是不是3的倍数呢？（把这个数各个数位上的数字加起来，看是不是3的倍数）

 三、练习提升

1、请你当裁判，下面这些数哪些是3的倍数？

   54、68、24、82、105、242、191、1002

2、课堂活动

师：同学们学得真棒？如果我给你一些卡处，你能任选两张组成一个两位数，使这个两位数是3的倍数吗？（提问：为什么要这样选？）

师：现在请你选择三张卡片，组成一个是3的倍数的3位数并验证

3、请你在□填上一个数字，使这个数是3的倍数，比比哪些同学的填法多

4□    □1      1□3      84□

学生填，教师提问：你是怎样找到的？

四、课堂总结

同学们，我们这节课学习了什么？3的倍数有什么特征？判断一个数是不是3的倍数，你会怎么判断？

   出示：999  问：同学们，这个数是不是3的倍数呢？你是怎样判断的？有没有更快的方法呢？

（教师介绍“弃3”倍数法）

第4课时  合数、质数

学习目标：

    1、掌握质数和合数的意义，了解1的特殊性。

    2、能判断一个数是质数还是合数，找出100以内的质数，熟记20以内的质数。

重点：

判断质数、合数的方法。

难点：

质数、合数同奇数、偶数的区别。

教学过程：

    一、课前热身

    写出1—20各数的因数。

1、质数和合数的意义

1、找出每个数的所有因数

1的因数：1                      2的因数：1，2

4的因数：1，2，4                9的因数：1 ,3,9               

11的因数：1，11                 12的因数：1,2,3,4,6,12

15的因数：1,3,5,15                29的因数：1,29

2、按因数的个数分类

只有一个因数的数：1     只有1和它本身两个因数的数：2,11,29

有两个以上因数的数：4,9,12,15

像2，11，29···只有1和它本身两个因数的数，叫做质数（或素数）。

 像4，9,12,15···除1和它本身外本身还有别的因数的数，叫做合数。

 1既不是质数，也不是合数。

二、活学活用

下面的数哪些是质数，哪些是合数？

    3   5   1   10   18   29   37   48

2把合数写成质数相乘的形式

三、问题导入

把42写成质数相乘的形式

方法一：“树枝”图式分解

1、先把42分解成两个数相乘的形式，例如把42分解成6x7。

2、7是质数，不需要再分解；6是合数，需要再分解，直到所有因数是质数为止。

3、写出分解结果。合数后面写等号，然后把分解出的质数用连乘形式写在等号后面。  42=2x3x7 

     方法二：短除法分解。

1、把要分解的数42写在短除号里。

2、用42的质因数去除，一般从最小的质因数开始，直到商是质数为止。

3、把除数和商写成相乘的形式。

四、基础巩固

     把下面各数写成质数相乘的形式。

     36    48    54    68

第5课时  公因数、最大公因数                       

学习内容：

教科书第P12例1及课堂活动第1题，练习四1-3题。

学习目标：

1、使学生在具体的操作活动中，认识公因数和最大公因数，会在集合图中分别表示两个数的因数和它们的公因数。

2、使学生学会用列举的方法找到100以内两个数的公因数和最大公因数，并能在解决问题的过程中进行有条理的思考。

3、使学生在自主探索与合作交流的过程中，进一步发展与同伴进行合作交流的意识和能力，获得成功的体验

学习重点：

认识和理解公因数。

学习难点：

能找出最大公因数。

学前准备：

长30厘米、宽12厘米的长方形纸片

学习过程：

一、经历操作活动，认识公因数

1、小组操作

思考：

（1）用长30厘米、宽12厘米的长方形纸，剪成大小相等的正方形且没有剩余，这个正方形的边长最大是多少厘米？小组试试动手.

小组合作交流：

（1）先找出12和30的因数

（2）出示相交的集合圈，让学生把8和12的因数分别填在集合图中的合适部分，再看图说说各自的想法。

（3）1、2、3、6有什么共同的特征？

教师导学：1、2、3、6既是12的因数，又是30的因数，所以它们是12和18的公因数，其中6是最大的一个公因数，叫做他们的最大公因数。

二、自主探索，用短除的方法求最大公因数

1、自主学习：

自学并上台讲解怎么求两个数的最大公因数。（提示：除到什么时候就不用继续往下面除了）

2、试一试：

（1）找出6和12的公因数和最大公因数

（2）7和9的最大公因数是多少？

三、巩固练习，加深对公因数和最大公因数的认识

1、课堂活动第1题

2、练习四1-3题

四、全课小结

提问：今天学习的是什么内容？什么是两个数的公因数和最大公因数？怎样找两个数的最大公因数？

引导：你还有什么疑问

五、教学反思

第6课时  最小公倍数

教学目标：  

1、在原有知识结构的基础上，通过自主建构，形成新的知识结构，掌握最小公倍数的意义及求法。   

2、培养学生的迁移、判断、推理、分析能力。学会反思，学会合作。   

3、培养学生的积极学习情感，学会欣赏他人。   

教学过程：   

一、再现原有知识结构    

1、用短除法求30与45的最大公因数   

独立完成，一人板演，集体订正。   

师提问：怎样用短除法求两个数的最大公约数？

二、构建新的知识结构   

1、揭示课题   

今天我们来研究最小公倍数。（板书课题）   

2、明确意义   

师：你认为什么是最小公倍数？   

生1：两个数公有的最小的倍数。   

师：说的很好，你很会扩写。（生笑）   

生2：两个数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个是它们的最小公倍数。   

生3：公倍数可以是两个数公有的倍数，也可以是三个或四个数公有的倍数。我认为应改成几个数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个是它们的最小公倍数。

师：太好了，谁能再说一遍。   

生说完师出示，齐读。   

3、探讨求法   

出示：求4与5的最小公倍数。   

师：你认为可以怎样求两个数的最小公倍数？   

生1：用短除法。（师板书：短除法）   

师：oh，你会吗？（生摇头。受求最大公约数的方法的影响，直觉让他有此想法。这种直觉思维值得呵护。）暂时不会不要紧，我们可以进一步探讨研究。还有其他方法吗？   

生2：用分解质因数的方法，但我暂时没想出来。（师板书：分解质因数）   

生3：，他们俩的方法太麻烦，我觉得把两个数直接相乘就行了。（师板书：直接相乘）   

其余学生露出惊奇与赞同的表情。   

师：你们认为他的方法怎样？   

生4：很简单。   

生5：用直接相乘的方法求4与5的最小公倍数是对的，但求其他两个数的最小公倍数就不一定对了。如10与20，10×20=200，但它们的最小公倍数是20。                  师：看来你的方法不能完全成立。   

生3：很多时候我的方法是对的。   

师：所以老师建议你课后继续研究：什么时候？你的方法是正确的？   

师：还有其他见解吗？   

生6：我认为可以用短乘法。（学生都很好奇。）   

师：短乘法！我们还真实第一次听说，你能给大家讲讲吗？   

该生主动走上讲台，边板书边讲：如10与20都2得20与40，再乘3得60与120，（板书如下）    2 × 10    20    3×20    40    60    120   

生（很多）：永远求不出来。   

生6茫然   

师：你的方法很有创意，但是……   

生7：干脆先写出一个数的倍数，再写出另一个数的倍数。通过比较找出两个数的最小公倍数。   

师：行吗？   

生：行！   

师：请你们用这种方法求出4与6的最小公倍数。   

学生独立完成，一人板演。   

4的倍数：4、8、12、16、20……   

6的倍数：6、12、18、24、30……   

4与6的最小公倍数是12   

集体订正后，师问：用集合圈怎样表示？   

学生独立完成，一人板演

生：似乎有这种嫌疑。（生笑）但我们评价别人，要指出不足，更要学会发现有价值的东西。同学们想一想：为什么用4乘3，而用6乘2呢？   

小组讨论   

生：我们小组把4与6分解质因数，4=2×2，6=2×3，比较4与6的质因数我们发现4比6少了一个质因数3，因此用4去乘它缺少的3。6比4少了一个质因数2，而用6去乘它缺少的2。   

师：你们小组善于利用学过的知识解决新问题。能讲得再慢一点吗？   

生：我能很形象的讲清楚。（主动走上讲台，边板书边讲。）4与6的最小公倍数肯定要4与6所有的质因数，4=2×2，6=2×3，所以4与6的最小公倍数应含有两个2，一个3，也就是2×2×3=12。因此要求4与6的最小公倍数只要用（2×2）×3或2×（2×3）。（学生露出会意的笑容，听课教师也情不自禁的鼓起掌来。）   

师：这么难的知识被你讲得形象生动，真了不起！同学们刚才用的方法就是用分解质因数的方法求两个数的最小公倍数。先把这两个数分解质因数，找出它们公有的质因数，再找出它们独有的质因数，然后用它们公有的质因数去乘它们独有的质因数就求出了它们的最小公倍数。

师：刚才有的同学提出用短除法求两个数的最小公倍数，下面就以小组为单位研究短除法。   

出示例2：

小组合作完成，一组板演并讲解

师提问：用什么数去除？除到什么时候为止？把哪些数相乘？为什么？   

三、巩固新的知识结构   

练习四第4题

四、小结    谈谈这节课的学习感受