人教版九年级下册第二十七章 相似27.2 相似三角形27.2.3 相似三角形应用举例教案

27.2.3　相似三角形应用举例

教学目标

【知识与技能】

1.会利用三角形相似的知识解决不能直接测量物体的高度等简单的实际问题;

2.经历把生活实际问题数学化的过程,培养学生分析问题、解决问题的能力.

【过程与方法】

通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型,进一步了解数学建模的思想.

【情感、态度与价值观】

在利用相似三角形知识解决实际问题的过程中,积累数学基本活动经验,激发学习数学的热情.

教学重难点

【教学重点】

运用相似三角形的性质解决实际问题.

【教学难点】

构造相似三角形解决实际问题.

教学过程

一、情境导入

据传说,古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理,在金字塔影子的顶部立一根木杆,借助太阳光线构成两个相似三角形,来测量金字塔的高度.

如图,如果木杆EF长2 m,它的影长FD为3 m,测得OA为201 m,求金字塔的高度BO.

二、合作探究

探究点1　利用相似三角形测量物体的高度

典例1　已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8 m和CD=12 m,两树的根部的距离BD=5 m,一个眼睛距地面1.6 m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进,当她与左边较低的树的距离小于多少时,就不能看到右边较高的树的顶端C了?

[解析]　如图,假设观察者从左向右走到点E时,她的眼睛的位置点E与两棵树的顶端A,C恰好在一条直线上.

∵AB⊥l,CD⊥l,

∴AB∥CD,∴△AEH∽△CEK,

∴,即,

解得EH=8 m.

由此可知,如果观察者继续前进,当她与左边的树的距离小于8 m时,由于这棵树的遮挡,她看不到右边树的顶端C.

变式训练　小明想用镜子测量一棵松树的高度,但因树旁有一条河,不能测量镜子与树之间的距离,于是他两次利用镜子.如图所示,第一次他把镜子放在C点,人在F点时正好在镜子中看到树尖A;第二次把镜子放在D点,人在G点时正好在镜子中看到树尖A.已知小明的眼睛距离地面1.70 m,量得CD=12 m,CF=1.8 m,DH=3.8 m.请你求出松树的高.

[解析]　根据光学知识可以推出∠ACB=∠ECF,∠ADB=∠GDH.

∵AB⊥BC,EF⊥BC,GH⊥BC,

∴△BAC∽△FEC,△ADB∽△GDH.

设AB=x,BC=y,

则解得

答:这棵松树的高约为10.2米.

探究点2　利用相似三角形测量平面内两点的距离

典例2　如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点P,在近岸取点Q和S,使点P,Q,S共线且直线PS与河垂直,接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.如果测得QS=45 m,ST=90 m,QR=60 m,求河的宽度PQ.

[解析]　∵∠PQR=∠PST=90°,∠P=∠P,∴△PQR∽△PST,

∴,即,PQ×90=(PQ+45)×60,

解得PQ=90 m.

答:河宽大约是90 m.

　　测量平面内两点之间的距离,一般是先构造相似三角形,再根据相似三角形的性质得出结论.

变式训练　如图,为估算某河的宽度,在河对岸选定一个目标点A,在近岸取点B,C,D,使得AB⊥BC,CD⊥BC,点E在BC上,并且点A,E,D在同一条直线上.若测得BE=20 m,EC=10 m,CD=20 m,则河的宽度AB=　　　　m. 

[答案]　40

三、板书设计

相似三角形应用举例

1.利用相似三角形解决测量问题:

测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理来解决;测量不可到达两点的距离,常构造相似三角形求解.

2.数学建模:

先根据题设中的已知量与未知量画出数学示意图,将问题中的数量关系与位置关系呈现出来,进而根据几何图形的知识形成解题思路和方法.

教学反思

通过本节的学习活动,将进一步培养学生在实际问题中建立数学模型的能力,从而提高学生理论联系实际的能力.

本节课安排了测量金字塔高度、测量河宽、测量特殊条件下的距离三个实际问题,举例说明利用相似三角形的性质和判定解决生活中不能直接测量的物体长度的问题.通过这些知识的教学,帮助学生从实际生活中发现数学问题并能运用所学知识解决实际问题,提高学生应用数学知识解决实际问题的能力.