北京市丰台区2022-2023学年高一数学上学期期中练习（A卷）试题（Word版附解析）

丰台区2022-2023学年度第一学期期中练习

高一数学（A卷）练习时间：120分钟

第Ⅰ卷（选择题共40分）

一、选择题：共10小题，每小题4分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. 已知集合，则(    )

A  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据交集的运算方法即可计算．

【详解】∵集合，

∴．

故选：A．

2. 己知命题，则是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据全称命题的否定直接求解.

【详解】因为，

所以：，

故选：B

3. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据幂函数与对勾函数的性质判断即可.

【详解】解：对于A，函数在上单调递减，故错误；

对于B，函数定义域为，为非奇非偶函数，故错误；

对于C，定义域为，满足，满足奇函数定义，当时，在区间上单调递增，故正确；

对于D，函数定义域为，满足，即为奇函数，根据对勾函数单调性可知函数在上单调递减，在上单调递增，故错误.

故选：C

4. 已知关于x的不等式的解集为，则实数m的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】分与，结合根的判别式列出不等式，求出实数m的取值范围.

【详解】当时，，解集，满足要求，

当时，需要满足，解得：，

综上：实数m的取值范围是.

故选：D

5. 函数 的图像大致为（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】判断函数的奇偶性和对称性，当时，，利用排除法进行判断即可．

【详解】解：，即是奇函数，图象关于原点对称，排除，，

当时，，排除，

故选：．

6. 已知函数，则“”是“是幂函数”的(    )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据幂函数的定义求出n的值，再根据充分条件的概念即可判断．

【详解】若函数为幂函数，则，解得n＝3或n＝－1．

故“”是“是幂函数”的充分不必要条件．

故选：A．

7. 已知，则下列命题正确的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】C

【解析】

【分析】利用不等式的性质和特殊值的思路判断即可.

【详解】A选项：当时，，故A错；

B选项：当，时，，但，故B错；

C选项：当时，，所以，故C正确；

D选项：当，时，满足，但，故D错.

故选：C.

8. 在新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时（单位：小时）大致服从的关系为（为常数）．已知第9天检测过程平均耗时为16小时，第36天和第40天检测过程平均耗时均为8小时，那么第25天检测过程平均耗时大致为（    ）

A. 8小时 B. 9.6小时 C. 11.5小时 D. 12小时

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意得到，然后根据，，列方程解得，最后代入求即可.

【详解】由题意得，，则，解得，则.

故选：B.

9. 已知，且，则下列不等式中一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据基本不等式求出，据此可判断B；，结合，可判断A；，结合，可判断C；，结合和，可判断D．

【详解】①由，，得，当且仅当时等号成立，∴B错误；

②∵，∴，当且仅当时等号成立，∴A错误；

③∵，∴，当且仅当时等号成立，∴C错误；

④∵，∴，当且仅当时等号成立，∴D正确；

故选：D．

10. 已知定义域为的函数满足以下条件：

①；

②；

③．

则成立的x的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题知函数在上单调递增，且为偶函数，进而根据奇偶性与单调性解不等式即可.

【详解】解：因为；

所以，函数在上单调递增，

因为，即

所以，函数为偶函数，

因为，

所以，函数在上单调递减，

所以，当时，，；当时，，；

当时，，；当时，，；

所以，成立的的取值范围是

故选：B

第Ⅱ卷（非选择题共110分）

二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．

11. 函数的定义域是__________．

【答案】

【解析】

【详解】函数有意义，则：，

求解关于实数的不等式组可得函数的定义域为

点睛：求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．

12. _____________．

【答案】

【解析】

【分析】根据指数幂运算法则求解即可.

【详解】解：

故答案为：

13. 能够说明“设a，b，c是任意实数．若，则”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为_____________．

【答案】4,5,6（不唯一）

【解析】

分析】根据所给条件，取特值即可得解.

【详解】取，可知满足，但，

故不成立，故原命题是假命题.

故答案为：4,5,6（不唯一）

14. 已知方程的两个实数根分别为，，则不等式 的解集为 _______.

【答案】

【解析】

【分析】

由题意得方程的两根为和1，由根与系数的关系可得，，代入即可得解.

【详解】方程的两根为和1，由根与系数的关系可得，

，，

可变为，即，解得.

故答案为：.

15. 设集合M为实数集的非空子集．若对任意，都有，则称M为封闭集．有以下结论：

①为封闭集；

②若M为封闭集，则一定有；

③存在集合，A不为封闭集；

④若M为封闭集，则满足的任意集合T也是封闭集．

其中所有正确结论的序号是_________________．

【答案】①②③

【解析】

【分析】①设，，其中.验证是否属于M即可判断；②取x＝y即可判断；③取集合即可判断；④取，即可判断．

【详解】①设，，其中．

则，∵，，∴；

，∵，，∴；

，

∵，，．

∴M为封闭集，故①正确；

②若为封闭集，则，取，得，故②正确；

③取，∵，故A不为封闭集，故③正确；

④取，满足条件，但，不是封闭集，故④错误．

故答案为：①②③．

三、解答题：共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16. 已知集合．

（1）当时，求；

（2）若，求实数a的取值范围．

【答案】（1）或；   

（2）或．

【解析】

【分析】(1)代入a＝－1，求出B，根据交集的概念即可求出，根据补集概念可求；

(2)画出集合B和的图象，数形结合即可求解．

【小问1详解】

时，，

则，

或．

【小问2详解】

∵，∴B和关系如图：

或，

∴或，即或．

17. 己知函数．

（1）判断的奇偶性；

（2）根据定义证明函数在区间上是增函数；

（3）当时，求函数的最大值及对应的x的值．（只需写出结论）

【答案】（1）奇函数，理由见详解   

（2）证明见详解    （3）当时，

【解析】

【分析】（1）先求定义域，然后判断与的关系可得；

（2）按照取值，作差，定号，下结论逐步求证即可；

（3）根据（1）（2）中结论判断函数在上单调性，然后可得.

【小问1详解】

函数的定义域为

因为，

所以为奇函数.

【小问2详解】

设，且

则

因为，且，

所以，

所以，即

所以函数在区间上是增函数.

【小问3详解】

因为是奇函数，且在区间上是增函数

所以在上单调递增，

所以当时，

18. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，；

（1）已知函数的部分图象如图所示，请根据条件将图象补充完整，并写出函数的单调递增区间；
 

（2）写出函数的解析式和值域；

（3）若关于x的方程有3个不相等的实数根，求实数t的值．（只需写出结论）

【答案】（1）详见解析   

（2），值域   

（3）

【解析】

【分析】（1）利用偶函数的性质，即可画出函数的图象，再根据图象求函数的单调递增区间；

（2）利用函数是偶函数，求函数的解析式，再根据解析式求函数的值域；

（3）利用数形结合，转化为与有三个交点，求的取值.

【小问1详解】

因为函数是偶函数，所以函数图象关于轴对称，如图所示，

函数的单调递增区间：和，单调递减区间：和.

【小问2详解】

设，，

因为函数是偶函数，所以，

所以函数的解析式是，

当时，，由偶函数对称性的性质可知，

函数的值域是；

【小问3详解】

若方程有三个不相等的实数根，即与有三个交点，有图象可知，.

19. 已知函数．

（1）若函数满足______________（从条件①、条件②、条件③中选择一个作为己知条件），求函数的解析式；

（2）在（1）的条件下，当时，函数的图象恒在图象的下方，试确定实数n的取值范围．

条件①：函数的最小值为；

条件②：不等式的解集为；

条件③：方程的两根为，且．

【答案】（1）选择条件①②③，；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）选择条件①：利用最值求出的值得解；选择条件②：利用韦达定理求出的值得解；选择条件③：韦达定理求出的值得解；

（2）等价于在上恒成立，求出二次函数的最大值即得解.

【小问1详解】

如果选择条件①：则函数的最小值为.

所以；

如果选择条件②：由题得.

所以；

如果选择条件③：由题得.

所以.满足.

所以.

【小问2详解】

由题得在上恒成立，

设对称轴方程为，

所以.

所以.

20. 己知函数．

（1）证明：2为函数的一个零点；

（2）求关于x的不等式的解集．

【答案】（1）证明见解析；   

（2）见解析.

【解析】

【分析】（1）将代入函数计算即可；

（2）分和两种情况讨论求解即可.

【小问1详解】

因为，

所以2为函数的一个零点；

【小问2详解】

当时，不等式化为，解得，

当时，由，得，

若，则不等式可化为，且，

所以或，

若，则不等式可化为，

当，即时，不等式化为，得，

当，即时，解得，

当，即时，解得，

综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.

21. 经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2022年“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，在网上对其所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量x万件与促销费用t万元满足（k为常数）．如果不搞促销活动，则该产品的销售量只能是1万件．已知生产该批产品固定成本为6万元（不含促销费用），每生产1万件该产品需要再投入9万元：厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．

（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用t万元的函数；

（2）当促销费用投入多少万元时，厂商的利润最大？并求出最大利润．

【答案】（1）；   

（2）2，19.

【解析】

【分析】（1）根据不搞促销活动时，销售量为1万件，得到时，，解得，然后根据题意求表达式即可；

（2）利用基本不等式求最值.

小问1详解】

由题意知，当时，，解得，

则.

【小问2详解】

由（1）得，当且仅当，即时等号成立，所以当促销费用投入2万元时，厂商利润最大，最大为19万元.