数学人教A版 (2019)第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算教学设计

第一章  空间向量与立体几何

1.1  空间向量及其运算

1.1.2  空间向量的数量积运算

一、教学目标

1、了解掌握空间向量数量积运算、投影向量；

2、通过类比的方式快速掌握空间向量的数量积运算及其性质.

二、教学重点、难点

重点：空间向量的数量积运算.

难点：空间向量数量积性质、投影向量的理解与应用.

三、学法与教学用具

1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.

2、教学用具：多媒体设备等

四、教学过程

（一）创设情景，揭示课题

【引入问题】平面向量中，两个向量除了线性运算，还存在数量积运算，两个空间向量是否也存在数量积运算？由数量积运算会带来哪些空间向量的性质？

【复习回顾】

（二）阅读精要，研讨新知

【类比转化】由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，

因此，两个空间向量的夹角和数量积可以像平面向量那样来定义.

【例题研讨】阅读领悟课本例2、例3（用时约为2-3分钟，教师作出准确的评析.）

例2如图1.1-12, 在平行六面体中，,

.求：

（1）；

（2）的长. (精确到0.1). 

解：（1）

（2）

所以

例3如图1.1-13，是平面内的两条相交直 线，如果求证：.

证明：在平面内作任意一 条直线，分别在直线上取非零向量.

因为直线与相交，所以向量不平行.

由向量 共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对,使

所以

因为

所以. 所以.

因此，直线垂直于平面内的任意一条直线， 

所以.

【小组互动】完成课本练习1、2、3、4，同桌交换检查，老师答疑.

【练习答案】

（三）探索与发现、思考与感悟

1.（多选）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，到的距离都等于2，下列结论中正确的是（   ）

A.        B.

C.             D.

解：由已知，对于A，，错误；

对于B，，正确；

对于C，,

因为，所以，正确；

对于D，与不垂直，，错误，故选BC

2.正方体的棱长为2,是它的内切球的一条弦(把球面上任意两点之间的线段称为球的弦), 为正方体表面上的动点,当弦最长时, 的最大值为_________.             

解：设点是此正方体的内切球的球心,半径.

因为

所以当点三点共线时, 取得最大值.

此时

而,所以

当且仅当点为正方体的一个顶点时上式取得最大值,

所以

答案:2

3. 如图，在三棱锥中，平面，，，．

（1）确定在平面上的投影向量，并求；

（2）确定在上的投影向量，并求．

解：（1）因为平面，所以在平面上的投影向量为，

因为平面，面，可得，所以，

因为，所以，

所以.

（2）由（1）知 ，，

所以在上的投影向量为：

，

由数量积的几何意义可得 .

（四）归纳小结，回顾重点

（五）作业布置，精炼双基

1.完成课本习题1.1   4-10

2.预习1.2  空间向量基本定理

五、教学反思：（课后补充，教学相长）、