四川省双流中学2022-2023学年高三数学文科上学期第三次质量检测试题（Word版附解析）

四川省双流中学2023届高三第三次质量检测数学文科

满分：150分  时间：120分钟

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1. 设全集 , 若集合满足, 则 （    ）

A. B. C. D.

2. 若复数 满足(为虚数单位), 则复数的虚部为（     ）

A. B.

C. D.3

3. 已知直线 , 则 “” 是 “” 的 (     )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

4. 已知双曲线 的焦点到渐近线的距离为 2 , 则双曲线的离心率为（    ）

A. B.

C. D.

5. 已知 是两个不同的平面,是两条不重合的直线, 则下列命题中正确的是 (     )

A.若 , 则

B.若 , 则

C.若 , 则

D.若 , 则

6. 已知角 的顶点在坐标原点, 始边与轴的非负半轴重合, 终边上有两点,且, 则

A. B. C.4 D.

7. 函数 在区间上的图象为 (     )

A.         B.

C.         D.

8. 设等差数列 的前项的和为, 若, 则

A.17 B.34 C.51 D.102

9.已知点 在直角的斜边上, 若, 则的取值范围为 (     )

A. B. C. D.

10. 设 , 若函数的图象向左平移个单位长度后与函数的 图象重合, 则的最小值为（    ）

A. B. C. D.

11.已知函数 , 则下列关于函数性质描述错误的是

A.函数 有两个极值点 B.函数 有三个零点

C.点 是曲线的对称中心 D.直线 与曲线的相切

12. 已知 , 则（    ）

A. B.     C. D.

二.填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.抛物线 的焦点到其准线的距离为________

14. 某智能机器人的广告费用 (万元) 与销售额(万元) 的统计数据如下表:

根据上表可得回归方程 , 据此模型预报广告费用为 8 万元时销售额为 __________万元.

15.在三棱锥 中,平面, 则 三棱锥的外接球的体积为______

16.在中,角的对边分别为,若,则________ ,的取值范围为______

三.解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17. (本题满分12分）已知数列 的前项和为, 若, 且.

(1) 求数列 的通项公式;

(2)若数列 满足, 求数列的前项和.

18. (本题满分12分）自《“健康中国 2030 ” 规划纲要》颁布实施以来, 越来越多的市民加人到绿色运动 “健步走” 行列以提高自身的健康水平与身体素质. 某调查小组为了解本市不同年龄段的 市民在一周内健步走的情况, 在市民中随机抽取了 200 人进行调查, 部分结果如下表所示, 其中一周内健步走少于 5 万步的人数占样本总数的 岁以上（含 45 岁 ) 的人数占样 本总数的.

（1）请将题中表格补充完整, 并判断是否有 的把握认为该市市民一周内健步走 的步数与年龄有关;

(2) 现从样本中 45 岁以上(含 45 岁)的人群中按一周内健步走的步数是否少于 5 万 步用分层抽样法抽取 8 人做进一步访谈, 然后从这 8 人中随机抽取 2 人填写调查问卷, 求 抽取的 2 人中恰有一人一周内健步走步数不少于 5 万步的概率.

附：

, 其中.

19. (本题满分12分）如图, 正方形 和直角梯形所在平面互相垂直,, 且.

(1) 证明: 平面;

(2) 求四面体 的体积.

20. (本题满分12分）已知函数 , 其导函数为.

(1) 若函数 在时取得极大值, 求曲线在点处的切线 方程;

(2) 证明: 当 时, 函数有零点.

21. (本题满分12分）已知椭圆 的左, 右顶点分别为, 点在椭圆上, 且直线的斜率与直线的斜率之积为.

(1) 求椭圆 的方程;

(2) 若圆 的切线与椭圆交于两点, 求| 的最大值及此时 直线的斜率.

选作题：考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22. (本题满分10分）在直角坐标系 中, 直线经过点, 倾斜角为. 以坐标原点为极点, 以轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系, 曲线的极坐标方程为.

(1) 求直线 的参数方程和曲线的直角坐标方程;

(2) 设直线 与曲线相交于两点, 求的值.

23. (本题满分10分） 已知函数 .

（1）解不等式 ;

(2) 设函数 的最小值为, 若正数满足, 证明:

四川省双流中学2023届高三第三次质量检测 数学文科

参考答案及解析

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.  【答案】B

【解析】B. 先写出集合 , 然后逐项验证即可. 由且得, 故选 B.

2.  【答案】C

【解析】C. 利用复数四则运算, 先求出 , 再依照复数的概念求出复数的虚部. 选 C.

方法一：由题意有 , 故复数的虚部为.

方法二：由 , 得, 故复数的虚部为.

3.  【答案】A

【解析】A. , 故 “” 是 “” 的充分不必要条件. 选 A.

4.  【答案】D

【解析】 D. 不妨取双曲线的右焦点 , 渐近线, 由点到直线距离公式得, 然后利用离心率的变通公式, 进而求得离心率的值. 由题意得, 不妨取双曲线的右焦点, 双曲线的渐近线为, 即, 则, 即, 所以离 心率. 选 D.

5.  【答案】C

【解析】 C. 充分利用长方体中的棱、面之间的关系直观感知, 同时结合空间中线面间平行及垂直 的判定与性质推理论证, 需注意相应定理的条件的完备性. 对于 选项,也可能：对于选项, 由条件得不到, 故不能推断出; 对于选项, 则法线与法向量垂直则两个平面垂直知正确; 对于选项, 条件中缺少, 故得不到.

6.  【答案】D

【解析】D. 由任意角的三角函数定义, 得 , 故. 由得:, 变形得:, 解得, 所 以. 或者, 设, 则; 由得, 解得:, 故. 选 D.

7.  【答案】D

【解析】D. 借助判断函数的奇偶性、对称性和有界性, 正弦型函数的符号变化规律, 均值不等式 等知识进行推断. 由 知为奇函数, 且在内桓正, 故 A、B 选项不 正确: 又且等号不同时成立, 由不等式的性质知, 排除选项. 选 D.

8.  【答案】B

【解析】B. 设公差为 , 则由得, 即, 故. 选 B. 或者由得. 作为选择题由于满 足条件的数列不唯一, 可举常数列取验证作出选择.

9.  【答案】A

【解析】A. 本题考查平面向量的线性运算、数量积及其几何意义, 数量积的坐标表示, 数形结合 思想、化归与转化思想、函数与方程思想, 运算求解能力.

方 法一 : 由 点 在上, 设, 则,故, 由得, 所以. 选 A.

方法二: 以 为原点,所在直线分别为轴建立平面直角坐标系 (如图), 则, 设, 则, 故, 由点在上得:(可借助初中 的一次函数知识或必修 2 第三章直线的方程获得满足的方程), 用表示代入(*) 式得:, 故. 选 A.

方法三：设 与与的夹角为, 则由题意得, 故取最大值时最大,取最小值时最小, 结合上图, 用运动变化的观点分析易知:在斜边上移动时, 当与重合时的模最大且与的夹角最小 (), 故此时取得最大 值, 且； 当与重合时的模最小且与的夹角最大), 故此时取得最小值, 且. 应注意, 由向 量夹角的定义知不是向量与的夹角!! 这是向量问题中的易错点

10. 【答案】B

 【解析】B. 将函数 的图象向左平移个单位长度, 得的图象. 而, 故 由 䞠 意 知, 所以, 解得, 由知: 当时取最小值, 故. 选 B. 或者, 由知时, 由知当时, 故由题意得, 解得.

11. 【答案】D

 【解析】D. 的变号零点为和, 故 A 正确:

由知 B 正确: 由是奇函数, 其图象向上平移 1 个单位长度得到函数的图象, 故 C 正确: 由于 函数在处取极小值, 故直线与曲线不相切, 故 D 错误, 选 D. 也可借助 函数的图象直观感知作出判断.

12. 【答案】A

 【解析】A. 由已知得: , 故的大小顺序与的大小一致. 由知, 排除 B、D. 由得; 由得, 即, 所以, 排除 C. 故选 A.

或者利用函数 的单调性比较的大小. 事实上, 当时, 故在上是减函数, 所以, 由换底公式得, 故. 选 A.

二.填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13. 【答案】2

【解析】由抛物线 的几何性质知, 其焦点到准线的距离为, 本题中.

14. 【答案】57

 【解析】计算得 , 则样本中心点是, 代入回归方程得, 所以回归方程是, 将代入得.

15. 【答案】

 【解析】由 平面平面, 得；由,及勾股定理得:, 又, 故, 所以, 即两两垂直, 所以三棱锥的外接球与以分别为长、宽、高的长方体的外接相同 (如 右图,为球心), 所以球半径, 从而.

16. 【答案】 .

【解析】以三角形边角关系的射影定理为背景, 综合考查正弦、余弦定理、三角变换的基本公式与方法, 三角函数的图象与性质等知识, 求角 时, 既可用正弦定理 边化角, 也可用余弦定理角化边, 还可直接用教材中习題的结论一一射影定理简化; 对于的 范围问题, 可利用且转化只含一个角变㫣的函数的值域.

(1) 求角 的过程与方法.

①由已知及正弦定理得: , 又,

故 , 所以.

②由已知及射影定理得: , 故, 又,

所以.

③由已知及余弦定理得: , 化简得, 又,

所以.

(2) 求 范围的过程与方法.

策略一: 利用正弦型函数的图象与性质.

由 得, 故, 且.

①. 因为, 故, 当且仅当时取等号, 故.

②令 , 由题意得.

故 .

因为 , 所以, 当且仅当, 即时取等号, 故.

③由和、差角的余弦公式可得: ,

由已知得 , 故, 所以, 当且仅当时取 等号, 故.

策略二: 用余弦定理转化.

④在 中, 由正弦、余弦定理得:, 代入得:, 变形得,

由已知得 , 故, 所以

所以 , 当且仅当时取等号,

故 .

三.解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17. 【答案】(1)  (2).

 【解析】解: (1) 方法一: 由 得:

, 变形得

①

又 且

②

由①②知: 对任意 , 恒有, 且

数列是首项与公比均为 2 的等比数列.  

方法二  由 变形得:

又 , 故

数列是以 4 首项, 2 为公比的等比数列

, 故

当时,

又 也适合上式

(2) 方法一:

由 (1) 知,

两式相减得:

.

裂项变形得：

即 .

18. 【答案】（1）有 的把握认为该市市民一周内健步走的步数与年軨有关（2）

 【解析】解: (1) 由题意得, 总人数为 200

45 岁以上（含 45 多）的人数为 岁以下的人数为 80 .

一周内健步走少于 5 万步的人数为

由此得如下列联表:

故

有的把握认为该市市民一周内健步走的步数与年軨有关

（2）由题意，抽取的8人中一周内健步走万步有6人，少于5万步的有2人将一周内健步走万步的 6 人编号为, 另外两人记为, 则所有可能情况如下:

. 总共 28 种. 其中恰有一人一周内健步走步数不少于 5 万步所有可结果如下：

. 共 12 种

记 “抽取的 2 人中恰有一人一周内健步走步数不少于 5 万步” 这事件 C

由等可能事件的概率公式得: .

19. 【答案】(1)见解析(2)2  【解析】(1) 证明

方法一:  由正方形 的性质得:

又 平面平面

平面

平面平面

平面

平面

平面平面

平面

// 平面.

方法二:       在 取点使得, 连结, 如图

四边形是平行四边形        故 , 且

又

四边形是平行四边形.     .

又 平面平面// 平面.

(2) 由体积的性质知:

平面平面, 平面平面

平面

平面

又

故 点 到平面的距离为 2, 即三棱雉底面上的高由题意, 知且

20. 【答案】(1)曲线 在点处的切线方程为,

即

(2)见解析

 【解析】解:（1）

在是减函数

由在 时取得极大值得：, 即, 解得：

, 故

曲线在点处的切线方程为, 即

(2) 证明

方法一:

由题意得:

由 得, 其判别式

由一元二次方程根与系数的关系知, 关于 的方程有唯一正根

设 的唯一正根为, 则有

当 时,, 故单调递增; 当时,, 故单调递减

设 , 则

在上是增函数且

由 及得:, 解待

, 故

又 且

在内有零点, 即有零点

方法二:

由题意得:

由 得, 其判别式

由一元二次方程的根与系数的关系知, 方程 有唯一正根

设 的正根为, 则有

当 时，, 故单调递增：当时,, 故单调递减

且

有零点等价于, 即.

由 在上是增函数且知:

当且仅当 时,

由 及得:, 解得

, 即当时,成立

有零点

方法三:

有零点等价于关于的方程有正根

亦等价于关于 的方程有解.

设 , 则.

记 , 则, 故是增函数

又 , 故有唯一零点

当 时,, 故是单调递减;

当 时,, 故是单调递增.

, 即

当时, 函数有零点.

方法四:

要证: 当 时, 函数有零点

只需证: 当 时, 直线与函数的图象有公共点..

由 知:

当 时,, 故单调递减; 当时,, 故单调递.

是曲线在点处的切线

即 当 时, 直线与函数的图象有唯一公共点

当 时, 直线与函数的图象在第一象限相交, 有两个公共点. 综上, 当时, 直线与函数的图象有公共点.

当时, 函数有零点.

21. 【答案】(1)椭圆 的方程为(2)直线 的斜率为.

 【解析】解: (1) 由点 在上得:① 

(1) 由椭圆的标准方程得 , 故由得:, 解得:将

代入①得:

椭圆的方程为

(2) 由题意知直线 不能平行于轴 设直线的方程为

由直线 与圆相切得:, 化简得由消去整理得:于是,由求根公式得:

令 , 则且当且仅当, 即时取等号.

, 此时由解得:  直线的斜率为.

22. 【答案】(1)      (2).

【解析】解: (1) 直线过点, 且倾斜角为

的参数方程为. (为参数), 即(为参数). 由, 得

将 代入上式得:

的直角坐标方程为

(2) 设 两点对应的参数分别为

将 的参数方程代入的直角坐标方程, 得

整理，得

此时

即 .

23. 【答案】(1)不等式的解集为 (2)见解析

 【解析】

不等式的解集为

(2)

当且仅当 即时, 取等号.

从而.

方法一:

均为正数

当且仅当 时等号成立

方法二:

均为正数

当且仅当 , 即时等号成立