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四川省雅安市2022-2023学年高三数学(理)上学期零诊考试试卷(Word版附解析)
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这是一份四川省雅安市2022-2023学年高三数学(理)上学期零诊考试试卷(Word版附解析),共25页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
雅安市高2020级零诊考试
数学(理工类)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集,集合,.则( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解一元二次不等式求得集合,由此求得.
【详解】,解得或,
所以或,
所以,所以.
故选:C
2. 已知复数z满足,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件,利用复数的除法运算求出复数z,再结合共轭复数的意义求解作答.
详解】因,则,有
所以.
故选:A
3. 某地区今年夏天迎来近50年来罕见的高温极端天气,当地气象部门统计了八月份每天的最高气温和最低气温,得到如下图表:
某地区2022年8月份每天最高气温与最低气温
根据图表判断,以下结论正确的是( )
A. 8月每天最高气温的平均数低于35℃
B. 8月每天最高气温的中位数高于40℃
C. 8月前半月每天最高气温的方差大于后半月最高气温的方差
D. 8月每天最高气温的方差大于每天最低气温的方差
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定的每天最高气温与最低气温的折线图,结合平均数、中位数、方差的意义逐项分析判断作答.
【详解】由某地区2022年8月份每天最高气温与最低气温的折线图知,
对于A,8月1日至9日的每天最高气温的平均数大于35℃,25日至28日的每天最高气温的平均数大于35℃,
29日至31日每天最高气温大于20℃小于25℃,与35℃相差总和小于45℃,而每天最高气温不低于40℃的有7天,
大于37℃小于40℃的有8天,它们与35℃相差总和超过45℃,因此8月每天最高气温的平均数不低于35℃,A不正确;
对于B,8月每天最高气温不低于40℃的数据有7个,其它都低于40℃,把31个数据由小到大排列,中位数必小于40,
因此8月每天最高气温中位数低于40℃,B不正确;
对于C,8月前半月每天最高气温的数据极差小,波动较小,后半月每天最高气温的极差大,数据波动很大,
因此8月前半月每天最高气温的方差小于后半月最高气温的方差,C不正确;
对于D,8月每天最高气温的数据极差大,每天最低气温的数据极差较小,
每天最高气温的数据波动也比每天最低气温的数据波动大,因此8月每天最高气温的方差大于每天最低气温的方差,D正确.
故选:D
4. 若,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件,利用诱导公式、二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因,所以.
故选:A
5. 函数在上的图象大致是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】判断函数的奇偶性,由此排除两个选项,再取特值判断并排除一个选项即可作答.
【详解】,,而,
因此函数是偶函数,其图象关于y轴对称,选项A,B不满足;
又,,于是得,选项C不满足,D符合题意.
故选:D
6. 执行如图所示的程序框图,输出S的值为( )
A. 20 B. 40 C. 70 D. 112
【答案】C
【解析】
【分析】根据程序框图的步骤,进行计算,可得答案.
【详解】第一次执行,由,则,又由,则进入循环;
第一次循环,由,则,又由,则进入循环;
第二次循环,由,则,又由,则进入循环;
第三次循环,由,则,又由,则进入循环;
第四次循环,由,则,又由,则输出.
故选:C.
7. 中国古代数学名著《九章算术》中“均输”一章有如下问题:“今有竹九节,下三节容量四升,上四节容量三升.问中间二节欲均容各多少.”意思是“今有竹9节,下部分3节总容量4升,上部分4节总容量3升,且自下而上每节容积成等差数列,问中间二节容积各是多少?”按此规律,中间二节(自下而上第四节和第五节)容积之和为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件,利用等差数列的第5项及公差列出方程组,求解作答.
【详解】依题意,令九节竹子从下到上的容积构成的等差数列为,其公差为,
于是得:,即有,解得,
所以中间二节容积之和为.
故选:A
8. 甲、乙、丙、丁4名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动,现有A,B,C三个小区可供选择,每个志愿者只能选其中一个小区去服务.则甲不在A小区、乙不在B小区服务的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件,求出4名志愿者到三个小区服务的基本事件种数,再求出甲不在A小区、乙不在B小区服务的事件所含基本事件数即可求解作答.
【详解】依题意,4名志愿者到三个小区服务的试验的基本事件有种,它们等可能,
甲不在A小区、乙不在B小区服务,甲、乙各有2种选法,丙、丁各有3种选法,
甲不在A小区、乙不在B小区服务的事件含有的基本事件有种,
所以甲不在A小区、乙不在B小区服务的概率.
故选:B
9. 如图,在等腰直角中,斜边,为线段BC上的动点,且,则的最小值为( )
A. B. C. 4 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】设,然后可得,然后根据二次函数的知识可得答案.
【详解】因为在等腰直角中,斜边,所以,
因为、,所以,
设,则,
所以当时,取得最小值,
故选:B
10. 已知下面给出的四个图都是各棱长均相等的直三棱柱,A为一个顶点,D,F,F分别是所在棱的中点.则满足直线的图形个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定的正三棱柱,建立空间直角坐标系,借助空间向量计算判断每个图形即可作答.
【详解】令棱长均相等的直三棱柱为,令的中点为O,的中点为,,
连接,显然,而平面,则平面,而,
以点O为原点,向量的方向分别为轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图,
对于①,点A,D,F分别与点P,O,重合,点E为棱中点,则,
,有,因此,图①满足;
对于②,点A与点P重合,点D,E,F分别棱的中点,
有,,
,与不垂直,图②不满足;
对于③,点A,D,E分别与点P,,O重合,点F为棱的中点,
有,,
,与不垂直,图③不满足;
对于④,点A,F分别与点N,重合,点D,E分别棱的中点,
有,,
,因此,图④满足,
所以满足直线的图形个数是2.
故选:B
11. 已知函数.给出以下几个结论:
①若对任意,均有,则的最小值为2;
②若对任意,均有,则的最小值为5;
③若在区间上的极小值点有且仅有2个,则.
其中,正确结论的序号是( )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定的函数,利用正弦函数的对称性分析判断①②;利用正弦函数的性质结合极值点的意义判断③作答.
【详解】对于①,依题意,是函数的对称轴,而,则有,
因此,当且仅当时,,①正确;
对于②,依题意,是函数的对称中心,而,则有,
因此,当且仅当时,,②正确;
对于③,当时,而,有,因在区间上的极小值点有且仅有2个,
于是得,解得,③正确,
所以正确结论的序号是①②③.
故选:D
12. 设,,,则a,b,c的大小关系正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件,构造函数,利用导数探讨单调性判断b,c大小,构造函数,利用导数探讨单调性判断c,a大小作答.
【详解】令,求导得,显然,而,
则有,即函数在上单调递增,,即当时,,
取,于是得,因此,
令,求导得,
显然在上单调递减,,
即,函数在上单调递增,,即当时,,
取,于是得,即,
所以a,b,c的大小关系是.
故选:C
【点睛】思路点睛:某些数或式大小关系问题,看似与函数的单调性无关,细心挖掘问题的内在联系,抓住其本质,构造函数,分析并运用函数的单调性解题,它能起到化难为易、化繁为简的作用.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 在的展开式中,的系数为,则______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.
【详解】的展开式中,含的项为,
所以.
故答案为:
14. 给出两个条件:①,;②当时,(其中为导函数).请写出同时满足以上两个条件的一个函数______.(写出一个满足条件的函数即可)
【答案】(答案不唯一)
【解析】
【分析】由条件①可选指数函数,由条件②可选单调减函数,结合①②写出函数式作答.
【详解】由,知,函数可以为指数函数,
因当时,,则函数在上单调递减,
所以函数可以为.
故答案为:
15. 已知数列满足.若对任意,(且)恒成立,则m的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意求数列的通项公式,再结合等比数列的前项和公式求,结合恒成立分析可得,再根据对数函数讨论求解.
【详解】当时,则
当时,由,得,
两式相除得,n =1时也符合,
∴
则,
因为对任意,(且)恒成立,
所以,所以,
当时,由,得,则,
当时,由,得,则,
综上所述:.
故答案为:.
16. 如图所示的三棱锥中,为等腰直角三角形,且,侧棱,,则经过该三棱锥四个顶点的球的表面积为______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据给定的条件,确定的外接圆圆心及半径,再探求三棱锥外接球球心O的位置,求出球半径即可计算作答.
【详解】在中,,,,
由余弦定理得,
等腰中,,的外接圆圆心为的中点,
为正三角形,其外接圆圆心是正的中心,,如图,
连,,等腰中,,,则,
令三棱锥外接球球心为O,连接,则平面,而平面,
有,同理,而平面,因此平面,
因平面,于是得平面,
显然平面与平面有公共点,即平面与平面重合,即有平面,
而,从而得,而平面,有,
因此三棱锥外接球半径R,,
所以三棱锥外接球的表面积.
故答案为:
【点睛】关键点睛:解决与球有关的内切或外接问题时,关键是确定球心的位置,再利用球的截面小圆性质求解.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生依据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17. 某地区对高一年级学生进行体质健康测试(简称体测),现随机抽取了900名学生的体测结果等级(“良好及以下”或“优秀”)进行分析.得到如下列联表:
良好及以下
优秀
合计
男
450
200
650
女
150
100
250
合计
600
300
900
(1)计算并判断是否有99%的把握认为本次体测结果等级与性别有关系?
(2)将频率视为概率,用样本估计总体.若从该地区高一所有学生中,采取随机抽样的方法每次抽取1名学生成绩进行具体指标分析,连续抽取3次,且各次抽取的结果相互独立,记被抽取到的3名学生的体测等级为“优秀”的人数为,求的分布列和数学期望.
附表及公式:
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
其中,.
【答案】(1)有; (2)分布列见解析,1.
【解析】
【分析】(1)利用给定的列联表,求出的观测值,再与临界值比对即可作答.
(2)求出任抽1个学生体测结果等级为“优秀”的概率,再求出的可能值及对应的概率,列出分布列,求出期望作答.
【小问1详解】
依题意,的观测值,
故有99%的把握认为本次体测结果等级与性别有关系.
【小问2详解】
依题意,体测结果等级为“优秀”的概率为,
的取值有0,1,2,3,
则,,
,,
则的分布列为:
0
1
2
3
P
所以的数学期望.
18. 记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
(1)求角A的大小;
(2)若点D在边BC上,,且,求面积的最大值.
【答案】(1)
(2).
【解析】
【分析】(1)结合三角恒等变换、正弦定理等知识求得,进而求得的大小.
(2)由两边平方,化简后利用基本不等式求得的最大值,进而求得面积的最大值.
【小问1详解】
由已知,得,
根据正弦定理,得,
即,
由于,,所以,为锐角,所以.
【小问2详解】
由,得,则,
所以,
所以,,
则,
所以,当且仅当,即,时等号成立,
所以.
即面积的最大值为.
19. 如图①,为边长为6的等边三角形,E,F分别为AB,AC上靠近A的三等分点,现将沿EF折起,使点A翻折至点P的位置,且二面角的大小为120°(如图②).
(1)在PC上是否存在点H,使得直线平面PBE?若存在,确定点H的位置;若不存在,说明理由.
(2)求直线PC与平面PBE所成角的正弦值.
【答案】(1)满足条件的点H存在,且为PC上靠近P的三等分点;
(2).
【解析】
【分析】(1)在PC上取靠近P的三等分点H,连接AP,FH,证明,再利用线面平行的判定推理作答.
(2)取BC中点G,连接AG,并交EF于点D,连接PD,证明平面平面,再建立空间直角坐标系,借助向量求解作答.
【小问1详解】
满足条件的点H存在,且为PC上靠近P的三等分点.
在PC上取靠近P的三等分点H,连接AP,FH,如图,则AP是平面PAB与平面PAC的交线,
依题意,,则有,又平面PBE,平面PBE,因此直线平面PBE,
所以在PC上是存在点H,为PC上靠近P的三等分点,使得直线平面PBE.
【小问2详解】
取BC中点G,连接AG,交EF于点D,连接PD,因,依题意,,,
则为二面角的平面角,即,且平面,
而平面,则平面平面,在平面内过P作于O,
又平面平面,因此平面,在平面内过O作,
显然Ox,AD,OP两两垂直,分别以向量,,的方向为x,y,z轴正方向,建立空间直角坐标系,如图,
则,,,,
所以,,,,
设平面PBE的一个法向量为,由,令,得,
设直线PC与平面PBE所成角为,则,
所以直线PC与平面PBE所成角的正弦值为.
20. 给出以下条件:①,,成等比数列;②,,成等比数列;③是与的等差中项.从中任选一个,补充在下面的横线上,再解答.
已知单调递增的等差数列的前n项和为,且,______.
(1)求的通项公式;
(2)令是以2为首项,2为公比的等比数列,数列的前n项和为.若,,求实数的取值范围.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
【答案】(1);
(2).
【解析】
【分析】(1)选①②,利用等比中项列式求出公差即可;选③利用等差中项列式求出公差即可.
(2)根据给定条件结合(1)求出,再利用错位相减法求出,将给定不等式变形,分离参数构造数列,探讨单调性即可作答.
【小问1详解】
选①,设递增等差数列的公差为,由,,,
有,化简得.则,,
所以的通项公式为.
选②,设递增等差数列的公差为,由,,,
有,化简得,即,
解得,则,
所以的通项公式为.
选③,设递增等差数列公差为,由是与的等差中项,得,
即,则有,
化简得,即,
解得,则,
所以的通项公式为.
【小问2详解】
由是以2为首项,2为公比的等比数列,得,由(1)知,即有,
则,
于是得,
两式相减得:,
因此,又,不等式,
等价于,于是得,恒成立,
令,则,则时,,即数列递增,
当时,,即数列递减,当时,,则,
所以实数的取值范围是.
【点睛】关键点睛:涉及求数列最大项问题,探讨数列的单调性是解题的关键,可以借助作差或作商的方法判断单调性作答.
21. 已知函数.
(1)当时,函数有三个零点,求m取值范围;
(2)若,求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)利用导数研究的单调区间、极值,根据有三个零点求得的取值范围.
(2)结合多次求导以及对进行分类讨论,研究的最大值,由求得的取值范围.
小问1详解】
当时,,
则,
则时,,单调递增;
时,,单调递减;
时,,单调递增.
所以,时,取得极大值;
时,取得极小值.
又,,
所以,有三个零点时,.
【小问2详解】
由得
,,.
令,则,
又设,则,
则时,即单调递增;
时,即单调递减,
所以在处取得极大值,且极大值.
①若,即时,
此时,则即单调递减,
又,则时,,单调递增;
时,,单调递减,
可知在处取得极大值,且极大值(也即是最大值),
所以,则时,符合条件.
②若,即时,
此时,
故存在,使在区间上,,故即单调递增,
又,则在区间上,,
故在区间上,单调递减,则,不满足条件,
综上所述,a的取值范围是.
【点睛】利用导数研究函数的单调性、极值、最值或不等式恒成立问题时,若一次求导无法求解,则可考虑多次求导来进行求解.在求解过程中,要注意导函数和原函数间的对应关系.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
22. 数学中有许多美丽的曲线,如在平面直角坐标系xOy中,曲线的形状如心形(如图),称这类曲线为心形曲线.以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.当时,
(1)求E的极坐标方程;
(2)已知P,Q为曲线E上异于O的两点,且,求的面积的最大值.
【答案】(1);
(2).
【解析】
【分析】(1)将,代入曲线E,化简可得答案;
(2)不妨设,,,,则的面积,令,可得,再利用配方计算可得答案.
【小问1详解】
将,代入曲线E,
得,即,
所以,E的极坐标方程为;
【小问2详解】
不妨设,,
即,,
则的面积
,
由于,
令,则,,
则,
故当时,,
即的面积的最大值为.
[选修4-5:不等式选讲](10分)
23. 已知,,且,证明:
(1);
(2).
【答案】(1)证明见解析;
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】(1)根据给定条件,消元并结合二次函数推理作答.
(2)根据给定条件,借助“1”的妙用,计算推理作答.
【小问1详解】
因为,,,则,,
因此,当且仅当,时取等号,
所以成立.
【小问2详解】
因,,且,则,
因此,
当且仅当且,即,时取等号,
所以成立.
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