浙江省温州市2022-2023学年高二数学上学期期中考试试题（Word版附解析）

2022-2023学年浙江省温州市高二年级上学期期中考试

数学试题

一、单选题（本大题共8题，每题5分，共40分）

1.     设集合，，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.     若a，，则“复数为纯虚数是虚数单位”是“”的(    )

A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

3.     向量，分别是直线，的方向向量，且，，若，则(    )

A. 12 B. 14 C. 16 D. 18

4.     已知定义域为R的奇函数，满足，且当时，，则的值为(    )

A.  B. 0 C. 1 D. 2

5.     若圆锥的表面积为，其侧面展开图为一个半圆，则下列结论正确的为(    )

A. 圆锥的母线长为1 B. 圆锥的底面半径为2
C. 圆锥的体积为 D. 圆锥的侧面积为

6.     在三棱锥中，，且，E，F分别是棱CD，AB的中点，则EF和AC所成的角等于(    )

A.  B.  C.  D.

7.     已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.     在正方体中，点P满足，且，直线与平面所成角为，若二面角的大小为，则的最大值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4题，每题5分，共20分）

9.     设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的有(    )

A. 若，，m，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则

10. 已知，对于，，下述结论正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

11. 已知，为双曲线的两个焦点，P为双曲线C上任意一点，则(    )

A.  B.
C. 双曲线C的离心率为 D. 双曲线C的渐近线方程为

12. 在正三棱锥中，，，E，F分别为BC，PC的中点，若点Q是此三棱锥表面上一动点，且，记动点Q围成的平面区域的面积为S，三棱锥的体积为V，则(    )

A. 当时， B. 当时，
C. 当时， D. 当时，

三、填空题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13. 将函数的图象向右平移个单位长度后的图象过原点，则m的最小值是__________.
14. 若点在幂函数的图象上，则的值为__________.
15. 已知四面体ABCD中，，平面ACD，平面ABD，则四面体ABCD外接球的半径是__________
16. 已知，分别是椭圆的左右焦点，P是椭圆C上一点，若线段上有且只有中点Q满足其中O是坐标原点，则椭圆C的离心率是__________.

四、解答题（本大题共6题，共70分）

17. 已知圆C的圆心在x轴上，且经过点，

求圆C的标准方程;

若过点的直线l与圆C相交于M，N两点，且，求直线l的方程.

18. 已知函数

求函数的值域;

若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围.

19. 某校对2022学年高二年级上学期期中数学考试成绩单位：分进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照分成6组，制成了如图所示的

频率分布直方图：

估计该校高二年级上学期期中数学考试成绩的第80百分位数;

为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率.

20. 已知四棱锥中，，，，，，

求证：

求直线PC与平面PBD所成角的正弦值.

21. 在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.

已知的内角A，B，C的所对的边分别为a，b，c，__________.

若，求

求的最大值.

22. 已知点P在圆上运动，过点P作x轴的垂线段PQ，Q为垂足，动点M满足

求动点M的轨迹方程

过点的动直线l与曲线E交于A，B两点，与圆O交于C，D两点，

求的最大值;

是否存在定点T，使得的值是定值?若存在，求出点T的坐标及该定值;若不存在，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：由，解得

或，  

2.【答案】B 

【解析】解：若复数为纯虚数，且，
，且可推出，但，不一定得到，且，
“复数为纯虚数”是“”的充分不必要条件．  

3.【答案】B 

【解析】解：，，存在非零实数k，使得，
，解得，，即，
  

4.【答案】A 

【解析】解：满足，由函数对称性可知关于对称，
且，由奇函数性质可知，所以
可得，所以是以4为周期的周期函数，
则
当时，所以，所以  

5.【答案】C 

【解析】解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，由于其侧面展开图是一个半圆，
则，即，又圆锥的表面积为，
所以表面积，解得，得母线长，
则圆锥的高，
所以侧面积，体积  

6.【答案】B 

【解析】解：如图所示：

取BC的中点G，连接FG，
，F分别是CD，AB的中点，
，，且，
又，，为EF与AC所成的角或其补角
，，，为等腰直角三角形，
，即EF与AC所成的角为  

7.【答案】A 

【解析】解：，，
，
平方分析可知，，，
综上：  

8.【答案】C 

【解析】解：，且，
在平面上，

设正方体的棱长为1，则可知为棱长为的正四面体，
可求得点到平面的距离，且到平面的垂足为等边的中心，设为，连接并延长交于点O，显然O为和的交点，
又与平面所成角为，则，可求得，
在以为圆心，半径的圆上，且圆在平面内，
易证得，，而AC与为平面内两相交直线，
平面，即可得到点在直线上，
又平面，平面平面，且两个平面的交线为AO，
把两个平面抽象出来，如下图，

作交AO于M点，过点M作交AD于N点，连接MN，
平面平面，平面，平面平面，
平面，，
又，MN与PM为平面PMN中两相交直线，
故平面PMN，，
为二面角的平面角，即为角，
设，，得，
当M与点不重合时，在中，可求得
若M与点重合时，即当时，可求得，也符合上式，
故，
，，，
，，

令，
则，当，即时等号成立，
故的最大值是  

9.【答案】BD 

【解析】解：若，，m，时，根据面面平行的判定定理应该还需要m、n相交于一点，才可以得到，故A错误；
根据线面垂直的性质可知，当，，有，故B正确；
若，时，根据直线与平面平行的判定定理可知，应该还需要，才可以得到，故C错误；
直接根据线面垂直以及线线垂直的性质，可以判断当，，时，有，故D正确．  

10.【答案】AC 

【解析】解：对于A，，A正确.
对于B，取，，，，B错误.
对于C，当，，则，，，满足，
当，时，，由在R上的单调性知，，满足，
当，时，同理满足，
当，时，，，，，满足，故，C正确.
对于D，取，，，，不满足，D错误.  

11.【答案】BC 

【解析】解：双曲线C：，则，
P为双曲线C上任意一点，根据双曲线的定义可得，
则，故A错误；
根据向量知识集合双曲线得定义，
可得，
当且仅当P为实轴端点，等号成立，故B正确；
由于，，则双曲线C的离心率，故C正确；
因为双曲线C：，则双曲线C的渐近线方程为，故D错误.

  12.【答案】ACD 

【解析】解：由题意知，直线PE垂直于动点Q围成的平面区域所在的平面，
当时，正三棱锥的底面ABC是边长为2的正三角形，侧面PAB、PAC、PBC都是以P为直角顶点的等腰直角三角形，
则此时正三棱锥的体积，

由题意可知，动点Q围成的平面区域为如图所示的矩形FGHI，其中点F、G、H、I均为所在棱上的中点，且，，则该矩形的面积为，故A、C均正确；
当时，正三棱锥即为棱长为2的正四面体，各个面都是边长为2的正三角形，
则此时正三棱锥的体积，

由题意可知，动点Q围成的平面区域为如图所示的三角形FGH，
其中点F、G分别为PC、PB的中点，且，，
则该三角形的面积为，故B错误、D正确.

  13.【答案】 

【解析】解：平移后函数解析式为，由图象过原点，，
，又，故时，m取最小值  

14.【答案】4 

【解析】解：因为为幂函数，则，，即，
又点在函数的图象上，则，解得，所以  

15.【答案】1 

【解析】解：如图所示：

将四面体ABCD放到长方体中，则四面体ABCD的外接球即为其所在的长方体的外接球，
BC为长方体的体对角线即为外接球的直径，因此，四面体ABCD外接球的半径是  

16.【答案】 

【解析】解：当P为长轴的端点时，不满足条件，
故不妨设，当Q为中点时，则，，，
且，在中，，
假设Q不为中点，设，，在中，，
，
整理得：，又线段上有且只有中点Q满足，
故关于t的方程两根相等，，
化简得：，又，求得

17.【答案】解：设圆C的标准方程为，其中，半径为，

记线段AB中点为D，则，又直线AB的斜率为1，

由条件得线段AB中垂线CD方程为，

由圆的性质，圆心在直线CD上，化简得，

所以圆心，，

所以圆C的标准方程为；

因为直线l与圆C相交的弦长，

圆心到直线l的距离，

当直线l的斜率不存在时，l的方程，此时，不符合题意，舍去.

当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则l的方程，即，

由题意得，解得或，

故直线l的方程为或，即或，综上直线l的方程为或

18.【答案】解：因为定义域为，
则，

设，则，

所以值域为

因为，

所以，

设，则，
原问题化为对任意，，即，

因为当且仅当即时，取等号，
即的最小值为3，所以

19.【答案】解：由，

可得

样本数据中数学考试成绩在110分以下所占比例为，

在130分以下所占比例为，

因此，第80百分位数一定位于内，由，

所以样本数据的第80百分位数约为

由题意可知，分数段的人数为人，

分数段的人数为人用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，则需在内抽取2人，分别记为a，b，内抽取3人，分别记为x，y，z，

设“从样本中抽取2人，至少有1人分数在内”为事件A，

则样本空间为共包含10个样本点，

而事件，包含7个样本点，

所以，即抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率为

20.【答案】解：在梯形ABCD中，，，，，
可算得，所以，

在中，，，满足，所以，
又平面PBD，平面PBD，且，

所以平面PBD，又因为平面PBD，

所以；

由证明可知，平面PBD，因为平面ABCD，
则平面平面ABCD，取BD中点O，连OP，OC，

因为，所以，而平面ABCD，且平面平面，
平面PBD，

所以就是PC与平面PBD所成的角，

在中，易得，

在中，，，计算可得，

所以，

所以求直线PC与平面PBD所成角的正弦值为

解法由证明可知，平面PBD，因为平面ABCD，
则平面平面ABCD，
通过计算可得，

建立以，为x轴，y轴的正方向，
以过D与平面ABCD垂直的向量为在z轴的正方向建立如图空间直角坐标系，
显然z轴再平面PBD中且垂直于BD，
则，，，，

所以，，，

设平面PBD的法向量为，

则，即

取，

设直线PC与平面PBD所成角为，则

，所以求直线PC与平面PBD所成角的正弦值为

 21.【答案】解：若选①，由正弦定理可得，，

当时，代入得，，

整理可得，，

在中，，所以，

所以，即，
又C为三角形内角，所以，所以

若选②，当时，代入得，

，，

，，

又因为，，

所以，所以

若选①，因为，

所以，

，

，

在中，，，所以

选②，因为，

所以，

，

，

在中，，

所以，

，

由，及在上递减，可得，进一步得，

所以，

所以，

设，则，

，

当时，最大值为 

22.【答案】解：设点，，因为，所以，所以，即动点

M的轨迹E的方程为
①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，联立方程组，可得

，则恒成立，且

，，，

，所以，

设，则，

则，得，当且仅当时取到，

此时最大值是

②当直线l的斜率不存在时，则直线l为，可得，，此时，

综上，最大值是

当直线l的斜率存在时，设，，，可得，

，

，

要使得上式为定值，即与k无关，则满足且，

解得，，即点，此时，

当直线l的斜率不存在时，直线l为，解得，，所以，

综上可得，存在定点，使得