第二章 直线和圆的方程 教案-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

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第二章 直线和圆的方程 章节复习 夯实、拓展、感悟与提升一、夯实双基，逐层认知本章知识网络重点1 直线的倾斜角与斜率例1（1） （多选）已知直线和满足下列条件，则正确结论是（ ）A. 若的斜率为，经过点，，则B. 若过点，，过点，，则C. 若过点，，过点，，则 D. 若过点，，过点，，则【解析】对于A，，.∵，∴，正确；对于B，的倾斜角为，则轴．，则轴，∴，正确；对于C，，，∴.又，∴，正确；对于D，∵与都与轴垂直，∴，正确. 故选ABCD例1（2）已知两点，过点的直线与线段AB始终有公共点，则直线的斜率的取值范围是__________. 【解析】由已知，, .作图分析，可知直线的斜率满足或即或【答案】重点2 直线的方程例2（1）若直线过点且与直线垂直，则的方程是（ ）A. B. C. D. 【解析】方法一：由直线与直线垂直，可知直线的斜率是，由点斜式可得直线的方程为，即，故选A方法二：由直线与直线垂直，可设直线的方程为，又直线过点，所以，解得直线的方程为，故选A例2（2）已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为_________________【解析】设直线在两坐标轴上的截距为． 当时，直线过原点，因为直线过点，所以此时直线的方程为． 当时，设直线的方程为，则，则此时直线的方程为．综上知，所求直线的方程为或．【答案】或例2（3）一条光线经过点射向轴上一点又从反射到直线上的一点又从点反射回到点，则直线的方程为 ___________.【解析】点关于轴的对称点为，关于直线的对称点为，在直线上，所以直线的方程为，化简得【答案】重点3 直线与直线的位置关系例3（1） 已知，若平面内三点共线，则_______【解析】由已知，三点共线，所以 【答案】例3（2）经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是___________【解析】由圆方程，所以圆心为 所求直线的斜率为，方程为，即【答案】例3（3）已知圆过点，且圆心在轴的正半轴上，直线被圆所截得的弦长为，则过圆心且与直线垂直的直线的方程为 .【解析】由已知，设所求直线方程为，设圆心坐标为，依题意，又圆心在x轴的正半轴上，所以，圆心坐标为，因为圆心在所求的直线上，所以，所以，所求的直线方程为【答案】例3（4）已知直线的方程为，则该直线对于任意实数恒经过的定点是____【解析】将方程整理为，这个方程对于任意实数恒成立，必须满足，解得且，所以直线过定点【答案】重点4 圆的标准方程和一般方程例4（1）过点的圆与直线相切于点，则圆的方程为_____________【解析】设圆的方程为，则解得，所以，所求圆的方程为.【答案】例4（2）已知圆，过定点可作该圆的两条切线，则的取值范围为 ．【解析】有由已知，圆的方程可化为，其中，即 ①因为过定点可作该圆的两条切线，所以点在圆外，即． ②由①②可得：，所以的取值范围 【答案】重点5 直线与圆、圆与圆的位置关系例5（1）若过点的直线与圆：有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【解析】方法一：设过的直线的方程为，即（注：当不存在时，不满足题意）． 直线与圆有公共点，则，故选C．方法二：如图， 因此 故选C例5（2）已知直线是圆的对称轴.过点作圆C的一条切线，切点为，则（　　）A. 2 B. C. 6 D. 【解析】由已知，圆标准方程为，圆心为，半径为，因此，，即，所以，故选C.例5（3）在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为____________.【解析】由题意得，半径等于当且仅当时取等号，所以半径最大为，故所求圆为【答案】二、拓展思维，熟知方法重点6 直线与圆的应用例6（1） 已知直线和直线与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的值为__________【解析】直线的方程可化为，该直线系过定点，与两坐标轴的交点坐标是直线的方程可化为，该直线系过定点，与两坐标轴的交点坐标是如图，所求四边形是，所以当时，四边形面积最小．【答案】例6（2）一条光线从点射出，经轴反射后与圆 QUOTE \* MERGEFORMAT 相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）A. 或 B.  QUOTE \* MERGEFORMAT 或  QUOTE -23 \* MERGEFORMAT  C. 或 D. 或【解析】由已知，反射光线的反向延长线必过点 ，设反射光线所在直线方程为 ，即. 又因为光线与圆相切， ，所以 ，即 ，解得 ，或，故选D．三、感悟问题，提升能力1. 已知圆，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的最大值是_________.【解析】由已知，得圆，所以圆的圆心为依题意，直线上至少存在一点，且以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，所以存在，使得成立，即又即为点到直线的距离，所以，解得. 所以实数的最大值是【答案】2.若曲线与曲线有三个不同的交点，则实数m的值是_________【解析】由曲线，所以曲线是以点，1为半径的圆；曲线则表示两条直线，即轴与直线，因为轴与圆有两个交点，依题意直线与圆相切，所以，圆心到直线的距离【答案】3. 已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最大值为（ ） A. B. C. D.【解析】由已知，点在以原点为圆心，为半径的圆上，又因为点在圆上，所以只要两圆有交点即可，所以，即，即的最大值为6，故选B4. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【解析】由已知得，则消去得，所以点在以为直径的圆上，，所以，令，则.因为，所以.所以，，故选B.5. 在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切．（1）求圆的方程；（2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使，求的取值范围．【解析】（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离， 即． 得圆的方程为．（2）不妨设．由即得．设，由，得 ，化简得 ．方法一：由于点在圆内，故 由此得．所以的取值范围为．方法二：由于点在圆内，故又所以所以的取值范围为