高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用教案设计

第一章  空间向量与立体几何

1.4  空间向量的应用

1.4.1  用空间向量研究直线、平面的位置关系

1.4.1.3  空间中直线、平面的垂直

一、教学目标

1、理解并掌握空间中点、直线和平面的向量表示；

2、理解空间中直线、平面的平行和垂直与空间向量的关联； 

3、正确理解法向量，熟练掌握法向量的求解，并逐步熟悉法向量的应用.

4、通过空间向量的应用，培养求知探索精神，提高数学综合素养.

二、教学重点、难点

重点：空间中点、直线和平面的向量表示即关联.

难点：熟练掌握法向量的求解，并逐步熟悉法向量的应用.

三、学法与教学用具

1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.

2、教学用具：多媒体设备等

四、教学过程

（一）创设情景，揭示课题

【问题】既然空间中点、直线和平面可以用向量表示，是否可以利用空间向量解决直线、平面的垂直问题？

（二）阅读精要，研讨新知

【发现】3.空间中直线、平面的垂直

【例题研讨】阅读领悟课本例4、例5（用时约为2分钟，教师作出准确的评析.）

例4如图1.4-14， 在平行六面体中，

，求证：直线平面.

证明：设,则为空间的一个基底，

且，所以

又

在平面上，取为基向量，则对于平面上任意一点, 存在唯一的有序实数对,使得

所以，

所以是平面的法向量

所以平面.

例5证明“平面与平面垂直的判定定理”:若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.

已知:如图1.4-15, .

求证: .

证明：取直线的方向向量，平面的法向量

因为，所以是平面的法向量.

因为，而是平面的法向量，所以

所以.

【小组互动】完成课本练习1、2、3，同桌交换检查，老师答疑.

【练习答案】

（三）探索与发现、思考与感悟

1．如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，分别是的中点，点在直线上．证明：.

证明：如图，由已知两两垂直．以分别

作为轴正方向建立空间直角坐标系，

则．

∵M是的中点，N是的中点，∴，

设，∴，则，

则，所以．

2．如图，四棱锥中，底面，，，,，是的中点．

求证：（1）；

（2）平面．

证明：方法一（向量法）：（1）如图，以为坐标原点，

所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系.则

，，，，，，

所以，，

所以，所以．

（2）由（1）得，，．

设向量是平面的法向量，则，即，

取，则，所以，所以，

所以平面．

方法二（几何法）：（1）∵底面，∴．

又，，∴平面．

∵平面，∴．

（2）∵底面，∴．

又，，

∴平面，∴．

由题可得，由是的中点，∴．

又，，

∴平面，∴．

∵，，，

∴平面．

3．如图，在直三棱柱中，为的中点．

（1）证明：平面；

（2）证明：平面平面．

证明：（1）在直三棱柱中，

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

设，则

则，，，

设平面的法向量是，

则，取，得，

，且平面，则平面

（2），

设平面的一个法向量，

则，取，得，

又平面的法向量，则，则

平面平面．

（四）归纳小结，回顾重点

（五）作业布置，精炼双基

1.完成课本习题1.4   5、8、11

2.预习课本1.4.2  用空间向量研究距离、夹角问题

五、教学反思：（课后补充，教学相长）