高中人教A版 (2019)1.4 空间向量的应用教学设计

第一章  空间向量与立体几何

1.4  空间向量的应用

1.4.1  用空间向量研究直线、平面的位置关系

1.4.1.2  空间中直线、平面的平行

一、教学目标

1、理解并掌握空间中点、直线和平面的向量表示；

2、理解空间中直线、平面的平行和垂直与空间向量的关联； 

3、正确理解法向量，熟练掌握法向量的求解，并逐步熟悉法向量的应用.

4、通过空间向量的应用，培养求知探索精神，提高数学综合素养.

二、教学重点、难点

重点：空间中点、直线和平面的向量表示即关联.

难点：熟练掌握法向量的求解，并逐步熟悉法向量的应用.

三、学法与教学用具

1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.

2、教学用具：多媒体设备等

四、教学过程

（一）创设情景，揭示课题

【问题】既然空间中点、直线和平面可以用向量表示，是否可以利用空间向量解决直线、平面的平行问题？

（二）阅读精要，研讨新知

【发现】2.空间中直线、平面的平行

【例题研讨】阅读领悟课本例2、例3（用时约为2分钟，教师作出准确的评析.）

例2 证明“平面与平面平行的判定定理”:

若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.

已知：如图1.4-11, .

求证：.

证明：如图， 取平面的法向量,直线的方向向量

因为, 所以

因为

所以对任意点，存在, 使得.

从而

所以，向量也是平面的法向量. 故.

例3如图1.4-12, 在长方体中，. 线段上是否存在点，

使得平面?

解：如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴、轴，

建立空间直角坐标系，则

，

设是平面的法向量，

由，

令，则，所以是平面的一个法向量.

由，设点满足

则，所以

令，得，解得，

此时平面，这样的点存在.

所以，当，即为得中点时，平面.

【小组互动】完成课本练习1、2、3，同桌交换检查，老师答疑.

【练习答案】

（三）探索与发现、思考与感悟

1. 在四棱锥中，平面⊥平面，底面为梯形．，，且，，．若是棱的中点，则对于棱上是否存在一点，使得与平行．

解：在平面内过点作，交于点，

因为平面平面，且平面平面，

平面，可得平面，

又由，所以两两垂直，

如图，以为原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，

由，，，

可得，

假设上存在点，使得，

设，其中，

因为是棱的中点，可得，

又由，

所以，

设，可得，此方程组无解，所以假设不成立，

所以对于上任意一点，与都不平行，

即在线段上不存在点，使得与平行．

2．如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，，分别是的中点．

求证：平面.

证明：如图，以点为坐标原点，以所在直线

分别为轴建立空间直角坐标系.

则，

，所以，

设平面的法向量为，

所以，所以，

所以，

因为平面，所以平面．

3.如图，正方体中，分别为的中点．证明：平面平面.

证明：如图，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.

设正方体的棱长为，

则，，，，，，

故，，，，

设平面的法向量，

则 , 即 ,令，则，

设平面的法向量，

则 , 即 ，令，则，

所以，即，

故平面平面.

（四）归纳小结，回顾重点

（五）作业布置，精炼双基

1.完成课本习题1.4   3、4、12、16

2.预习1.4  空间向量的应用

五、教学反思：（课后补充，教学相长）